例谈数列解题中的常用思想

☉云南省曲靖市会泽实验高中 许德福

例谈数列解题中的常用思想

☉云南省曲靖市会泽实验高中 许德福

众所周知，数列是中学数学的重点和难点.不少学生在数列学习过程中，能解决一些基本量的运算问题，但是在更难的数列学习过程中出现了解题思路不清晰的问题，这与学生数列学习的高度、数学知识理解的本质有着重大关系.更让笔者担心的是，不少教师在教学中并没有认识到这一点，更是用高强度的训练去替代思考、替换思维，这种教学方式是要不得的.

数列教学在更高层次上的提高如何进行？笔者认为要用思想方法进行渗透，在教学中加强数学相关知识型思想方法的渗透，在一定程度上既能开拓学生的思维眼界，也能站在系统的高度认识数列知识中蕴含的丰富的数学思想，便于后续知识的学习，不失为一种过程的认识.这里笔者指出，本文中所述的数列中的思想是知识型的思想方法，并非意识形态方面的思想方法（如转化与化归等思想方法）.

一、规律思想

数列第一课时中，我们已经教会学生最基本的数列思考方向——找规律.因此可以说规律思想是数列最根本的、贯穿于数列学习始终的知识型思想方法，从斐波那契数列找寻规律开始，到线性递推数列通项的求解，无不蕴含着从无意识规律到有意识规律的寻找.因此规律思想是数列教学的重要基本思想.

问题1 在等差数列｛an｝中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则

解析：这是一个基本问题，学生求解可以依赖基本量的运算实现，但是在运算过程中，不少学生通过条件得到了a4+a6+a8+a10+a12=120⇒a1+7d=24，然后思考（a1+7d）=16.从基本量得到的结果，我们可以思考，这一定是具备规律的问题，否则无法从条件两元一次方程中得到单量a1和d，因此大胆放心地选择基本量可以找到隐含在条件和结论中的联系.

问题2 ｛an｝满足a1=1，an+1=2an+n2，求通项an.

解析：由an+1=2an+n2递推思考，我们不难发现形如an+1=pan+f（n）的数列都是一种有规律的构造，所以，（1）形如an+1=pan+f（n），f（n）为一次函数时，如an+1=pan+bn+c，构造an+1+λ（n+1）+u=p（an+λn+u），利用待定系数求出λ与u即可.（2）f（n）为二次函数时，构造an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v）利用待定系数求出λ、u与v即可.因此本题可利用类似构造解决：

令an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），

整理，得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.

因此，寻找数列问题变化中的不变性，找到规律性是学习数列问题的一个重要思路.

二、函数思想

函数思想是数列教学中的重要思想，要引导学生理解深层次的数列问题，笔者认为必须依托函数思想进行深刻的思想教学，这种教学思想的渗透有助于学生从知识本质的角度去理解数列，站在系统的高度更进一步地理解等差、等比数列.

通项公式 函数本质 求和公式 函数本质等差数列 an=dn+a1-d 一次函数Sn= d 2 n2+a1-d 2（ ）n形如Sn=An2+Bn过原点的二次函数等比数列 an=a1·qn-1指数型函数Sn=-a11-q·qn+a1 1-q（q≠1）形如Sn=Aqn+B且A+B=0的函数

上述表格将等差数列、等比数列的函数本质进行了充分的挖掘，将通项公式与数列求和公式的函数本质揭示出来，从函数本质出发可以大大简化问题的思考道路，我们来思考下面问题：

问题3 等差数列｛an｝前n项和为Sn，满足S30=S60，则下列结论中正确的是________（填序号）.

①S45是Sn中的最大值；

②S45是Sn中的最小值；

③S45=0；

④S90=0.

解析：本题从学生的角度来说，大部分学生是以基本量的运算进行的思考，将S30=S60进行分拆，结果陷入了基本量运算的复杂境地.其实我们可以退出来思考，等差数列求和公式的函数本质是形如Sn=An2+Bn的二次函数（过原点），因此S30=S60可以推出其对称轴为n=45处，因为其过原点，显然S90=0是正确的，考虑到公差可为正数或负数，因此S45可能为最大值，也可能为最小值.从函数本质的视角思考数列问题，显然是站在系统的高度思考了数列本质，不必纠结于基本量这些单量的思考，从而获得了更深层次的认知.这样的问题还有不少，可以从教材的基本问题来获得同样的认识.

问题4 等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前（m+n）项的和Sm+n.

解析：设Sn=An2+Bn（n∈N*），则②，得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.

因为m≠n，所以A（m+n）+B=-1，

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

本题也是可以从基本量运算的角度去寻求思路，但是从函数思想考虑就不必拘泥于首项和公差这些小节，从更高的角度简化了运算，从而获得较快的解决思路.

三、装配思想

问题5 记等差数列｛an｝，｛bn｝前n项和分别是An，Bn，且，求的值.

解析：等差数列通项和求和之间有着极大的关联，这种关联是通过下标可以获得的.从等差中项的角度，我们可以装配通项和求和之间的这种关联，即A11=a1+…+a5+a6+a7+…+a11，即A11=11a6.同理B11=11b6，这样就建立了和与项之间的联系，从而.这种装配思想，即通过一定的等差性质将其不断的转换，达到联系的目的.

四、子数列思想

数列是研究规律的，从原数列中找到新的具备规律的项，称之为子数列问题.子数列问题对于学生往往掌握不准，这是因为这个数列中的项在原来数列中的位置和新数列中的位置并不相同，要清晰地找到、分析其位置所在，才能获得进一步思考子数列问题的项，成为问题解决的关键.

问题6 已知数列｛an｝是等差数列（d≠0），从数列｛an｝中抽取部分项ak1，ak2，…，akn成等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17，求数列｛kn｝的通项.

解析：ak1，ak2，…，akn这些项在数列中具备双重身份，在原数列（也称母数列）｛an｝中，其是等差数列的项，在子数列｛akn｝中，其是等比数列的项.设母数列｛an｝首项是a1，公差是d，子数列是等比数列，公比为q，前三项是ak1，ak2，，则，这三项都来自母数列，ak1=a1+（k1-1）d=a1，ak2=a1+（k2-1）d=a1+4d，ak3=a1+（k3-1）d=a1+16d，即（a1+4d）2=a1（a1+16d），解得a1=2d.从而ak1=2d，ak2=6d，ak3=18d.因为ak1，ak2，ak3，是子数列｛ak｝n等比数列的前三项，则是子数列的第n项，由此子数列｛ak｝n=的通项是akn=ak1qn-1=2d·3n-1.在母数列｛an｝中，akn是第kn项，akn=a1+（kn-1）d=（kn+1）d，从而（kn+1）d=2d·3n-1，即kn=2·3n-1-1.

从问题的解决来看，学生困难并不在于公比，而是无法清晰地分析清楚在母数列和子数列中的具体位置，考虑到其在母数列中的位置是第几项，在子数列等比数列中的位置是第几项，因此通过这双重关系建立其等式关系，从而获得问题的突破口，子数列问题中蕴含的思想是等值关系.

五、方程思想

数列是特殊的函数，自然也免不了跟方程有千丝万缕的联系.方程思想正是在数列问题解决过程中，从方程视角进行切入思考，特别是对于具备双变量问题的时候，自然而然利用函数角度或方程角度进行转换，从而获得问题的解决.来看一个高考真题：

问题7 设a1，d是实数，首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的范围是________.

解析：若｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d，则S5S6+15=（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，化简后得10d2+1=0，从而，解得或

笔者认为，学生的视角必定首先想到的是首项和公差，利用基本量的化简代入进行基本代换，从而获得有关于首项和公差的方程，但是学生往往受困于此.双变量问题如何破解？那就思考如何求公差范围？这里很明显是一个函数问题，但是我们从等式中获得d=f（a1）是比较困难的，因此选择了方程视角，其实本题可以利用函数视角，即S5S6+15=0⇒5a3（6a3+3d）=-15，将其转化为函数关系求解，从两种思路我们不难理解函数视角与方程视角的联系，大大提升了问题解决的眼界和思路.

总之，数列中具备了很多这样的小型知识性思想，这是解决数列问题较好的、特别的、有效的方式.教学中我们不能仅仅依赖基本量的运算，这样的方式是缺乏思考的、阻碍思维的方式，对于学生的长久发展是不利的，因此选择一些合适的、积极的、开发思维的知识型思想在数列解题中加以渗透，有助于揭示问题的本质，更有目的性地向函数靠拢，这种教学才是新课程标准希望教师去做的，是锻炼思维的教学方式.

1.赵思林.关于高考数学创新型试题的立意［J］.中学数学教学参考（上半月），2009（1～2）.

2.沈恒.运用整体思想求数列［J］.中学数学教学参考（上半月），2009（10）.

3.沈科.数学高考难题破解与思想方法的联系［J］.中国数学教育，2014（8）.