横看成岭侧成峰——对2017年高考浙江卷第15题的多维赏析

☉浙江省湖州市吴兴高级中学 刘晓东

☉浙江省嘉兴市第一中学 沈新权

横看成岭侧成峰
——对2017年高考浙江卷第15题的多维赏析

☉浙江省湖州市吴兴高级中学 刘晓东

☉浙江省嘉兴市第一中学 沈新权

2017年高考已落下帷幕，浙江卷因其首次文理合卷格外引人注目，其中第15题秉承了浙江卷简洁、灵动的一贯风格，可谓横看成岭侧成峰，本文就此题进行多维赏析，旨在引玉.

一、原题再现

考题 （2017年浙江卷15题）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值为_________，最大值为__________.

本题背景简捷，但内涵及其丰富，从不同的角度、高度去审视它，我们都能得到一系列优美的解法.

二、解法赏析

1.准确理解，优化运算

数学的概念与性质不是独立存在的，如果问题涉及某个概念或性质，则问题的解决必定与这些概念、性质相关联，因此，我们可以从这些概念或性质本身出发来解决问题，在解决问题的过程中，应当合理选择算法，优化运算.

解法1：设b=（2，0），a=（cosθ，sinθ），则a+b=（2+cosθ，sinθ），a-b=（2-cosθ，-sinθ），所以

，所以16≤t2≤20.

点评：题干涉及向量的模、向量的加减运算，但考虑到向量的坐标运算思维量小，易于操作，因此解法1利用向量模的概念结合坐标法进行求解，自然顺畅，具有一定的普适性.

2.由表及里，层层推进

在解决数学问题时，我们往往会凭借数学基本活动经验从题干的“表”入手，寻求突破，但在“表”的探寻过程中，又会产生新的问题，因此探究要层层推进，直至问题得以解决.

解法2：由题意，设t=|a+b|+|a-b|，则t2=（|a+b|+|a-b|）2=2a2+2b2+2|a+b|·|a-b|=10+2|a+b|·|a-b|.

又2|a+b|·|a-b|≤（|a+b|）2+（|a-b|）2=10，所以t2≤20.

以下同解法1.

点评：解法2的关键点在于对10+2|a+b|·|a-b|的处理，通过平方将问题转化为求两个非负实数积的最值问题，最大值可以根据基本不等式很容易得到，按数学基本活动经验，最小值不可能由基本不等式直接得到，但只要考虑到向量数量积的定义，问题便迎刃而解.此类解法往往是学生的首选，但必须要做到“遇神请神，遇佛送佛”.

3.活用换元，巧妙构造

换元是数学解题的重要思想，通过换元，构造合理的数学模型，不但能使问题得以顺利解决，更能给人以美的享受.

解法3：由题意可设x=|a+b|，y=|a-b|，则x2=（|a+b|）2=5+4cosθ，x∈［1，3］，y2=（|a-b|）2=5-4cosθ，y∈［1，3］，所以x2+y2=10.

因为x∈［1，3］，y∈［1，3］，所以点（x，y）的轨迹为一段圆弧，如图1.

图1

解法4：如解法3，设x+y=b，即y=-x+b，则b的几何意义为直线在y轴上的截距.

如图1，当直线过A点时，（x+y）min=4；当直线与弧AB相切时取得最大值，此时，即

点评：解法3、解法4通过换元巧妙地将问题转化为三角、截距问题，不仅使问题得以迅速解决，更体现了数学美.但新元的范围是预防错解的关键，也是换元法解题必须强调和强化的.

4.追根究底，回归本源

所有的数学问题都有其“根”，如果我们能够寻到其“根”，抓住问题的本质，问题的解决自然是水到渠成.

图2

又|a+b|+|a-b|=2（OM+BM）≥2OB=4 ①，|a+b|+|a-b|=2（OM+AM）≥2OA=2 ②，

由于①②要恒成立，所以|a+b|+|a-b|≥4.

点评：解法5主要是围绕向量加法、减法的运算法则，结合向量模的本质，从几何的维度对问题进行求解，数与形的完美结合，彰显了数学的魅力.

5.小题小做，寻求捷径

限时作答是高考的特点之一，在有限的时间内快速、准确答题，是高考取得成功的关键，小题小做是数学解题教学追求的一种境界.

解法6：由三角不等式得|a+b|+|a-b|≥max｛2|a|，2|b|｝=2|b|=4.

点评：对于最值问题，优先考虑不等式，鉴于题干是两个绝对值之和，自然联想到绝对值三角不等式，解法自然流畅，充分体现了小题小做的思想.

三、解后感悟

应该说，寻找解题方向的思路没有优劣之分的，但解题方法却有好坏之分，好的方法能直达问题的本质，让解题过程清晰明了、赏心悦目，好的方法更来自于数学基本活动经验的积累，是解题教学积淀的客观反映.

（1）解题教学应深刻理解数学概念和性质.数学概念和性质是整个数学大厦的基石，也是解题方向的根本，只有充分理解题中涉及的概念，以及性质的内涵与外延，才能找出问题的本质，为寻找解题思路提供方向，这样的解题教学也才有意义.

（2）应注意问题的等价转化.解题时，不断转化问题是探索解题方向的关键，也是积极发现解题方法的过程.转化是一切解题策略的基本出发点，在转化的过程中，我们不仅能求得问题的解决，同时也能将相关知识进行串联，形成相应的知识链，由一个问题派生一堆问题，解决一堆问题，这才是解题教学的根本所在.

（3）2017年浙江省首次文理合卷，这对高中数学教学提出了新的挑战，2017年高考浙江卷提供了很好的蓝本，对高中数学的教学具有很强的导向性，本题就是一个很好的例证，试题亲和、简练，但内涵极其丰富，简约而不简单，横看成岭侧成峰，有极高的教学价值，是解题教学的极好素材.F