高考数学试题题源及命题方法探究

李源

摘要：高考是我国目前最为重要的高等人才选拔方式，因此高考题型选择、命题方法的合理性也会直接影响到考核、选拔方式的有效性。对于教师而言，对题源、命题方法的探析也有助于总结重点，降低学生海量练习的负担，对于教育机构而言，对于题源、命题方式的合理化构建也有助于提升命题制度的效度、信度。由此，本文对高考数学命题方法进行分析，根据命题原则和方法对广东近几年高考题源进行分析，从而总结题源特点，基于此结果对教师教学提供相应参考和建议。

关键词：高考数学；题源；命题；广东高考

【中图分类号】G633.6

2015年高考已经落幕，对比2015年广东文理科高考试题不难发现，数学试卷题目难度略有下降，相较于前几年难度较高的情况而言，立体几何、数列、几何解析等试题的难度略有加大，其他函数等其他类型题目难度有明显下降。从表面上看，高考试题的定、选似乎并无规律，但从命题方法的角度来看实际上都是有据可循的。由此，本文提出了对高考数学题源、命题方法的探究，希望由此來降低高考备战中练习量过大、教师难以抓住重点的问题。

一、高考数学命题改造法的原则与基本方法

在高考较高的要求下，采用改造法命题也需要遵循以下三大原则：

其一，科学性。简单来说是要保证题目叙述的完整性、严谨性、流畅性等几点。在命题过程中，需要仔细斟酌用语的精炼性，保证文字流畅、术语规范、插图精确，避免出现多种理解的可能性。于此同时，题目中不能出现冗余的描述，例如证明性题目中条件充分的情况下避免出现多余描述。从目前高考命题的要求来看，多余描述无法严格控制，甚至为了考虑学生接受能力差异，也可以适当增加额外描述，一次来降低题目难度，平衡考核的全面性和公平性。另外，还应当保证结论的可行性，即题目是可证明、可计算、可实现的。

其二，新颖性。这是高考命题最为重要的原则之一，高考是我国规模最大、标准最为统一的考试，命题只有保证新颖性才能够保证公平的竞争环境，才有助于合理的考核学生智力水平，规避题海战术。当然，在当前情况下还是很难实现完全新颖的命题，但应当尽可能的对陈题进行最大限度的改造。

其三，选拔性。高考是重要的人才选拔考试，命题在保证公平性的同时还应当体现出难度的层次性，实现试题的区分度。只有这样才能够更好的保证对学生程度、层次、能力的有效考察，从而鉴别考生的综合能力。

二、高考数学改造法命题实例分析

（一）改造法命题基本方法

一道试题改造得是否成功可从以下两个维度进行：判断题目的信息形态，包括试题的背景情节、数据形态、数学关系；试题的解题思想方法。

以上两个维度是试题区别于题源的本质属性所谓命题技术就是在命制试题时用到的方法和技巧以上述两个维度为标准，从题胚的信息形态出发，一是通过对试题的背景情节、数据形态、数学关系等进行加工、变换，二是继承或改变题胚解题思想方法或者添加解题技巧等，对题胚进行改造。

（二）改造法命题方法题源特点分析

总结改造法命题方法来看，在实际应用中可以分为三种表现形式，即条件结论改造、类比改造、背景改造三类。

1）条件或结论改造

条件改造是对问题条件进行改造的方式，数学题一般有四种命题关系，即命题、逆命题、否命题、逆否命题，四种名题关系不一定为真。对此类命题进行逆向、变通式的改造就很容易出现新颖的题目。当然也可以从信息的描述形式、熟练关系、数学内容等角度尽心改变，从而得出新颖的命题。

下题为2014年广东高科理科8。

例1：设集合 ，那么集合 中满足条件“ ”的元素个数为：

A.60 B.90 C.120 D.130

该题主要考察分类计数原理和牌例组合知识，相对而言更侧重于分类讨论的思想以及逻辑思维严谨性的考察。在实际解析过程中，很容易出现忽略条件的问题。在今年许多教师对本题的分析和评价中都认为，自定义题目很容易让考生产生错愕感，进而在阶梯过程中忽略某些重要的条件。本题虽然被列为集合创新题，但笔者在翻阅历年各地高考试卷与名校模拟卷发现，本题实际上就是对2012年安徽知名的合肥一中第二季度模拟考试数学卷7进行的条件改造，改造了原题中集合A所满足的条件，进而改造结论，本质上两题并无明显差别，这就是一种条件和结论改造的典型用例。

2）类比改造

类比改造是通过逻辑方法，将两个特殊的对象一同比较，对其中一个相对特殊的条件或对象进行高在。例如题源已有条件a、b、c，有结论d，某新题有条件a、b、c但尚未制定结论时，可参照题源的模式进行分析，进而针对结论d制定完整的题目。由于类比法得到的结论具有或然性，因此所得的新题其科学性必须经过严格的推敲在命制新题的过程中，要对源题的核心问题进行深入分析，抓住其本质，对已知条件中部分信息加以改变，从而得到对应的结论，最后，要考察新题的科学性，这样才能得到一个形式新颖结构完整的新题。下题为2014年广东高考理科数学13。

例2：等比数列 的各项均为正数，且 则 =________.

该题目考察等差数列和等比数列的基本性质与对数的基本运算，在难度上相对较高，在命题目标上侧重于考察等差、等比数列性质的裂解，以及对其基本运算的考量。该题目源题为2012年上海较大附中数理总复习季终练习题9，原题与本体条件一致，采用了选择题，本题在原题的基础上变更了题源数学条件的数值，并选取原题正确答案为本题结论，从而制定为一个新题。这样就在不改变题目考核目标的情况下，修改了题目类型、描述，将其转变为一个新的题目。

3）背景改造

所谓背景改造法就是先后不同的高考题，对其赋予不同的背景，这些背景可以是生活背景，或者某些数学专题材料等，但背景的改变不会影响到试题的解题思想方法，即前后试题来源于同一内容，其本质是类似或相同的。下题为2009年广东高考21题。endprint

例3：已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 。

（1）求圆 的圆心坐标；

（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；

（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。

该题目重点圆锥曲线以及直线与圆的关系。本题问题3实际上与2012年重庆理科高考数学3的考察目标相似，原题在已知k条件存在的前提下分析直线与圆的相对关系，且原题的描述没有经过题目背景的现实化描述。本题虽然也未做相关现实性描述，但构建了不同与原题选择题的形式，而是设计了三个问题目标，在解决问题的过程中首先要完成题目背景的思考，实现了背景转换；其次本体也对问题的条件和结论进行了置换。由此，此题实现了较为新颖的创新过程。

（三）近五年广东高考数学试卷试题规律总结

自2004年开始广东已经开始尝试高考自主命题，自从新课标实行依赖，试卷结构逐渐趋于完善，结构与内容均有一定变化，但实际上始终存在内在规律。基于此特点，笔者对近五年广东高考数学卷进行了分析，总结了如下几个较为侧重的倾向性要点：

第一，07、08、09、11、13年广东高考卷均出现了模块交汇式解答题，此类试题的切入点主要集中在概率的分布列以及等比数列中的错位相减，两类知识点存在交汇，试题看似新颖，但考点并未脱出课标重点，仅通过条件改造等方法对一些原题进行改造。针对这类试题，可多练习交叉式解答题，对解答题中常用的考察知识点进行组合，然后练习相应解法；对于高三教师而言，应注意模块交叉和综合性的试题练习应尽量避免使用旧的复习资料，尽量精选素材，针对交叉性试题进行有目标性的训练练习，大面积提高教学成效；对于高考组卷而言，这种条件改造方法也极具特色，值得长期使用。

第二，11年以后开始逐渐出现的对高中传统数学知识体系中主干知识点的重点考察。这类试题多以一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等重点方程知识点的重复考察，一方面表现在每年试卷中均有此类试题，另一方面表现在单年试卷中此类知识点出现次数相对频繁（一般在三次以上）。针对此类问题，可以着重对重点知识点进行重复练习，精讲多练，以求熟能生巧；对于组卷命题方而言，对于重点知识的考察要始终遵循课标要求，可优先采用类比改造法进行命题，保证命题新颖的同时也不过分提升对主干知识点考察的难度。

第三，12年广东高考文科卷出现了重点考察学生阅读能力的试题，这在以往很少出现（仅有07年广东高考理科第7题），随后三年试卷中均出现同类型试题。此类试题难度相对较高，但重点在于对题干文字、语言、图形等的理解，考察考點分布杂乱，规律性不足。针对此类试题，教学中可采用增加学生阅读式训练的方式进行练习，发现学生多元智能背景下理解能力的差异性，提升学生阅题能力；对于高考组卷而言，此类试题应多采用背景改造法进行命题，紧密联系生活实际和时事，避免题目本身过于繁复。

第四，14、15年广东高考中卷尾出现的类似初中考题的压轴性题目。这类题目在2005年广东高考中出现过，随后数年高考试卷中少有出现，此类试题题源源自一般性的初中数学试题，但考察知识点改造为高中重点问题，05、14、15年考察的此类题目均为初中平面几何背景下的改造题目。综合对比此类题目可以发现，改造方法多以初中平面几何题为基础，备考过程中可通过整理类似试题进行多点训练，无需进行专题练习。

第五，少量的数学竞赛改造题。此类试题的比例有明显下降，可适当整理历年广东卷、全国卷或重点名校试卷的压轴题，增加学生对采用竞赛类阶梯思想的试题的解题能力，为优等生提供更为充足的保障，为普通学生提升加分空间。

总体对比2011—2015年广东高考理科卷试题来看，考察重点集中在函数导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计几个方面，备考可着重倾向此类试题进行练习；纵向对比也可发现广东高考数学试卷难度呈现逐年下降趋势，因此可将以往重点练习压轴题做法进行变革，向主干性知识点靠拢，保证学生基本知识的掌握以及解题能力的稳定性。

三、基于高考数学题源与命题特点提出的教学与学习建议

高考数学命题方法的研究是一项系统而又影响深远的艰巨工作，它不仅建立在对解题方法的深入研究上，而且要求研究者全面而系统地掌握试题资料。另外它还要求研究者对高考试题的特征，高考数学命题的理论、原则和方法有深刻的理解。对于教师和学生而言，如果能够对高考命题方法、题源特点有更好的理解，也有助于学生更好的应对高考这一重要的考试项目。由此，笔者也结合本文分析，提出了教师以及学生的应对建议。

对教师而言，应对教材上的例题、习题及高考试题进行认真分析讲评，注意换位思考，如果自己命题，可将教材上的例题、习题作怎样的变化能否通过对已有题目的进行改造变式，从而命制出新的，适合学生当前学习水平的题目并将这些变式的思想应用于日常的教学当中，培养学生的应变能力。在教学中采取变式教学变，就是采用变式的方式进行教学变式，也可以看作是一种“改造”。变式教学的具体实施方法有很多，如题组辨误、姐妹题对比、条件一般化、逆向设问、延伸拓展等等

对于学生而言。首先要树立换位思考的观念，可以把自己当做高考试题的命题者，在平时的练习、考试、题目评讲或者是遇到典型的试题时候，试着想一下自己可以如何变化这个题目使其成为一道新的高考试题，从而培养自己这种变式求新的意识，使自己牢牢掌握高考的主动权。其次要善于总结和反思，复习有关的数学知识和解题方法，注意进行解题反思，尽力做到积累解题经验。总结知识提取是否熟练。题目涉及到哪些知识。题目特殊在哪里；思考学习和应用的方法，用到哪些数学思想方法，为什么要用这种方法，解题的关键是什么，突破口在何处，能否推广方法，是否具有一般性；总结自身弱点，为什么自己没有解出题目，自己存在那些错误，为什么会出现这样的错误，通过反思总结，培养直觉猜想、归纳抽象、演绎证明、运算求解等理性思维能力，每题必思，终有收获。

以广东高考数学考试为例，命题组组长在2014年换任，在命题方法、命题倾向、考核内容权重分配上较之以往有了较为显著的改变，尤其是概率统计、圆锥曲线、函数和导数等命题特点和方向有所变化，但我们无法判断这样的改变会持续几年。纵向对比2013年、2014年广东高考数学试题可以发现，试卷结构并未发生改变，但题目没有出现相邻两年间试题的改造和基于前一年试题的创新命题，大题难度变化不大，但总体难度有所提升；其中考察重点依旧分布在附属基本运算、几何相关匀速、向量或统计计算、函数判断或计算、几何三视图、计数原理与古典概率、向量的数量积及相关推理论证、绝对不等式、二项式相关运算、圆与直线等方程、倒数计算、三角函数、升降幂、回归分析、频率分布与超几何分布等数学期望、垂直关系变化、通项公式求解、几何交集极值求解等重点项目。由此可见，高考试题考察重点的变化相对较小，如果能够把握重点，掌握理论本质，就能够做到一通百通，及时面对花样繁多的命题创新依然可以快速寻求高效准确的解题方法。对于教师和能够而言，无论命题方式如何改变，考试所考察的内容和重点始终实在大纲之内，坚持采用合理的教学总结、学习总结方法，对高考试题题源和命题特点进行整理，就能够在本质上解决上述问题，实现更佳的全面应对能力。

参考文献：

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