关于一类幂等元半环的同余*

(陕西广播电视大学 工程与建筑教学部， 陕西 西安 710119)

关于一类幂等元半环的同余*

李斌

(陕西广播电视大学 工程与建筑教学部， 陕西 西安 710119)

目的 证明乘法半群为右拟正规带的幂等元半环上的乘法半群上的相关同余可以推广到半环上，成为半环同余. 方法 利用幂等元半环的乘法半群上的同余和半环同余的性质来阐明相关结论．结果 得到了乘法半群的一些同余为半环同余． 结论 推广了文[3]的一些结果。

幂等元半环；同余；正规带；右拟正规带

一、引言

半环(S，+，·)是指非空集合S上装有两个二元运算加法“+”和乘法“·”的代数,其中(S，+)和(S，·)均是半群,且满足乘法对加法的分配律,即对任意的有，a，b，c∈S有(a+b)c=ac+bc

幂等元半环S是指满足附加条件对任意的的a∈S，a+a=a·a=a半环，即S的加法半群和乘法半群均为带．

正规带[左零带，右零带，矩形带]是指适合恒等式xyzu=xzyu[xy=x，xy=y，xyz=xz]的带，右拟正规带则是满足zxa=zaxa的带．我们用Lz[Rz，ReB，NB,RQNB]表示左零带[右零带，矩形带，正规带，右拟正规带]的全体．由[1]知Lz[Rz，ReB，NB，RQNB]是带簇的子簇．

二、结论及其证明

我们用Con(S)表示半群S的同余的全体,设A是半群类且ρ∈Con(S)，若S/ρ∈A，则称ρ为A-同余.若由任意同余θ使得S/θ∈A得到ρ⊆θ, 则称ρ为S上的最小A-同余[2].

设半群S∈NB，定义S的二元关系λ，λ*，μ分别如下：

(a,b∈S)aλb⟺(∃u∈S)au=bu；

aλ*b⟺(∃u∈S)ua=ub；

aμb⟺(∃u∈S)aub=bua；

则由文[1]知λ[λ*，μ]是S上的最小Lz[Rz，Re，B]-同余, 由此，可以得到

引理2.1半群S∈RQNB，如上定义二元关系λ，λ*，μ，则λ[λ*，μ]是S上的最小Lz[Rz，Re，B]-同余.

证明半群S∈RQNB，即S满足恒等式xyz=xzyz.首先证λ是S上的等价关系. 显然λ是反身、对称的.设a，b，c∈S，且aλb,bλc即存在u,v∈S使得au=bu,bv=cv．则

avu=(au)(vu)=(bu)(vu)=bvu,bvu=(bv)(vu)=(cv)(vu)=cvu.,即a(vu)=c(vu)．从而aλc, 故λ是S上的等价关系.

下证λ是同余．即(∃u∈S)au=bu则(∃c∈S)auc=buc，cau=cbu.由于S∈RQNB，acuc=auc=buc=bcuc从而acλbc,caλcb即λ∈Con(s)得证.

下面再证λ是S上最小的Lz同余．(a,b∈S)a(ab)=(ab))ab.由λ的定义得到λa=λaλb.即λ是Lz-同余.设θ是S上任意的Lz-同余,若aλb即(∃u∈S)有ua=ub,则auθbu，由于θ是S上的Lz-同余,从而aθauθbuθb, 即aθb. 从而有λ∈θ.这表明λ是最小的Lz-同余．

对称的可以证明λ*是S上的最小的Rz同余.

接下来证μ=λIλ*.若(a,b∈S)a(λIλ*)b,即(∃u,v∈S)au=bu,va=vb则(au)(vb)=(bu)(va)即auvb=buva，从而aμb即λIλ*⊆μ.

反之若(a,b∈S)aμb,即(∃u∈S)aub=bua,则a(aub)=b(bua)=b(aub)，(aub)b=(bua)b=(aub)b即a(λIλ*)b,从而μ⊆λIλ*,故μ=λIλ*.

由于λ，λ*是S上的同余，又(a,b⊆S)a·a·(aba)=(aba)·a·a即aμaba从而μ是S上的矩形带同余.设θ是S上的任意矩形带同余,若aμb,即(∃u∈S)aub=bua,则aubθbua,由θ是矩形带同余,则abθaubθbuaθba,aθabaθabθbaθbabθb,即μ⊆θ,从而μ是S上的最小的Reb-同余. 证毕

(a+c)aub(b+c)=(aub+caub)(b+c)

=aub+aubc+caub+caubc

=bua+buac+cbua+cbuac

=b·bua·(a+c)+c·bua(a+c)

=(b+c)bua(a+c)

=(b+c)aub(a+c)

同理可得(c+a)aub(c+b)

=(caub+aub)(b+c)

=caubc+caub+aubc+aub

=cbuac+cbua+buac+bua

=c·bua(c+a)+b·bua(c+a)

=(c+b)bua(c+a)

=(c+b)aub(c+a)

从而(a+c)μ(b+c),(c+a)μ(c+b).即μCon(S,+),故μ∈Con(S).

类似地，可以得到λ，λ*,是S上的同余. 证毕

[1] PASTIJN F.Indempotent of Distributive Semigroup I[J].Semigroup Forum,1993,26(1): 58-71.

[2] Howie J M. Fundamentals of Semiring Theory[M]. Oxford Science Publications,Oxford,1995.

[3] PETRICH M,REILLY N R.Completely Regular Semigroups[M]. New York:Wiley,1999.

[责任编辑王爱萍]

OnCongruencesofaClassofIdempotentSemirings

LI Bin

(Shaanxi Radio and TV University, Xi’an 710119)

Aiming to prove the congruences of multiplicative reduct of idempotent semirings in which the multiplicative reduct is right-quasi normal band are semiring congruences; Methods describe the statements by using congruence on multiplicative reduct of semirings and the properities of semirings. Results obtain that some congruences on multiplicative reduct are semiring congruences. Conclusion make a that Some results in [3] are extended.

idempotent semirings; congruences; normal band; right-quasi normal band.

2017-06-26

李斌(1978— )，陕西省西安市人，陕西广播电视大学工程与建筑学院副教授，基础数学硕士。

本文系陕西广播电视大学2017年度重点科研课题“半格序半群簇的有限基底问题研究” (课题立项号：17D-07-A08)阶段性研究成果之一。

O152.7

A

1008-4649(2017)03-0094-03