行列式的发展史及应用

王晓春 张瑶 付吉丽

【摘要】行列式是由解线性方程组产生的一种算式。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

【关键词】行列式 Cramer法则

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）30-0205-02

《九章算术》的第八章提到谷物称重问题。问题：有三种谷物，如果第一种谷物有3袋、第二种谷物有2袋、第三种谷物有1袋，以上三种谷物总重量是39个重量单位。如果第一种谷物有2袋、第二种谷物有3袋、第三种谷物有1袋，以上三种谷物总重量是34个重量单位。如果第一种谷物有1袋、第二种谷物有2袋、第三种谷物有3袋，以上三种谷物总重量是26个重量单位。请问，每种谷物一袋重量是多少（假设每种谷物每袋重量一样）？

本书给出的求解方法是第一种谷物每袋重量是x、第二种谷物每袋重量是y、第三种谷物每袋重量是z，建立线性方程组：

该方程解法是，首先，把第二个方程乘以3，然后减去第一个方程的2倍。类似地，把第三個方程乘以3减去第一个方程。此时方程变为：

现在，把第三个方程乘以5，然后减去第二个方程的4倍。于是第三个方程化简为：得；将结果代入第二个方程得；将两个值代入第一个方程得[1]。

《九章算术》给出的线性方程组的解法在现在看来就是数学里常说的高斯消元法；高斯消元法是由德国的高斯在1803年提出的，用来求解n个未知量n个方程（）的线性方程组，而中国的《九章算术》在2000年前就已经用这种方法了[1]。

对高斯消元法中解的表达式中线性方程组的系数和常数运算可以发现某种规律这就衍生出行列式。

一、行列式的历史

行列式的应用是线性方程组的求解，而且它的出现也是由线性方程组的求解问题引出的。1545年，意大利的卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程组的方法。这种方法和后来的Cramer法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。16世纪意大利的卡尔达诺和法国的笛卡等人几乎要发现行列式。行列式被明确的提出是在1683年，而且巧合的是它由两个属于不同的国家的数学家提出的，这两个人分别是德国的莱布尼茨和日本的关孝和。 1683年，莱布尼茨在写给法国数学家洛必达的信中提到：如果含两个未知数三个方程的线性方程组

有解，那么，也就是相当于行列式

尽管他没能创造出完整的行列式理论体系，但是他明确地提出了求解线性方程组的过程中行列式的重要性，并掌握了行列式的结构和一些对称准则。

另一位提出行列式的人是日本的关孝和，他的著作《解伏题之法》直到他死后才由他的学生于1970年整理出版，在这本书中叙述了关孝和关于行列式的研究，他提炼并扩展了《九章算术》里的行消元法，同时提出了行列式。

遗憾的是无论是关孝和还是莱布尼茨都没有系统的阐述行列式及其理论。直到1750年瑞士数学家克莱姆在他的著作《代数分析导论》中明确地提出了用行列式求解n个未知量n个方程（为正整数）的线性方程组。

Cramer法则：设元线性方程组：

如果它的系数行列式

则它有唯一的一组解且解的值为

其中为线性方程组常数列替换的第j列得到的行列式；为D的第i行第j列的代数余子式[2]。该方法称为Cramer法则。

一个行列式本身是一个数，那么行列式是否可以像数一样进行加减乘除的四则运算呢？行列式的加法和乘法理论是由法国著名数学家柯西提出的，1812年柯西在法国科学院宣读了一篇论文，该论文完整而系统地描述了行列式及其对称性和计算法则。

二、行列式的应用

在天文方面的应用

德国天文学家开普勒提出：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上[3]； 该定律被称为开普勒第一定律。由此可知任意行星的运行轨道一定是一个二维曲线，即曲线方程如下：

利用Cramer法则计算该方程中系数及常数的值，进而得到行星的轨道方程。

假设测定该行星的5个不同位置的坐标为，，，，代入式（5）得到线性方程组为：

其中，，，，不同；

整理变形得：

设

（因为，，，，不同的点）

同理，其中是由替换的第i列得到的，则

将上述解的表达式代入式（5）得行星的轨道方程：

行列式的主要用途是通过Cramer法则求解唯一解的线性方程组，而线性方程组在工业生产及日常生活中有着广泛应用，可以配平化学方程式，可以处理营养食谱问题，它在数学与其它自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。当行列式阶数较高的时候，它的计算是比较麻烦的，但随着计算机软件和硬件技术的不断提高，现在已经有相应的软件用来计算行列式例如MATLAB。这就实现了了行列式在更多领域的应用。

参考文献：

[1] John D著. 代数的历史[M]. 冯速，译. 北京：人民邮电出版社，2010：141-147.

[2]郭润喜.王晓春. 线性代数[M].哈尔滨工业大学出版社， 2010年7月，38-45.

[3]王国强. 新天文学的起源[M].北京：中国科学技术. ， 2010年11月，20-100.