一脉相承解几题 犹记去年三解法——全国数学高考卷I理科第10题的研究与推广

●洪剑林 (潮安区教育局教研室，广东 潮州 515600)

一脉相承解几题 犹记去年三解法
——全国数学高考卷I理科第10题的研究与推广

●洪剑林 (潮安区教育局教研室，广东 潮州 515600)

文章对2017年全国数学高考卷I理科第10题进行多解法研究、变式、评析、推广及教学思考.该题与2016年卷Ⅰ理科第20题有相似的已知条件,一脉相承,可运用2016年的3种解法速解该题.

高考题;多解法;评析;推广

1 试题的多种解法与评析

例1 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于点A,B,直线l2与C交于点D,E,则|AB|+|DE|的最小值为

( )

A．16 B．14 C．12 D．10

(2017年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第10题)

y2-4my-4=0,

从而

y1+y2=4m,

于是x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=4m2+2,

因此

|AB|=x1+x2+2=4m2+4.

m2x2-(2m2+4)x+m2=0,

从而

于是

图1

方法2 如图1,直线GK1为准线,过点A作x轴和GK1的垂线,垂足为K2,K1.设l1的倾斜角为α(其中0<α<π),则|FA|= |AK1|=|GF|+|FK2|=

|GF|+|FA|cosα,

于是

从而

(sin2α)t2-(4cosα)t-4=0.

设方程的两个解为t1,t2,则

由参数t的几何意义得

下同方法2.

2 试题点评

该题位于试卷的第10题,有一定难度,与2016年全国卷I理科数学解答题第20题有相似的已知条件——互相垂直的两条直线且斜率都存在,可谓一脉相承.而文献[1]中呈现了第20题的3种解法,记忆犹新,3种解题思想方法皆能速解2017年第10题.呈现成文,与同行交流.

方法1为代数方法,直线的方程不采用斜截式,而是设x=my+1，使弦长的计算简洁得多,再用基本不等式求最值;方法2从几何角度入手,利用抛物线的定义,结合解直角三角形,再用三角函数的有界求最小值;方法3运用直线的参数方程,利用参数t的几何意义直接求解.解析几何是用代数方法研究几何问题,首先是几何,“代数”只是我们解决几何问题时用到的工具,由方法2可见“三角”也是不错的工具,代数、几何与三角浑然一体.

近年来全国卷试题中求四边形面积取值范围的试题还有很多,例1也可变式为求“四边形ADBE面积的取值范围”,即“求|AB|·|DE|的最大值”,与原题“求|AB|+|DE|的最小值”,考查的知识点同样是韦达定理、基本不等式的运用,或是抛物线定义、三角的有界性,“现象”与“本质”皆是一脉相承.类似的题目还有:

(2009年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第16题)

答案：Smax=5.

例3 已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,0),则|AC|+|BD|的最大(小)值为______.

3 一般化推广

推广1 已知F为抛物线C：y2=2px的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于点A,B,直线l2与C交于点D,E,则|AB|+|DE|的取值范围为[8p,+∞).

注：推广1的证明与例1基本一致,不再赘述.

图2

|FA|=e|AK1|=e(|GF|+|FK2|)=

即

同理可得

从而 |AB|= |FA|+|FB|=

证法2[3]同证法1(或类比椭圆极坐标方程),且记左焦点到左准线的距离|GF|=p,则

|FA|=e|AK1|=e(|GF|+|FK2|)=

e·p+e|FA|cosα,

从而

同理可得

于是

则

4 教学思考

数学教学中应当重视对题目的变式与拓展,抓住典型题目,一题多解,一题多变,“小题大做”也精彩.正如波利亚所说:“拿一个有意义且又不复杂的题目去帮助学生发掘问题各方面,使得通过这道题就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域.”

[1] 洪剑林.貌离神合 同源切线——全国数学高考Ⅰ卷理科第20题评析与思考[J].中学教研(数学)，2016(11):20-24.

[2] 洪剑林.《对一道高考题的一般化探究》的简解与推广[J].中学数学研究：高中版,2016,34(12):8-11.

[3] 中学数学室.高中数学[M].北京:人民教育出版社,2007.

2017-07-17

洪剑林(1976-)，男，广东潮州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-41-03