基于一道易错题的思考

陶希贤

【摘要】学生在解题时会出现各种错误，错误的产生有一定的必然性与合理性.学生的错误具有重要的研究价值，教师应当持积极的态度面对，分析错误的原因，并及时矫正.

【关键词】不等式；数学解题；线性规划；纠错

解题是数学学习过程中必不可少的环节，它是学生自我评价的尺度，也是教师评价学生的工具.一道题目的解答过程，展现了学生的思维过程以及对知识的理解程度.通过解题，可以查漏补缺，及时发现问题，并解决问题.笔者以一道不等式的易错题为例，展现解题者的一般做法，发现错误并给予总结纠正.

一、问题呈现

（一）题目呈现

已知2≤x+y≤4， （1）1≤x-y≤2， （2） 求4x-2y的取值范围.

（二）常见错解

解 由（1）+（2）得3≤2x≤6.

所以6≤4x≤12.（3）

由（1）-（2）得1≤2y≤2.（4）

由（3）-（4）得5≤4x-2y≤10，即为所求.

（三）错解原因

解题者通过将（1）（2）两式分别相加和相减，求出了x、y的取值范围，再将两式相减得出了最后结论.通过学习不等式的性质可知，不等式具有“同向可加性”，所以两式可以相加.但是，不等式不可以“同向可减”.这一点，就是解题者产生误区的地方.知道“同向可加”类比为“同向可减”.通过“同向相减”后，不等式的取值范围会被缩小，所以這种做法是不正确的.

（四）正确解法

笔者这里分别用代数法和几何法对本题进行解答.

（五）错误反思

不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理以及三个推论.不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地加以运算.利用不等式的性质探求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用.利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大或者缩小真实范围.解题时务必小心、谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算”，求得待解的范围，是避免犯错的一条重要途径.

在学习了线性规划后，我们对这类问题有了更深入的理解.一般地，线性约束条件是由x，y的一次不等式组成的不等式组，由此首先画出约束条件所表示的区域.线性目标函数z=Ax+By在约束条件下的最值问题，就是求满足约束条件的可行解.由可行解组成的区域叫作可行区域.

二、归纳反思

学习了知识，就要加以运用，只有真正地拿起笔，开动脑筋，实行想法的时候，我们才能发现问题，并且及时解决问题.我们都有这样一种体验：“听了就忘了，看了就会了，做了就掌握了.”作为学生，在学习了新的内容过后，需要及时将所学知识进行运用，在数学学习中，我们追求的不是题海战术，做得多并不一定会得到多大提升.选择的题目要精，要具有代表性，做好题，好好做题.在练习的过程中，更加深入理解知识，体会数学知识的生活意义，发现自己的不足，不断改进.

作为一位教师，要学会选择试题，以教材为根本，通过学生的作业情况，了解学生的学习状态.善于总结提炼易错点，以及重难点，及时发现问题，并给予学生帮助.运用科学的方法，引导学生分析、认识错误的根源，揭示错误的类型与程度，探究相应的解决方法，逐步加深学生对知识的认识和理解.

【参考文献】

[1]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[D].天津：天津师范大学，2012.

[2]李祎.生成性教学资源调查研究[J].中国教育学刊，2007（3）：60-62.

[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.endprint