高考数学题中永不消逝的“离心率”

杨跃山

每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的“离心率”问题，为什么会如此呢？其一，离心率是圆锥曲线的重要几何特征；其二，圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切，容易产生知识交汇；其三，离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力。

1离心率与平面几何

椭圆与双曲线与平面几何中的三角形，四边形，圆等相融合，会形成许多涉及离心率的问题。

例1.已知橢圆的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______。

解析：设椭圆与正三角形的另两条边交于A，B，则AF2=[3]c，AF1=c，于是[3]c+c=2a，e=[23+1]=[3]-1

变式1.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为一条对角线作正方形，若椭圆恰好平分正方形的四条边，则椭圆的离心率为______。

解析：设椭圆与正方形的上两条边交于A，B，则AF2=[（22）2+（2）2]，c=[102]c，AF1=[22]c，于是[102]c+[22]c=2a，e=[410+2]=[10-22]

变式2.设双曲线的两个焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形MF1F2，若MF1中点在双曲线上，那么此双曲线的离心率为（ ）

A.[2] B.[3] C.1+[3] D.[3+12]

解析：|F1F2|=2c，|MF1|=c，|MF2|=[3]c，[3]c-c=2a，e=1+[3]，选择C

2离心率与图形挖掘

解析几何中的问题是运用代数方法研究几何图形的性质，因此充分挖掘几何图形的几何性质是解决解析几何问题的金钥匙，离心率是一个重要的几何性质，所以会与几何图形性质有着千丝万缕的联系

3离心率与向量运算

向量融入解析几何问题之中，一直是高考数学解析几何问题的一个热点，为了探索离心率大小，需要运用向量运算建立a，b，c关系，从而达到目的。

例5.点P（-1，-3）在双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的左准线x=[-a2c]上，过点P且方向为[a]=（-2，5）的光线经直线y=2反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）。

A.[3] B.[2] C.2 D.[195]

解析：设Q（x0，2），F1（-c，0）

则由PQ∥[a]得[5x0+1=-52]，解得x0=-3

又kPQ+[KQF1]=0，[2C+X0+5X0+1=0]，c=[195]

而-[a2C]=-1，选择D

反思：圆锥曲线的离心率是高考中常考的一个知识点，年年高考年年有，变幻无穷新视角，今年江苏高考题将平面解析几何的基础问题——斜率、平行、离心率与向量有机结合，并与物理的光学知识结合，形成一个体现综合能力的基础题，我们要挖掘平行条件、反射条件以及准线知识才能确定离心率的大小，其中平面向量充当一个“舞手”将圆锥曲线描绘的五彩缤纷.在平面解析几何中，涉及线段长度，线与线的夹角，以及线与线的位置关系，而这些关系都可以用向量加以描述，因此向量与解析几何的融合呈现出一个命题特点。

4离心率的实际应用

例8.（2008湖北）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1+c1=a2+c2 ②a1-c1=a2-c2 ③a2c1>a1c2 ④a2c1

其中正确式子的序号是（ ）

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

解析：a1-c1=a2-c2，②正确；a1+c2=a2+c1，两边平方后可得a12+2a1c2+c22=a22+2a2c1+c12，a12-c12+2a1c2=2a2c1+a22-c22，b12+2a1c2=2a2c1+b22，b1>b2，∴2a1c2<2a2c1，③正确，选择B

变式：简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图，内外二圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆[x2（ma）2+y2（mb）2=1]（a>b>0，m>1）顶点A（ma，0），B（0，mb），向内层椭圆[x2a2+y2b2=1]引切线AC，BD，若切线AC与BD的斜率之积为[-916]，求椭圆的离心率。

解析：设切线AC方程为y=k1（x-ma），切线BD方程为y-mb=k2x，于是由

[（bx）2+（ay）2=（ab）2y=k1（x-ma）]，

消去y得，[b2+a2k12x2-2ma3k12x+m2a4k12-ab2=0]

[?=（-2ma3k12）2-4b2+a2k12m2a4k12-ab2=0]

[∴k12=b2a21m2-1]

同理可得

[（bx）2+（ay）2=（ab）2y=k2x+mb]，

消去y得，[b2+a2k22x2+2mba2k2x+m2a2b2-ab2=0]

[?=（2mba2k2）2-4b2+a2k22m2a2b2-ab2=0]

[∴k22=b2a2（m2-1）]

[∴-916=-b2a2，b2a2=916，e2=1-916=716，e=74]

5总结

离心率是解析几何高考的核心，也是解题的重要手段。巧用圆锥曲线的第二定义解决问题往往更能明快、简捷。需注意的是利用圆锥曲线第二定义解题的关键是：题目中有动点到定点、定直线距离关系的条件或动点到两个定点距离间的关系的条件，联系实际问题，不能盲目使用。