函数单调性的判定例谈

张连友

[摘要]函数单调性的判定方法渗透着转化、分类讨论、数形结合等思想，能提高学生分析问题和解决问题的能力；同时，学生可以在解题时针对不同问题选择恰当的方法，选择简单易懂的方式解决问题。

[关键词]函数；单调性；判定

函数的单调性是函数的重要性质，函数单调性的判定方法有很多，笔者对函数单调性的判定方法进行了梳理，并对各种判定方法的联系进行了剖析。

一、定义法

函数单调性定义，既是单调性的性质，又是单调性的判定，是函数单调性的根本。定义法是判定函数单调性的“通法”，其他方法都离不开这个基石。在“提倡通法，淡化巧法”的今天，要强化单调性定义的教学，吃透概念，规范判定单调性的过程；掌握定义的等价形式，不仅会正用定义，而且要会逆用和变形用，培养学生思维的灵活性。

例：（1999第十届希望杯）设f（x）=x3-3x2+6x-6，且f（a）=1，f（b）=-5，a+b=（ ）。

A.-2 B.0 C.1 D.2

解析：由原式配凑得：f（x）=（x-1）3+（x-1）-2，又因f（a）=1①且f（b）=-5②得：（a-1）3+（a-1）3=3③且（b-1）3+（b-1）=-3④；所以构造函数F（x）=x3+x。由函数单调性定义（或运算性质），函数奇函数定义（或运算性质）得F（x）是R上严格递增的奇函数，所以，F（-x）=-F（x），F（a-1）=-F（b-1）=F（1-b），a-1=1-b，即a+b=2.

点评：第一，定义法判定函数单调性可分四步：作差（或作商）、变形、定号、结论，可根据变形的需要选择不同的作差或作商；变形是难点，常见的变形技巧有：因式分解、约分、配方，放缩等。第二，上例属于“双变量”问题，通过对条件适当变形，巧妙联想单调性定义构造函数是关键；逆用单调性把问题转化为不等式或方程，是单调性定义的活用；构造函数堪称解法精妙。

二、图象法

数形结合是数学中的一种基本思想方法，它包括“以形助数，以数解形”，中学阶段重点是“以形助数”。它能化繁为简，化抽象为具体，化简解题过程。纵观近几年高考，数形结合思想在各种题型求解中频繁亮相，已成为数学高考的一个热点。当用单调性定义判定函数单调性受阻时，可考虑借助函数直观图，直观判定它的单调性。

三、结论法

解决单调性的有关问题时既要提倡“通性通法，淡化技巧”，又不能拘泥于通法。要鼓励学生在知识的应用过程中发现、总结有应用价值的一般性结论，这有利于学生归纳、抽象思维、概括等能力的提高。下面僅从四个方面总结单调性的一般结论：

1.常见的基本初函数的单调性质可作为一般结论加以应用

2.单调性的运算性质（由单调定义易得）

（1）若f（x），g（x）单调性相同且f（x）+ g（x）有定义，则f（x）+ g（x）与f（x）单调性相同。

（2）若f（x），g（x）单调性相反且f（x）- g（x）有定义，f（x）、g（x）的单调性与f（x）单调性相同。

（3）若f（x）≥0，则f（x）与 单调性相同。

（4）若a>0，f（x）与af（x）单调性相同；若a<0，f（x）与af（x）有相反的单调性。

（5）若f（x）恒为正时或恒为负时，f（x）与1/f（x）有相反的单调性。

3.奇（或偶）函数的单调性

由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性。

4.周期函数的单调性

若f（x）是周期为T的函数，且f（x）在（a，b）单调递增或单调递减，则f（x）在（a+kT， b+kT）（ k∈Z）上单调递增或单调递减。

四、整体法

主要针对分段函数，由常见函数构成的分段函数的单调性的判定要满足单调性定义，即从整体着眼，注意各段单调和整体单调。

例：已知

f（x）=x2+（4a-3）+3a，x<0Loga（x+1）+1，x0，在R上单调递减，求a的范围。

解析：因为f（x）在R上单调递减，所以0

点评：f（x）=g（x），x>x0h（x），x≤x0在R上单调，求参问题要注意分界点的处理，即f（x）在R上递增（或递减），须有h（x0）≤g（x0）或h（x0）≥g（x0）。

五、法则法

由两个简单函数复合的函数的单调性可依据复合函数单调性法则判定；当简单函数单调性相同时，复合函数为增函数；当简单函数的单调性相反时，复合函数为减函数，即“同增异减”。

第一，单调性的判定可分四步：即一分，二求，三定，四交。一分，把复合函数分解成两个简单函数；二求，求复合函数的定义域；三定，根据“同增异减”确定复合函数的单调性；四交，单调区间必须与f（x）定义域取交集。第二，多层复合函数的单调性，主要依据减函数的层数判定，即依据“奇减偶增”判定。第三，求参数范围有两种方案：其一，分离参数转化为恒成立或能成立问题；其二，利用函数的单调性列出含参不等式。

六、原型法

研究抽象函数的性质，常用联想原型的方法。抽象函数是指没给出具体的表达式和图象，只给出一些函数的特征和符号的函数。由于它的高度抽象性，所以研究它的性质较难；同时，如果能结合它的结构特征，进行合理想象，捕捉到符合条件的一个原型函数，就能化抽象为具体，发现解题的线索，恰当赋值，顺利走出困境。

例：定义域为R的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n），若x>0时，f（x）<0。试证明（1）f（0）=0，（2）f（x）是R的奇函数，（3）f（x）在R上单调递增。

证明：联想符合f（m+n）=f（m）+f（n）的一个原型f（x）=kx（k≠0），结合它性质尝试有下解：

（1）f（0+0）=f（0）+（0），即f（0）=0。

（2）f（x-x）= f（x）+f（-x）=f（0），即f（-x）=- f（x），所以，f（x）是R上的奇函数。

（3）任取x1，x2 ∈ R且x10.由已知得，f（x1-x2）<0，又因为f（x2）-f（x1）=（x2-x1+ x1）- f（x1）=f（x2-x1）<0，f（x2）

点评：许多抽象函数都有函数原型，解题时若能由性质和结构捕捉到有类似性质结构的原型，由原型的单调性去猜想抽象函数的单调性，就能为用定义证明作好准备。

七、导数法

导函数是研究函数单调性最常用的工具。若函数f（x）在区间（a，b）上可导，当f′（x）>0时，f（x）在（a，b）上单调递增；当f′（x）<0恒成立时，f（x）在（a，b）上单调递减。

第一，f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）=0有限个零点，则f（x）在区间（a，b）上为增函数（或减函数）。第二，f（x）在区间（a，b）或（a，b）的子区间上恒有f′（x）=0，则f（x）在相应的区间为常函数。第三，导函数零点常常是导函数符号的分界点，也常是单调性的折转点，因此，要关注导函数零点的判定与求解；当f′（x）的零点不易求出，常用分离函数、二次求导、虚设零点等方法，化难为易，明确零点情况，结合导函数在各区间的符号，判定函数在相应区间上的单调性。第四，含参函数单调性应注意渗透分类讨论和数形结合等思想方法。

总之，各种判定函数单调性的方法有着深刻的内在联系。函数的单调性定义是判定单调性的根本，是通法；导数是核心工具，其他方法是辅助。教师要引导学生重视定义，培养学生集中思维；同时提倡一题多解，选择最佳的方法，使各种判定方法各尽其妙，培养学生思维的灵活性和发散性。

参考文献：

[1]任亲谋.数学分析习题解析[M].西安：陕西师范大学出版社，2004.

[2]杨凡.函数单调性的讨论[J].天津成人高等学校联合学报，2002，（04）.

（责任编辑 冯 璐）