超级画板在数学思想方法教学中的应用

陈颂军

摘 要 超级画板应用在数学教学中，可以帮助学生体会数学化归思想、变中有不变思想、分析法与综合法、归纳推理思想及数学美的思想。

关键词 超级画板；数学思想方法；信息技术

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2017）11-0076-03

1 前言

重视数学思想方法的教学是我国数学教育的一大特色。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，数学思想方法被明确列在课程总目标中，强调要“帮助学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的……基本思想”。而这也使得我国传统的“双基教学”发展丰富为“四基教学”。

信息技术必须与具体课程内容深度融合，而非简单地应用PPT或其软件，将信息技术简单变成板演工具，如此才能取得良好的效果。超级画板作为一款数学家设计发明的软件，具有“写”“画”“测”“变”“编”“演”“推”“算”等八大功能。它不仅具有演示功能，更重要的是自身带有的“数学”色彩，使得它同时具有服务数学教学研究和数学教学应用的双重功能，使得它在数学思想方法教学中具有广泛的应用。

2 超级画板在化归思想教学中的应用

化归是与数学推理有关的、解决数学问题的基本思想之一。使用化归，可以把面临的复杂难解的问题层层转化，变成为容易的或者学生已经解决的问题。它其实体现的也是一种基本的解决问题的思想方法。

学生的数学学习是在已有知识經验基础上进行的，教师的教学也应该充分利用这些知识经验。如梯形是一种特殊的四边形，它的面积公式为。这个公式学生从小学就能熟练背诵并使用。但是，它从何而来，即便是一些高中生、大学生也不清楚。其实，使用超级画板的旋转功能，将一个梯形绕着一条腰的中点旋转180°，则新图形为平行四边形（图1）。这样很容易就能说明梯形面积是新得到的平行四边形面积的一半。

这样的一个简单课件，却可以将数学结论之间的关系进行清晰演示，让学生明白数学知识之间的互相联系，比起让学生死记硬背公式来得“高明”“先进”很多。

3 超级画板在变中有不变思想教学中的应用

数学问题给许多学生的一个普遍印象是烦琐难求。但其实，好的数学问题到最后的结论通常是简洁的，而且往往在复杂问题的表面隐藏了一些简单的结论。如：在等边三角形内部任取一点，则该点到三边的距离和为定值。这个问题如果是采用传统黑板、粉笔讲授，教师通常是采用特殊点法；但如果使用超级画板，则可以采用测量功能，任意改变点的位置，让学生看到距离和为定值（图2）。再结合传统的取特殊点的方法，在确定该定值后快速帮助学生寻找到问题证明的思路。

这一问题还可以进行扩展：“假如点O落在了等边三角形的外部，那么OD、OE、OF三者之间是否还存在什么确定的关系？”利用超级画板，将动点O拖到三角形外部，则容易发现OD+OE+OF的和不再是定值。但是，考虑到O点此时到了三角形外部，向量与O点在三角形内部时候方向相反，所以，考虑测量OE+OF-OD，则容易发现它为定值，从而得到另外的一个恒等式。

超级画板的动态作图与计算功能相结合，不仅可以帮助使用者做出精准的图形，这对于讲求精确的数学来说是很有意义的，而且能够帮助使用者找出变化中的不变量，既可以提供解题的思路，也有利于提出新的猜想，得到新的结论，从而培养使用者提出问题、发现问题和解决问题的能力。

4 超级画板在分析与综合思想方法教学中的应用

分析法和综合法代表着问题解决的两个方向。分析法是执果索因，综合法是由因得果，两种方法同时使用则称为综合法。两种方法无论是在数学学习还是数学解题中，都被广泛使用。超级画板有自动推理的功能，使用该功能，可以轻易得到一些哪怕是比较复杂问题的答案和推理过程。

五点共圆是一个很古老的数学问题。面对超级画板帮助得到的结论“点K、L、M、N、P共圆”，可以通过单击，逐层展开相应的结论，从而明白相关结论的由来，这个过程是分析法的应用过程（图3）；而通过最后右击相关结论的方式，在作图区可以得到该结论的综合法的证明过程（图4）。

5 超级画板在归纳推理教学中的应用

数学上的推理包括合情推理和演绎推理，前者又包括归纳推理和类比推理。归纳推理对于发现结论、启发提示问题解决的思路有积极的帮助，对于培养学生的创造性思维非常有意义，这也是为什么新课程标准强调培养学生归纳推理能力的一个很重要的原因。但是使用归纳推理得到的结论，可能为真，也可能为假，这是归纳推理的一个基本特点。这一点也是学生使用归纳推理时必须非常明确的。通过使用超级画板解决一些经典的数学问题，可以帮助学生加深对这一特点的认识。如猜想“xn-1的分解式中，xi前面的系数是否只能为0，1和-1”？使用超级画板的因式分解功能，可以逐一检验n=2，3，…，104时，结论确实是正确的；但是如图5所示，当n=105时，会发现分解式中有-2x41和-2x7项，从而得到结论不成立。

同样的，1640年费马提出的费马数猜想问题“对任一自然数n，都是素数”，可以使用超级画板很容易地得到否定的答案。

6 超级画板在数学美思想教学中的应用

数学美有不同的层次。对于广大中小学生来说，感受数学的理性之美并不是件容易的事情。因此，对学生进行数学美的教育，应该更多通过他们能看得见的、直观的数学美来实现。无论是使用超级画板的函数作图功能做出的蝴蝶曲线、毕达哥拉斯树，还是使用图形变换功能制作出的动态地毯、万花筒，以及综合各种功能做出来的各种有趣的中国象棋、乒乓球游戏作品（图6），都可以让学生看到数学里面蕴含的美，认识到数学是有趣的。此外，通过让学生动手操作、制作课件，可以让他们经历创造数学美的过程，体现数学课程对学生情感、态度、价值观的关注，帮助他们改变“数学是枯燥无味的、数学只有计算”等刻板印象。

7 结语

超级画板作图中蕴含的数学思想方法还有很多，例如：圆面积公示的动态演示中所蕴含的有限和无限思想、极限思想，投豆实验中蕴含的随机思想，统计图表制作中蕴含的统计思想，等等。无论是学生还是数学教师，学习使用超级画板这样的数学教学软件，是一个有趣的过程。更重要的是，通过动手操作，能增进学习者对数学的理解，体现新课程所提倡的“做数学”的理念。