自主选择构造命题 严谨规范推理证明

邓厚波

苏科版《数学》教材第166页“探索研究”第12题，给出三个条件，要求我们用两个事项作为条件，另一个事项作为结构，构造1～3个命题，并判断和证明命题的真假.这类习题在各级考试中比较常见，应对这类考题的关键是先在草稿上构造真命题，然后贯通思路，再严谨规范书写推理证明.下面我们举例关注这类问题.

例1 如下图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作為结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.

【解析】（方法1）已知∠B=∠D，∠A=∠C，证明∠1=∠2.

证明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD.

∴∠B=∠BFC.

∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D.

∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.

∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2.

（方法2）已知∠B=∠D，∠1=∠2，证明∠A=∠C.证明过程略.

（方法3）已知∠1=∠2，∠A=∠C，证明∠B=∠D.证明过程略.

例2 如右图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性.

（1）结论：① ；② ；

③ ；④ ；

（2）选择结论 ，说明理由.

图3 图4

【解析】（1）①如图1，过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，

∴∠1+∠PAB=180°，

∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

②如图2，过点P作直线PE∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

③如图3，∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD.

∵∠PEB是△APE的外角，

∴∠PEB=∠PAB+∠APC，

∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

④如图4，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角，

∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

∴∠PAB=∠APC+∠PCD.

（2）选择结论①，证明同上.

（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）