数学解题：何以能无咎

潘小明

摘 要：对数学解题过程与结果进行严谨性、正确性的审视，在于反省补过、谨慎小心、坚忍纯正，无疑是提升数学素养的重要机制.

关键词：数学解题；周易；无咎观

一般说来，学生作为数学解题的新手在自己的解题活动中很难避免一些错误，但这并不意味着教师就可以放任学生在数学解题活动中的数学错误，不注意通过有效的教学措施积极地引导学生防范、克服、反思和利用自己在解题中的错误.严谨性作为数学学科的重要特点表明，学生的数学解题实践不能偏离“以正确为第一要务”的目标追求，否则就容易异化数学学科的科学本性和学生解题训练的有效价值.如果说“问题和解是数学的心脏”，那么对数学问题求解过程和结果进行“严谨性”“正确性”的审视无疑是保证提升数学素养的重要机制.本文拟在学习和借鉴中华文化的哲学根源性著作《周易》一书中关于“无咎观”的一些基本认识基础上，结合来自中学一线的具体教学案例说明数学解题教学中如何引导广大中学生建构解题的无咎观，以期引导学生学会正确地看待自己有可能发生的数学解题错误，并能据此更有针对性地思考自己的数学解题活动“是否有错”“何以出错”“错在何处”如何纠错”.

一、反省补过——数学解题的无咎之基

就做人做事而言，“无咎者，善补过者也”是《周易》中非常值得学习和领会的一句话.这里的“无咎”本义是指“完美无缺”“万无一失”或“没有灾患”等之类的意思，而“补过”则是指“不但不犯某种错误了，而且还把原来所犯的过错改正和补救过来”.人非圣贤，孰能无过？立足于人的行为和心态进行考察，人在实践中有所缺失其实是难免的事，关键是要善于对相应的缺失有一种悔恨之心，并且要善于从行为中切实地补过自新，唯有如此，才能做到无咎.将《周易》中的这句话联系到中学数学解题教学的指导，可以获得非常有益的启示，事实上，解题者数学解题的过程与结果如果要做到没有任何毛病的话，必然需要解题者本人有“善于补过”的意识，特别是，解题者本人要随时审察、反省自己解题的过程与最后的结果，要注意及时检查那些能引发自己产生错误的可能性因素.只有通过必要的“回头看”“检视”“审查”“反思”，解题者才能使自己在一种良好的数学解题习惯中保证数学解题的无咎状态.

例1 解方程组

案例分析 上述题目是施老师布置给某镇初级中学初二（1）班的一道课后探究题，对于施老师布置的作业，作为班级数学课代表的小红给出了如下的解法：

[解：由得即 （3）

由（3）得 ，

代入（2），得 ，

整理，得 ，

解之得 ，

分别代入（3），得 ，.

所以，所求方程组的解为，

经检验，所求两组解是原方程组的解. ]

对于自己的解答，小红感到很满意.但是，出乎意料的是，施老师并没有象往常一样对她的作业给出肯定的评价，而是在作业本子上写下两段话：“对于方程（1）和（2），非常显然的一个事实是，当时，它們的右边都等于0，据此可求解相应的或，这也就说明这两组解也是原方程组的解.”“可见，你在作业中提供的解法肯定遗失了一些根，你能找找你自己失根的原因吗？”

看到老师在作业批改中给出的反馈，小红不禁一怔，自己的解法真的是失根了吗？如果是，究竟是什么原因引起失根了呢？她开始深思起来.渐渐地，她发现，在自己的解法中，其实是有前提条件的，即只有在（2）不为0时，它们才能相除.这样，就有可能失去使（2）为0的x与y的值，而它们确实又满足（1）式，从而是原方程组的解.据此，可通过补解方程组考察它的解是不是也是（1）式的解.不难看出，这是比较显然的（这是因为该式的两边分别有及）.于是，由就可得到原方程组的另两组解

对于小红提交的“订正版作业”，施老师进行了面批，他笑着对小红说：“行呀！终于找到错误、改正错误了.知错能改，善莫大焉！”不过，施老师并没有就此结束对小红作业的指导，而是进一步引导：“小红，你能否通过回避的方式来防止自己的失根呢？”小红想了想说，“老师，可以的！”具体解法如下：

[将（2）代入（1），得

即 （4）

于是原方程组与同解.

而（4）与 （5）

及 （6）

同解.所以原方程组与及同解.

解得

解得 ]

施老师对小红第二种解法“步步为营”的严谨性大加赞赏，并追问她两个新的问题：比较两种解法，能否更清楚地认识第一种解法最初出错的原因？能否将这类问题一般化，并据此提出它们的解？

小红在施老师的指导下进一步认识到：

第一种解法之所以出错是自己只解了方程，从而丢失了方程的解.

如果将本题所解方程组一般化，就是解形如 的解，可以猜想它与方程组及同解.在施老师的指导下，小红对自己的猜想进行了证明（略）.

“震无咎者存乎悔”，做人做事要达到无咎的状态，必然要善于反思悔过.在上述的案例中，小红在施老师的指导下先是识别错误，然后分析产生错误的原因，她不仅把在解题中所犯错误改正过来，而且把所犯的错误补救过来——即对一类方程求解的问题作了更为一般的猜想和论证，这显然是数学解题活动中“反省补过”思想的一种具体体现.在引导中学生对数学错解进行反思的教学过程中，不能仅仅停留在就错改错，而是要深入与特定问题有关的数学知识结构的审察，要深入解题中数学思维过程的反思，努力找出相应环节可能出现的实质性问题，既注意概括出条件化、一般化的问题题路和结论规律，又注意对不同的解法进行横向与纵向的比较.总之，数学解题活动中，要真正达到一种无咎的状态，解题者在平时的解题练习中就要注意培养解题反思的习惯，注意随时检查、反思、改正在数学解题实践中有可能出现的错误和毛病.

二、谨慎小心——数学解题的无咎之法

众所周知，严谨性是数学学科的一个基本特点，在数学解题过程中自然需要强化学生思维上严密和严谨方面的要求.那么，如何做到这一点呢？《周易》上有一句话，“君子终日乾乾，夕惕若，厉无咎”.这句话的意思是，才德出众的人每时每刻都会小心谨慎，勤奋自强而不敢有丝毫的松懈，即使到了晚上，他也会注意警醒；对于一个能经常以危厉自警的人来说，虽然有可能会面临一些危险，但是，他最终并不会有灾祸.就中学数学解题教学而言，教师有必要用《周易》上的这句话指导学生的数学解题活动.某种意义上，这也是教师教学水平高低与否的一种表征.高水平的数学教师，通常会注意引导学生保持一颗谨慎之心，并因此使他们更为自觉地避免一些不必要的数学错误.

例2 已知，求证：形如一定是合数.

案例分析 初一（3）班的阿胜在唐老师给出题目后，很快就给出如下他自认为正确的证法：

又当时，.

当时，一定是质数.

当时，一定是合数.

显然，学生由于自己在思维上的不谨慎而离开了对原来命题的证明，本质上是犯了逻辑性的数学解题错误.这是因为，由“当时，是质数”根本推不出“当时，一定是合数”.从命题间的关系来说，这两个命题是互为否定的关系，而不是互为逆否的关系，所以，“当时，是质数”不能作为论证“当时，一定是合数”的充足理由.那么，如何引导学生认识错误并改正错误呢？唐老师（简称T）和阿胜（简称S）进行了如下的互动.

T：我先问你一个问题，如果， 那么，对吗？

S：当然对呀！

T：如果， 那么，对吗？

S：肯定不对呀！

T：为什么呢？

S：比如，，但是，这时.

T：好的.那么，由“如果， 那么”推不出“如果， 那么”，对吗？

S：当然.

T：那么，“当时，是质数”能推出“当时，一定是合数”吗？

S：不能！教师，我知道自己刚才错了.

T：知道自己错了，就改呀！你重新试试！

阿胜在唐老师的指导下，给出如下正确的答案：

，（在这一推理中阿胜自言自语地补充说，否则或1，这与已知条件矛盾），

，即当时，

当时，一定是合数.

当时，一定是合数.

学生数学思维的发展通常具有一定的阶段性特征.对初中生而言，他们貌似很“逻辑”和“推理”，但他们的思维更多地只是处于一种类似“少年老大人”“虽一半趋向于成熟，但一半仍固化于幼稚”的状态，这种思维特点很容易使他们偏离谨慎，在解题的过程中也容易不知不觉地偏离原先问题的要求，这种情况下，他们要么未按题意要求解答原问题，要么虽有解答但终因逻辑不当而致解答混乱、错误.由此，教师要注意通过有效的教学方法，培养学生谨慎小心地进行数学思维和问题解答的习惯.

三、坚忍纯正——数学解题的无咎之凭

《周易》云：“无平不陂，无往不复，艰贞无咎.”其含义是：没有平地不会成山坡，没有去了而不能回來，只有在艰难困苦中坚守纯正才能有好的结果.强调庄稼在生长过程中总会有一些反复和挫折，甚至有可能会出现灾害，但是只要坚贞不渝地进行精心管理，总会有好的收成.如果把数学教学看成一种播种与收获的过程，那么，《周易》中的这句话无论是对数学教师的教，还是对学生的学都有一定的“醒世”意义.数学史表明，数学作为一门学科和科学，发展道路并非平坦没有坎坷的，数学中的一系列优美成果也并非脱离夯实基础的数学创新，更非是数学家茶余饭后轻松愉快的妙手偶得.对大多数数学家而言，他们之所以会取得丰硕的数学成果，更多的是源于他们在艰难困苦的数学研究中进行了坚守.然而，在当前的一些数学教学改革中，有一些人在思维上好像存在着一定的偏误，比如，他们只看到数学创新的重要性，却没有看到打基础的必要性，只看到数学课程中数学思想方法的闪闪跃动；却没有深思数学思想方法毕竟源于数学研究者艰难困苦的数学探究.由于看不到或故意忘却了“艰难困苦”和“坚忍纯正”对于数学学习的意义，他们在教学实践上往往容易随大流式地鼓吹所谓“看起来毫不费劲”“听起来舒心愉快”“做起来难能成功”的快乐式数学学习.数学的学习不可能总是在一种毫不费劲的愉快状态中实现.对于大多数并非天才的寻常人来说，只有在数学学习活动中强化“坚忍纯正”的意识，才能在较高的层次上体验数学学习的快乐，才能更深入地领悟数学的精神价值.

例3 已知求的值.

案例分析 初一（5）班的小敏观察了待求值的代数式和已知条件中的代数式，觉得可以将所要求值的代数式先进行因式分解，即，由已知条件，可以进一步将待求值的代数式变为，如果能求出的值，那么所求的问题就能获得解决.如何求的值呢？联系到给定的第二个条件，可以考虑求出的值，于是构造，看来，还得求出的值，如何求呢？小敏的求解思路突然被卡住.但是，小敏是一个不轻意言败的人，她觉得自己能求出的值.如何求？还是回到条件，从已知的两个式子中能不能产生出？

可以，这是因为，

所以AB=[（A2+B2）-（A-B）2]=×（13-52）=-6.

于是，

，.

至此，小敏将答案求出来.

不过，她一看自己的解题过程，还是觉得有点烦琐了，“能不能将解法优化一下？”她回顾自己刚才的解法发现，自己其实“兜了许多圈子”，压缩前面的一些过程，自己的解法可以是：

.

看到自己用了简短的几行字将题目解了出来，小敏内心感到无比愉悦.

俗话说“代数繁”“几何难”，但是，这种繁和难最终能被具有“坚忍纯正”意志的学习者化解.从该解题的过程可以看出，小敏正是由于拥有这种意志，才能不厌其烦地综合运用观察、分析和构造三种方法进行习题解答及其过程优化的探索，并且，她经由这一过程深切感受到数学解题的快乐.由此可见，数学解题有时确实需要培养学生勇于历经艰难困苦式的数学思维过程，或许在这一过程中，学生才能获得一种并非世俗化的学习快感.