明确模型类型袁掌握解题策略——动量守恒的八种模型解读

■河南省洛阳市第二中学 王春旺

明确模型类型袁掌握解题策略
——动量守恒的八种模型解读

■河南省洛阳市第二中学 王春旺

动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律之一,它不仅适用于宏观、低速领域,而且适用于微观、高速领域。通过对近些年高考真题和模拟试题的研究,可以归纳出动量守恒问题的八种模型。

一、碰撞模型

模型解读:碰撞的特点是在碰撞的瞬间,相互作用力很大,作用时间很短,作用瞬间位移为零,碰撞前后系统的动量守恒。在无机械能损失的弹性碰撞过程中,碰撞后系统的动能之和等于碰撞前系统的动能之和。在碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞过程中,系统的机械能损失最大。

如图1所示,在足够长的光滑水平面上,物体A、B、C位于同一直线上,物体A位于B、C之间。物体A的质量为m,物体B、C的质量都为M,三者均处于静止状态。现使物体A以某一速度向右运动,求m和M满足什么条件时,才能使物体A只与物体B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性碰撞。

解析:物体A向右运动与物体C发生一次碰撞,在碰撞过程中,系统的动量守恒,动能守恒。取向右为正方向,物体A的初速度为v0,碰撞后物体C的速度为vC1,物体A的

若m>M,则第一次碰撞后物体A的速度小于物体C的速度,且向右,不可能与物体B发生碰撞;若m=M,则第一次碰撞后物体A停止,物体C以速度v0向右运动,物体A不可能与物体B发生碰撞。因此只需考虑m

当m

点评:解答本题需要对m>M,m=M,m

二、爆炸模型

模型解读:爆炸是在极短时间内完成的,爆炸时物体之间的相互作用力远远大于系统所受外力,系统动量守恒。在爆炸过程中,因为存在其他形式的能量(炸药的化学能)转化为机械能,所以系统的动能一定增加。

如图2所示,水平面上O、M两点正中间有质量分别为2m、m的两物块B、C(中间粘有炸药),现点燃炸药,物块B、C被水平弹开,物块C运动到O点时与刚好到达该点质量为m、速度为v0的小物块A发生迎面正碰,碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在M点与物块B相碰。不计一切摩擦,三物块均可视为质点,取g=10m/s2,求炸药点燃后释放的能量E。

图2

解析:在爆炸过程中,物块B、C的动量守恒,设物块C的速度为v1,物块B的速度为v2,则mv1=2mv2。系统的能量守恒,则物块C与小物块A发生正碰,满足动量守恒定律,设碰后结合体的速度为v,则mv0-mv1=2mv。结合体在M点与物块B相碰,设OM的长度为2x,则联立以上各式

点评:凡是内力瞬时做功,使系统机械能瞬时增大的问题都可以归纳为爆炸模型。在“爆炸”过程中,动量守恒,内力瞬时做的功等于系统增大的机械能。

三、反冲模型

模型解读:系统的某部分在内力作用下向相反方向的运动,称为反冲。反冲的特点是系统的不同部分间相互作用的内力大,在外力远小于内力的情况下,可以认为系统的动量守恒。常见的反冲现象有:喷气式飞机的运动,火箭的运动,放射性元素的衰变等。

一个总质量M=100kg的航天员(包括所携带装备),在距离飞船x=45m处与飞船处于相对静止状态,航天员背着装有质量m0=0.5kg氧气的贮气筒,贮气筒上装有可以使氧气以v=50m/s的速度喷出的喷嘴。航天员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气,才能回到飞船,同时又必须保留一部分氧气供返回途中呼吸用。已知航天员的耗氧率Q=2.5×10-4kg/s,不考虑喷出氧气对航天员总质量的影响,则:

(1)瞬时喷出多少氧气,航天员才能安全返回飞船?

(2)为了使总耗氧量最低,应一次喷出多少氧气?返回时间是多少?

解析:(1)由题述易知所求的喷出氧气的质量m应有一个范围。若m太小,航天员获得的速度也小,虽贮气筒中剩余的氧气较多,但由于返回飞船所用的时间太长,将无法满足他返回途中呼吸所用;若m太大,航天员获得的速度虽然大了,但由于贮气筒中剩余的氧气太少,也无法满足其呼吸所用。因此m对应的最小和最大两个临界值都应是氧气恰好用完的情况,设瞬时喷气质量为m时,航天员恰能安全返回,则由动量守恒定律得mv=Mv',航天员匀速返回所用的时间t=气筒中氧气的总质量m0≥m+Qt,解得0.05kg≤m≤0.45kg。

(2)设航天员在安全返回过程中共消耗氧气的质量为Δm,则Δm=m+Qt=m+由数学知识可即m=0.15kg时,Δm有极小值。因此为了使总耗氧量最低,应一次喷出0.15kg的氧气。将m=解得返回时间t=600s。

点评:若向前瞬时喷出微量气体,则根据动量定理可知,受到一个向后的瞬时作用力,具有一个瞬时加速度,获得一个速度后退。若向前持续喷出气体,则获得一个向后的持续力,具有持续的加速度。

四、子弹打木块模型

模型解读:若木块不固定,则在子弹打木块的过程中,子弹与木块的作用力远大于木块所受阻力,系统动量守恒。在子弹打木块的过程中,子弹和木块的位移不同,二者相互作用,导致系统的机械能减小,减小的机械能转化为内能。对于子弹打木块问题,若计算二者相互作用前后的速度,则可以利用动量守恒定律列方程解答;若涉及相互作用的时间,则一般需要利用动量定理列方程解答;若涉及子弹打入木块的深度,则一般需要对子弹和木块分别运用动能定理和动量定理列方程解答。

如图3所示,在光滑水平地面上的木块紧挨轻弹簧靠墙放置。子弹以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来,然后木块压缩劲度系数未知的弹簧至弹簧最短。已知子弹质量为m,木块质量是子弹质量的9倍,即M=9m;弹簧最短时,弹簧被压缩了Δx;劲度系数为k、形变量为x的弹簧

图3

(1)子弹在射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机械能。

(2)弹簧的劲度系数。

解析:(1)设子弹射入木块到刚相对于木块静止时的速度为v,则由动量守恒定律得设子弹在射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机械能为ΔE,则由能量守恒定律得ΔE=

(2)设弹簧的劲度系数为k0,则在弹簧被压缩Δx时,其弹性势能可表示为Ep=。在木块压缩弹簧的过程中,由机械能守恒定律得=Ep,解得

点评:此题涉及两个模型,即子弹打木块模型和轻弹簧模型。子弹打木块模型,一定有机械能损失,损失的机械能等于系统动能之差,也等于子弹所受阻力乘以子弹打入木块的深度(若子弹从木块中穿出,则损失的机械能等于子弹所受阻力乘以木块的长度)。

五、人船模型

模型解读:船静止在水面上,人在船上行走,船后退,若人船系统所受的合外力为零(不考虑船运动所受水的阻力),则人船系统的动量守恒。由对于相互作用的整个过程,有两个原来静止的物体发生相互作用时,若系统所受的合外力为零,则都可视为人船模型。解答此类问题时,可以画出两个物体的位移关系图,从而确定两个物体的位移关系。

如图4所示,质量为m、半径为r的小球,放在内半径为R,质量M=3m的大空心球内。开始时二者均静止在光滑水平面上,当将小球由图示位置无初速度地释放,直至小球沿大球内壁滚到最低点时,大球移动的距离为( )。

图4

解析:因为水平面光滑,所以系统在水平方向上动量守恒。由mv=题意画出示意图如图5所示,其中小球到达最低点时,小球的水平位移为x,大球的水平位移

图5

点评:对于人船模型问题,画出示意图就可以清晰地确定两物体之间的位移关系。

六、弹簧连接体模型

模型解读:两个物体在相对运动过程中通过弹簧发生相互作用,系统的动量守恒,机械能守恒。

图6

如图6所示,A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧,放在平板小车C上后,A、B、C均处于静止状态。若地面光滑,则在细绳被剪断后,物体A、B在小车C上向相反方向滑动,未从小车C上滑离的过程中( )。

A.若物体A、B与小车C间的摩擦力大小相等,则由物体A、B组成的系统动量守恒,由物体A、B和小车C组成的系统动量守恒

B.若物体A、B与小车C间的摩擦力大小相等,则由物体A、B组成的系统动量不守恒,由物体A、B和小车C组成的系统动量守恒

C.若物体A、B与小车C间的摩擦力大小不相等,则由物体A、B组成的系统动量不守恒,由物体A、B和小车C组成的系统动量不守恒

D.若物体A、B与小车C间的摩擦力大小不相等,则由物体A、B组成的系统动量不守恒,由物体A、B和小车C组成的系统动量守恒

解析:在由物体A、B组成的系统中,弹簧的弹力为内力,物体A、B与小车C间的摩擦力为外力。当物体A、B与小车C间的摩擦力大小不相等时,由物体A、B组成的系统所受合外力不为零,动量不守恒;当物体A、B与小车C间的摩擦力大小相等时,由物体A、B组成的系统所受合外力为零,动量守恒。在由物体A、B和小车C组成的系统中,弹簧的弹力,以及物体A、B与小车C间的摩擦力均属于内力,无论物体A、B与小车C间的摩擦力大小是否相等,系统所受的合外力均为零,系统的动量均守恒。答案为AD。

点评:此题涉及A、B、C三个物体,解答三体问题时,需要正确选择研究对象,明确谁是外力、谁是内力。弹簧弹力对由物体A、B组成的系统和由物体A、B和小车C组成的系统都是内力;物体A、B与小车C间的摩擦力对由物体A、B组成的系统是外力,对由物体A、B和小车C组成的系统是内力。

七、物块与木板叠放体模型

模型解读:木板放在光滑水平面上,物块在木板上运动,相互作用的是摩擦力,系统的动量守恒。物块在木板上相对运动,摩擦生热,产生的热量Q=fs,式中s为二者相对运动的路程。

图7

如图7所示,平板车P的质量为M,小物块Q的质量为m,大小不计,位于平板车的左端,二者原来静止在光滑水平地面上。一根不可伸长的轻质细绳长为R,一端固定于小物块Q的正上方高为R处,另一端系一质量也为m的小球(大小不计)。现将小球拉至细绳与竖直方向成θ=60°角,由静止释放,小球到达最低点时与小物块Q碰撞的时间极短,且无能量损失。已知小物块Q离开平板车时的速度大小是平板车速度大小的两倍,小物块Q与平板车P间的动摩擦因数为μ,M∶m=4∶1,重力加速度为g。求:

(1)小球到达最低点与小物块Q碰撞之前瞬间的速度是多大?

(2)小物块Q离开平板车P时,平板车的速度为多大?

(3)平板车P的长度为多少?

解析:(1)小球在由静止摆动到最低点的过程中,机械能守恒,则mgR(1-cosθ)=得小球到达最低点与小物块Q碰撞之前瞬间的速度

(2)小球与小物块Q相撞时,碰撞时间极短,没有能量损失,动量守恒,机械能也守Q在平板车P上滑行,满足动量守恒定律,设小物块Q离开平板车P时平板车的速度为v,则mvQ=Mv+m·2v,又有M∶m=

(3)小物块Q在平板车P上滑行,部分动能转化为内能,由能的转化和守恒定律得平板车P的长度

点评:此题涉及三个物体的三个过程,分别为小球由静止摆动到最低点的机械能守恒过程,小球与小物块的碰撞过程(动量守恒,机械能守恒),小物块在平板车上滑行的过程(动量守恒,机械能不守恒)。对于多物体、多过程问题,要根据题述物理过程,正确选择系统和过程,运用相关物理规律列方程解答。

八、多次碰撞模型

模型解读:若放在光滑水平面上的凹槽中的物体以某一速度与凹槽碰撞,则会发生多次碰撞。对于发生多次碰撞的系统,若只需计算二者相对静止时的速度,则可以根据动量守恒定律列方程解答。

如图8所示,在光滑水平地面上有一凹槽A,其正中央放一小物块B,两槽壁间的距离L=1m,凹槽与小物块的质量均为m,两者间的动摩擦因数μ=0.05。开始时小物块静止,凹槽以初速度v0=5m/s向右运动,设小物块在与槽壁碰撞的过程中没有能量损失,且碰撞时间不计。取g=10m/s2。求:

(1)小物块与凹槽相对静止时的共同速度大小。

(2)从凹槽开始运动到两者相对静止,小物块与右侧槽壁碰撞的次数。

图8

(3)从凹槽开始运动到两者刚好相对静止所经历的时间,以及在该时间内凹槽运动的位移大小。

解析:(1)设两者相对静止时的速度为v,则由动量守恒定律得mv0=2mv,解得v= 2.5m/s。

(2)小物块与凹槽间的滑动摩擦力f= μN=μmg。设两者从开始到相对静止前相对运动的路程为s1,则由动能定理得-fs1=L=1m,可以推知小物块与右侧槽壁共发生6次碰撞。

(3)设凹槽与小物块碰撞前二者的速度分别为v1、v2,碰撞后二者的速度分别为v1'、v2'=v1,即每碰撞一次凹槽与小物块发生一次速度交换。在同一坐标系上二者的速度—时间图像如图9所示。根据碰撞次数可将图像分为13段,凹槽、小物块的v-t图像在两条连续的匀变速直线运动直线间转换,因此可以用匀变速直线运动规律求时间。由匀变速直线运动规律得v=v0+at,a= -μg,解得t=5s。v-t图像中阴影部分的面积即为凹槽的位移大小s2(等腰三角形的面积共分13份,第一份的面积为0.5L,其余每份的面积均为L),则12.75m。

图9

点评:对于两个物体的多次碰撞模型,一般涉及动量守恒定律、动能定理等知识,难度较大。对于限定路径上的往返相对运动问题,若求二者相对静止的位置或碰撞次数,关键是利用动能定理求出相对运动的路程。

(责任编辑 张 巧)