空间几何体初步教学的一些想法

安徽省祁门县第一中学 胡爱军

空间几何体初步教学的一些想法

安徽省祁门县第一中学 胡爱军

空间几何是培养学生空间想象能力的重要章节。空间几何主要教什么？怎么教？教的哪些是重点？对于学生而言，学习过程要注重什么？这些教师思考是空间几何初步教学的关键。

空间几何；数学；想象能力；代数；图形

空间几何初步是学生空间想象能力培养的重要章节。从学生学习空间几何的现状来看，学生在空间感知、传统几何公理化体系的认知、空间向量代数化运算等环节充满了学习障碍。主要因素在于：第一，空间感知是需要培养和创造的，而且不少学生（尤其是女生）对于空间几何体的形态和想象是极度缺乏的，这与其头脑中长期缺乏对三维空间物体的关注有关；第二，传统公理化体系的数学性、严密性无可挑剔，但是公理化体系中诸多定理和性质往往被现代数学教学所忽视，对其的使用频率也大幅降低，在学生很多解答问题中的第一选择上升为向量方式；第三，随着向量方式的进入，空间几何问题也渐渐成为代数化趋势，吴文俊大师说的向量代数化手段解决几何问题恰恰是这一层面的意思。因此笔者以为对于空间几何初步教学，教师要更多的以上述三个较困难的学生认知层面出发，循序渐进地认知空间几何教学的难点和重点，在教学中不断加以渗透和改进，使学生既获得知识，也得到了空间想象能力的提高。

一、空间感知

空间感知是一个非常抽象的教学难点。空间几何初步从三视图及几何图形概念出发，循序渐进地培养学生的空间感知，教学中需要加以渗透和体会。

问题1：在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________。（填上所有正确答案的序号）

分析：异面直线是空间感知的难点。从位置关系来说，空间直线位置关系有三种，主要是异面、平行、相交（学生往往将垂直错记为一种位置关系）。考查异面直线，正是考查了基本的空间感知。证明异面直线在教材中的知识是反证法为主的一种介入，这在考试要求中并不作为重点。因此，教师引导学生的判断主要是从排除相交和平行导致共面的逆向思维为主，从而形成空间感知。很明显，①、③是平行导致的共面直线，而②中M点不落在面HGN中、④中H点不落在GMN中导致异面直线的存在。因此，对于类似问题的处理，教师还可以通过几何模型教具进一步加强学生的认知和理解，从而获得更好的感知体验。

二、公理化体系

公理化体系是立体几何传统教学的核心和支柱。简单来说，公理化体系是建立在四条公理体系基础上的一系列定理和推论以及常见性质组成的证明理论。我们知道，空间几何的公理是4条，以这四条公理为基准建立起了8条著名的平行和垂直判定性质定理，是学生解决问题的主要利器。

分析：证明线线垂直有不少方式，主要是从异面直线多成角为直角、线面垂直概念、线线垂直性质定理入手，这是公理化体系的方式，教学中要引导辨别；线面平行的判断自然是以判定定理为主的论证。公理化体系中空间几何问题的求解核心思想主要是将问题平面化，因此自然而然地寻找到线面角的位置，在三角形中计算求解。

三、向量方式

随着向量代数特性的引入，不少空间几何问题获得了更好的解题体验。从理论上来说，空间几何问题都可以运用向量求解，将几何问题代数化成为一种通性通法，其优点是培养了学生问题解决的一般性、快捷性、共性，但是其缺点也是比较明显，即很有可能大量抹杀学生的创造性。因此，向量方式解决空间几何问题成为我们一个不可或缺的补充，但不能仅仅以此为本原地踏步。

问题3：如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC=2,AD=4，，。（1）求证：面ABF；（2）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（3）在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

由于篇幅有限，此处解析略。

分析：向量方式最大的特征是利用其运算的特性，解决了公理化体系中较难的“找、证”环节！因此教师教学需要将代数化向量运算逐步在公理化体系后引入，获得更多的知识解决方式。

总之，空间几何初步教学要注重上述三方面的介入，以空间感知为主的引入、以公理化体系为本的论证、以代数化向量运算的辅助，这是空间几何初步教学必备的、不可或缺的、循序渐进的三部曲。

[1]沈恒.浙江七年高考立体几何自主命题的回顾与前瞻[J].数学通讯，2012（10）.

[2]俞求是.高中数学新课程立体几何教学问题研究[J].数学教学，2010（2）.

[3]岳儒芳.由高考立体几何题阅卷引发的思考[J].数学通讯，2014（8）.