一道数学题的思考

江苏省泰州市姜堰区娄庄中学（2016级青海师范大学教育硕士在读） 凌春霞

一道数学题的思考

江苏省泰州市姜堰区娄庄中学（2016级青海师范大学教育硕士在读） 凌春霞

二元变量求最值问题是高中数学的一大难点，近年来，高考试题中屡有考查。求解二元变量的最值，涉及函数、不等式、线性规划、解析几何、导数等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想等若干核心数学思想的应用。学好二元变量最值的求解，是函数部分的一大重点。

一、消元法，函数思想

二元最值问题因为问题含有两个变量，导致学生无法使用熟悉的函数工具来解决问题。因为同学们所熟悉的函数是单变量的，因此可以结合条件进行变量的转化。

评析：将变量a，b转化为关于单变量的表达式，实现二元最值问题转化为熟悉的单变量函数问题，简化了问题，实现了问题由未知到已知的转化。

二、基本不等式

若条件与目标含有和、积、倒数和以及平方和等表达形式，可以考虑使用基本不等式建立关于目标的不等式来解决问题。

故当a=b=2时， 取最小值8。

评析：借助基本不等式将条件和目标巧妙地联系起来，建立关于目标的不等式，是解决问题的关键。

三、数形结合，几何意义

若条件和目标可以在直角坐标系中用相应的几何图形表示，则数形结合，考查其几何意义对解决问题有很大帮助，而且能够直观地感受数学问题。

解：因为满足a＞0，b＞0,a+b=4的点（a，b）的轨迹是一条线段（如图），即线段AB，而的几何意义是原点到点（a ， b）的距离的平方，所以的最小值为原点到线段AB的距离的平方，即的最小值为

评析：本题的关键是条件和目标具备几何意义，能在直角坐标系中转化为相关图形，这样就将代数问题几何化，利用几何性质解决问题。

目标常见形式及其几何意义：

目标 几何意义与直线的截距有关表示点（x ，y）到定点（a ，b）的距离的平方

点（x ，y）与点（a ，b）连线的斜率与点（x ，y）到直线的距离有关

小结：以上三种方法都有一个共同的条件，即已知二元变量的等量关系。通过这一等量关系去进行等价变形、代换、转化等，从而将我们不熟悉的问题转化为运用已有知识能够解决或熟悉的问题。

四、线性规划，目标函数

如果试题中的条件是二元变量的不等关系，以上方法就不适用了。

小结：这一类问题的主要特点是条件为二元变量的不等关系，这是运用线性规划解题的重要标志，因为线性规划主要就是解决二元变量不等关系的重要手段。同时，题中的a4可以换成关于a1和d的目标函数，也可解决。

再回到开始的问题上，运用以上方法较复杂、烦琐，但只要中心思想正确就能解决。

评析：对于本题，函数思想是比较容易想到的方法，但解题过程较烦琐，而基本不等式的方法又不容易想到，所以不少学生会放弃。因此，加强学生的运算化简技巧和能力也是至关重要的。

总之，在解题时要综合分析条件和目标，发现它们之间的关系，发现它们与知识、思想的联系，对号入座，选择适当、恰当的方法解决问题。如何分析和选择方法，完全因题而异，而通过一定的解题实践和经验积累，对于二元最值问题的分析和解决会有很大帮助。