向量在数学解题中的应用举隅

江苏省泗洪中学 张 飞

向量在数学解题中的应用举隅

江苏省泗洪中学 张 飞

向量问题在数学知识中占据着重要的地位，要想促使自身数学水平的提升，一定要突破向量知识，这样才可以更加全面地提升数学水平。作为研究几何的重要工具，向量不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他学科领域也具有重要的应用。因此，我们在学习的过程中应当掌握好向量的知识，在数学解题过程中通过灵活运用来不断提升解题能力。下面我们就通过一些例子来讨论向量在数学解题中的应用。

一、向量在几何中的应用

在几何知识的问题当中应用向量进行解答，目的是为了将几何元素之间的位置关系转换为相应的数量关系，从而能够使得原来的形式逻辑转化为现在的数值计算。利用向量进行解答，可以使问题更加直观，对于我们解题来说具有更好的操作性，而且向量的应用大大降低了几何知识高度抽象的空间想象的难度。例如，如下图，已知平行四边形ABCD，其中角A为锐角，并且满足条件：AC2·BD2=AB4+AD4请证明∠A=45°。

我们对此题的解答如果借助向量知识就会变得比较简单，如上图，我们以平行四边形的角A为原点建立直角坐标系，并取AD方向为x轴正方向，然后我们可以设∠A=α，AD的长度为r1，AB长度为r2，因此我们可以用向量表示出AB与∠A以及AD和AB之间的关系，然后通过相应的向量计算就可以求得关于α的余弦表示，进行整理后就可以得出α=45°。

向量在空间几何中的应用是在平面几何的基础上增加了一个方向，这充分体现出了数形结合的数学思想。但是我们应当注意空间几何本身难度就高于平面几何，而且问题的情况多数相对复杂，因此在利用向量知识求解的时候，也应当对各种情况进行全面的考虑，在向量构造的时候要选择合适的方向和大小，这样才可以帮助我们更好地解答问题。

二、向量在代数中的应用

当我们学习过向量的基础知识之后会发现，向量具有明显的几何特征，所以一般常常会将向量应用在几何知识的问题求解当中。但是向量在代数中的应用也具有重要的作用，同样会给我们带来许多方便。因此在解决一些代数问题的时候，我们只要能够认真观察，仔细分析，将其中一些代数问题转化为向量问题进行求解，也会发现许多收获。同时，我们在利用向量知识解决代数问题的时候，应当注意建立模型，并且积累经验，不断丰富自己的解题模型，提升数学水平。下面我们来看一道例题：已知a2+b2+c2=1,同时有x2+y2+z2=1，请证明ax+by+cz≤1。

当我们看到题目的时候就会发现，如果直接用代数问题的常规思路去解决，会需要大量的计算和推导，过程可能会十分复杂。因此，我们可以使用向量知识来帮助我们解决这个问题。首先我们构造两个向量分别是根据题目我们还可以指导所以，我们可以得到显然||||cosα是不大于的，因此我们就可以得到ax+by+cz≤1，我们发现这个解答过程很简单，只是用到了基础的向量知识，而且也没有复杂的计算。这就是向量知识在代数问题中发挥的作用，一般在解题过程中我们运用向量的数量积以及向量的加法，在上面的例题中还用到了三角不等式，通过对这些知识的综合运用，实现对问题的快速、准确的解答。我们在日常的练习当中应当重视对自身解题思维的培养，要善于观察，提高对问题的分析能力。

三、向量与三角公式结合

在与三角公式有关的问题中，我们也会常常用到向量的知识，从某种角度来说，这也是向量在几何中的应用。但是三角公式在数学问题中出现的机会更多，而且能够独立构成一些重要的问题，因此我们在这里单独进行介绍。在正弦定理和余弦定理当中，我们都可以借助向量知识对相关的数学问题进行求解，并且我们还可以通过向量知识证明正弦定理和余弦定理，而这个证明过程也是解决三角公式问题的基本思想，因此这里我们主要介绍向量法对正弦定理和余弦定理的证明过程。

下面我们来看看向量法是如何证明余弦定理的。如下图，那么有在任意三角形ABC中，三个角所对应的边分别为a，b，c，a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=a2+c2-2ac·cosB，c2=a2+ b2-2ab·cosC。 在 证明余弦定理的时候，我们首先需要引入一个标记，定义向量在向量上的射影记作如上图，在△ABC中根据射影定理还可以得所以有a=c·cosB+b·cosC，同理我们还可以得到b=a·cosC+c·cosA和c=a·cosC+b·cosA。对这三个式子进行整理计算就可以得到余弦定理了，这样就完成了证明过程。同时，利用向量法证明余弦定理和正弦定理不用区分三角形是锐角三角形还是钝角三角形。

综上所述，在数学问题的解答过程中，我们运用向量法进行辅助解答或者运用向量法作为主要方法解答问题，都需要我们掌握牢固的向量知识。只有在具备了扎实的向量基础的前提下，才可以在解决数学问题的过程中进行灵活的运用。