构建知识网络，探寻联系转化——基于白板背景下对《平面图形的周长和面积》一课的反思

张伟明

（浙江省杭州市胜蓝实验小学）

构建知识网络，探寻联系转化
——基于白板背景下对《平面图形的周长和面积》一课的反思

张伟明

（浙江省杭州市胜蓝实验小学）

《平面图形的周长和面积》是人教版课标实验教材《数学》六年级下册整理和复习单元空间与图形部分中关于图形的认识与测量的第二课时。关于图形的认识与测量这部分内容，教材共编写了四个例题。从纵向看，它们是按照平面图形—立体图形来编排的；从横向看，它们又都可以归结为图形特征的认识和图形周长、面积、体积的测量与计算两个方面的内容。这节课，学生就是在第一课时整理和复习了“平面图形的认识”基础上，整理和复习有关平面图形的测量这部分内容。

对于六年级的总复习而言，学生已经经历了单元复习、学期末复习，已经积累了整理和复习的一些基本经验，而六年级下的总复习要求学生站在更高的平台上来俯视以前学习的零散的知识点，将知识连成线、形成网。本课在设计上，试图改变以往教学中对知识网络建构的不足，全面引进白板的交互反馈功能，全面系统反馈出学生的知识网络，练习的设计上，用两道简单的问题引入，更多关注和探寻练习的背后的联系。

下面就激趣引入，揭示课题；整理回顾，构建网络；巩固提升，感悟联系中的部分内容谈谈反思体会。

【片段一】一、激趣引入，揭示课题

（1）引入

出示：8×4

师：这个算式是某个平面图形的计算结果，你觉得会是什么图形？

追问：你是怎么想的？

（学生积极开动脑筋，思考可能是什么图形；除了面积，同学还想到了可以是正方形的周长计算。）

生：可能是平行四边形、长方形，计算的是面积；正方形，计算的是周长。

（白板中的隐藏功能，可以让老师根据学生发言的顺序出现长方形或正方形或平行四边形，更加自主和交互。）

（2）揭题

师：今天我们就来复习平面图形的周长和面积，刚才同学提到了长方形、正方形和平行四边形，我们还学过哪些平面图形？

生：圆、梯形、三角形

（3）出示六种图形（使用白板的隐藏功能）

师：关于这部分内容，我们学过些什么呢？

（4）回顾书本，追溯起源

师：围绕刚才同学提出的：什么是图形的周长和面积？周长和面积该怎么计算？面积公式又是怎么推导出来的？一起走进书本，回顾一下我们以前学习的内容。（白板回顾，通过放大镜出示周长和面积的概念。）

（白板中的翻页中带有页面折叠的效果，用在回顾旧知识上，更像是翻书，不仅激发了学生学习的兴趣，还提高了学习的效率，更为后面的复习埋下了伏笔；为了更好地突破周长和面积的概念，笔者特别使用神奇墨水制作了放大镜，当出现书本小图时，放大镜一拉，马上放大了周长和面积的概念，不仅新奇激趣，还有效地辅助了学生的理解记忆，效果立竿见影。）

【意图及反思】

通过浏览电子课本，学生回顾了三年级以来所有有关周长、面积的学习内容。这并不是一种简单意义上的再现，而是一种复习方法的指导。回顾是整理的前提，是复习的第一步。本课设计的主要目标是为了能给学生自行整理复习的空间，能放手让学生去整理，这样的设计就必不可少了。当然，回顾的形式可以多样，选择电子课本的目的是提高课堂教学的效率。而8×4这样的算式不仅仅是为了更好地调动学生的积极性，建立学好本课的信心，也是希望同学在解决这道题的过程中，发现周长和面积的不同之处，从而为揭示本课的课题创设了良好的条件。

【片段二】二、整理回顾，构建网络

在学生回顾了电子教材，指出具体的某个图形的周长和面积表示什么后，进行整理周长和面积公式，并对如何得出面积公式进行推导。

师：看来图形间是有联系的，这样的推导关系你能用线连一连吗？

先组内议一议，然后在小组里连一连。

（反馈展示学生1—2作品，请学生说想法。）

师：谁能来整理一下？

学生通过白板笔在连接器状态下进行整理，得到下图。

（白板中自带的工具连接器，这个工具可神奇了！在学生充分交流了各个图形面积公式之间联系后，学生使用连接器进行沟通梳理，建构知识网络。用连接器连接好的图形，可以进行拖动，同时保留住这样的连接关系。我们的学生用拖动的方法，得到了上图，形成了自己的知识网络。错了也不要紧，我们可以随意进行更改。这样，不仅成功地在每一个学生的心里建立了平面图形面积的网络结构图，而且还因为来源于学生的自主整理，更具有说服力，也让他们学得更加自信。基于生成的反馈操作让课堂更加出彩。）

师：看了这张图，在解决新问题的策略上，给你什么启发呢？

生：用转化法来求。

师：这样梯形、三角形就转化成了平行四边形，平行四边形和圆又能转化成长方形，而正方形是特殊的长方形。（标上箭头）

（不起眼的白板工具——笔。随手画上的几个箭头，学生获得的不仅仅是整个知识网络图的补充和完善，更重要的是沟通了怎样由已知探索未知的思维方式与方法，这就是转化。）

【意图及反思】

对于这些图形面积推导过程中的联系，基于各自的基础不同，学生们有着不同的认知。又由于前面的整理和复习课中积累的经验，学生对于用网络图来搭建知识之间的联系也并不陌生。所以，教师在这一环节中让学生自己尝试构建网络图，一方面是对“构建网络图”这种复习方法的一种学习与运用；另一方面也在分析、比较各小组图示的异同时，帮助学生明确：除了正方形是特殊的长方形外，平行四边形、圆都可以转化成长方形计算面积。正是因为这种转化，所以我们可以根据长方形面积计算公式推导出平行四边形和圆的面积计算方法，而这也正是网络图中箭头所表示的含义。后面的讨论与交流，则是为了进一步突出网络图的两个核心：“转化”是面积推导过程中的一种重要的思想方法；面积公式推导的源头是长方形。

本课，试图放手将整理和复习的主动权交给学生。让学生边回顾、边寻找推导过程中彼此间的联系，根据自己的理解去自主尝试整理。面对学生构建的各种不同的网络结构图，教师又让学生进行了充分的解释、说理，在相互比较、评价的过程中达成共识。整个复习过程，学生不是“听众”“观众”，而是自己全程参与回顾、整理、归纳和应用。学生不仅对知识方法有了更深入的领悟，还获得了参与复习的乐趣和成功。

【片段三】三、巩固提升，感悟联系

一星题

师：除了（5），其他（1）（2）（3）（4）的面积都等于20？[白板隐藏（5）号图形]

生：是的。

师：为什么（1）（2）这两个图形的面积相同，你能来说一说吗？

生：底和高相同。

师：那（3）（4）的面积为什么也是20呢？（指着平行四边形）

生：（3）的底是（2）的两倍，但算（3）的面积要除以2，所以是相等的。梯形的上下底的和也是10。

[白板对图形的另一种妙用——拖动复制。当学生解释了（3）（2）的关系后，很自然地把（3）拖到了（2）上，从另一个角度发现了图形的内在联系。]

师：用梯形的面积公式能计算这个三角形的面积吗？长方形和平行四边形呢？梯形自身呢？

板书：（10+0）×4÷2

（5+5）×4÷2

（3+7）×4÷2……第一个位置

（白板连线梯形和三角形、梯形和平行四边形、梯形和长方形，沟通与梯形的联系。）

师小结：看来梯形的面积公式不仅能求梯形的面积，还能求出三角形、长方形、平行四边形的面积！正因为这四个图形的上下底之和相同，高也相同，面积当然也就相同了。

三星题

师：同学们特别能干，因为你们刚才的精彩表现，老师决定直接奖励你们做三星题。

师：请大家来找一找图形间的大小关系。做题之前，先听清要求。

1． 独立思考：比较结果和思考过程填入上框中；

2． 同桌交流彼此的比较过程。

（先反馈直接计算的）

师：跟他想得一样的举手，你们都不是计算出来的吗？那你们是怎么想的？

（拖动圆，写π/4）

师：谁听明白（5）为什么大于（6）了？

生：圆是正方形的π/4倍。

（拖动梯形进正方形，得出0．6）

师：那（3）（4）呢？为什么比（5）（6）都小？

生：梯形是正方形的0．6倍，而圆是正方形的0．785倍，所以圆大。

白板的拖动复制在这道题得到了完美的体现，根据学生的反馈，拖动三角形到平行四边形，体会同底等高三角形的面积是平行四边形1/2的关系；拖动圆到正方形，体会内切圆的面积是正方形的π/4倍；拖动梯形到正方形里，寻找0.6倍的关系。因生成而反馈，不仅一目了然，而且高效生动。

【意图及反思】

复习课不是简单的知识再现。在回顾与整理的过程中，它更多承载着沟通与生长的功能。沟通和生长的关键点在于练习。为此在练习的设计上，希望鼓励学生去尝试、运用各种方法进行观察、计算、比较，在此过程中沟通联系，把握数学知识的本质。

第一组练习，通过不同基本图形的计算，把握图形周长及面积的计算方法。同时通过比较发现4个图形的面积相同，探寻面积相同的根源是什么。学生在探究和发现中，渐渐完善了观察图形间的数据特点可以有助于计算这样的思考方式。随着探究的深入，同学们发现梯形的面积公式还可以用于计算长正方形、平行四边形的面积，从而升华了本课。当学生在使用梯形的面积公式计算其他平面图形的面积时，他们很自然地得出当高相等时，只要上底和下底的和是相等的，那么面积也肯定是相同的结论，从而为下一题的解题埋下了伏笔。第二组练习是建立在等高的基础上进行的，通过第一题的比较发现，学生在解决第二题上，不仅想到了用计算的办法，还想到了可以只比较图形上下底的和，挖掘出了圆和正方形的关系，挖掘出了梯形和正方形的关系，总之精彩纷呈，思路万千。

这是一堂复习课，也是一堂真正意义上的新课。在白板的帮助下，我和学生一起打开了那扇复习的大门，流连在知识的网络里，找寻图形间那迷人的关系。

责任编辑：肖延斌