数学学科学习力的要素及模型构建

【摘 要】 人才发展模式的变革等背景，都彰显了培养学生学习力的迫切性.学习力的具体价值主要包括能够改进学生的学习行为和构建基于学生学习的教学方式等.学习力可以理解为学生的生长力，对它可构建三层次六要素结构模型.数学学科学习力由一般学习力和数学学科特有的学习力（由数学学习能力、数学能力和数学创新能力等成分组成）两部分组成.

【关键词】 学习力；数学学科；要素；模型

1 背景

在信息社会的全球背景下，学习者的学习需求也正在不断丰富，然而现代公民是否具备足够的素质来适应瞬息万变的社会发展呢？这就对我们教育者提出了新的要求，即如何在学校学科教育中提升学生的学习力.对学习力的思考主要基于以下几方面的需要.

1.1 人才发展模式的变革

进入21世纪，随着科学技术的快速发展、信息社会的冲击、以及经济全球化的影响，知识的表征形式与获得方法经历了巨大变革，尤其是终身学习机制的建立与学习型社会的构建，对学生拥有更出色的学习能力提出了更高要求.20世纪90年代开始，欧洲就尤其重视终身学习政策的规划与实施，欧盟于1995年发表了题为《Teaching and Learning∶Towards the learning society（教与学：迈向学习型社会）》的白皮书[1]，号召欧盟各成员能对教育与学习产生新的认识与做法，通过共同努力使欧洲成为真正的学习型社会[2].报告中确立的“技能、能力与态度”指标中明确提出了五项内容，分别为识字、算数、学习型社会中所需要的新技能、学会学习的能力、积极的公民身份以及文化与社会能力[3].现在注重“基础知识与基本技能”的教学已不能满足培养未来的学习者.不仅学习者应明智地从学会知识转向学会学习，我们的教育更应该注重教会学生如何学习，提升学生的学习力，以适应社会不断发展的需求[4].

1.2 传统教与学的困境

数学作为一门抽象、难懂的学科并不为多数学生所欢迎，但是数学学科在中小学、乃至高等教育階段都占有举足轻重的地位.数学学科的教学质量、学生的学习方式与质量的评价已经成为当前国际教育研究和实践的重要领域[5].依据2007年国际数学和科学评测趋势TIMSS（The Trends in International Mathematics and Science Study）数据库资料显示，东亚地区学生数学学习态度远低于世界水平，但数学成绩却高于世界平均水平，其中有高达58%的学生认为数学枯燥、不喜欢学数学[6].学生把学习数学作为任务完成，自主意愿与情感态度处于低下水平；数学教学多以高分为导向，忽视对学生学习态度、学习方式的培养.数学教与学面临着严峻的挑战，数学教学不再仅仅是知识的传递，更应该教会学生如何学习数学.

1.3 新课程改革的迫切要求

新课程依据时代发展及未来社会对人才的要求，提出了“适应终身学习和终身发展的基础知识、基本技能和方法”，不仅丰富了知识的内涵，而且要求引导学生学会学习、合作、生存等，培养学生终身学习的意愿与能力.《普通高中数学课程标准（实验稿）》中提出高中数学课程应为学生的终生发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要作用[7].《义务教育数学课程标准（2011版）》中明确提出课程的基本理念是“使学生在充满教学民主的过程中，提高主动学习和发展的能力”；课程目标是“培养为未来生活而自主学习、选择和探索的能力”等等[8].与此同时，新课程更具体到教师、学生、教材、课堂等细节部分，期望通过教师角色的转变、教学模式的变革，培养具有丰富创造力、较强学习力的现代公民.由此，用学习力的理论来指导数学新课程的教学实践是十分必要和迫切的.

2 研究的价值

人才发展模式的变革、传统教与学的困境以及新课程改革的迫切要求，都彰显了培养学生学习力的迫切性.培养学生学习力，则首先需要对学习力有系统的认识，需要知晓学习力的具体价值.学习力的价值主要表现在以下三方面.

2.1 促进学生的发展

我国的教育教学改革不仅为了教师专业发展以及学生学业发展的需求，更是为了培养适应社会所需的人才.学习力的培养在此具有重大的意义，学习者通过学习将知识、过程以及情感等转化为潜藏于自身的能量，然后在不同情境中转化成不同形式的实践，如解决新的问题、适应新的环境等[9].随着学习者学习力的不断提升，这些潜在的能量将潜移默化地促进其学习品质的不断提高，精神素养的不断丰富，人格的不断健全.

2.2 改进学生的学习行为

学习动机是激发和维持学生学习行为朝向某一目标进行的内在动力，对个体的学习具有推动、引导和调节的功能[10].应试教育下培养的大批学生对数学兴趣低下，多数学生为了家长的期望、升学的压力才硬着头皮学习数学.这些来自外源的“刺激”虽然在某种程度上也能促进学生学业成绩的提高，这也就是在多次国际测评中我国学生都显示出较高的“数学及科学素养”，然而这种学习行为仅仅是将学习活动当做获取外在回报的一种手段；若这些外界“刺激”一旦撤离，学生则失去了学习的动力[11].数学学习力的提升有助于在一定程度上改变这一现象，尤其是学生学习行为的改进，同时改变学生的学习态度、学习意识和学习习惯等品质，使学生对数学学习充满兴趣，进而愿意学习、探索，喜欢数学.

2.3 构建基于学生学习的教学方式

教学方式是教师和学生为了实现共同的教学目标，完成共同的教学任务，在教学过程中运用方式与手段的总称，也是有效教学的关键之一.课堂教学中基于学生学习行为的改变，我们的教学方式也应随之发生变化，也即以学定教.比如在常规课堂教学中引领学生进行知识探究；加强直观教学，注重创设情境，激发学生积极参与；创造成功机会，让学生体验成功感，激发学生兴趣等.数学学习力要素与模型的研究能为教师教学方式的改进提供具有参考价值的信息.

3 学习力及其层次与要素

“学习力”一词最早来源于管理学领域，多以“组织学习力”、“学习型组织”出现，它反映了组织作为一个整体对各种内外信息的认知与反应的能力[12].以学习力、学习能力、learning power、learning ability、learning capacity等为关键词搜索文献后发现，对学习力理论的系统研究主要以国外文献为主，尤其英国相关较为突出；而国内文献较少，目前还没有形成系统研究.学术界普遍认为学习力是一种综合的、复杂的能力，研究主要围绕概念、内涵、构成要素、应用（提升策略等）进行.裴娣娜教授及其研究团队分析、提取出学习力六大要素，它们分别是：知识与经验、策略与反思、意志与进取、实践与活动、协作与交往、批判与创新；并提出了学习力的三层次六要素结构模型（如图1所示）[13].这些成果为讨论学科学习力提供了借鉴与启示.

图1 学习力的三层次六要素结构模型4 数学学习力模型的构建

数学研究的对象是数量关系和空间形式，数学的运作在于“思维”，人脑对数学对象的思考是思维运作.数学可以理解为一种思维活动（数学活动），也可表示为这种活动的结果——理论.数学的研究对象并非物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物.数学与中文、英语等一样，可被看成一种语言——科学的语言，为自然科学的研究提供了必要的概念工具.数学学习，也可以看作是学习使用这种科学语言，进入了数学的文化，养成一定的思维方式与行为方式.数学教学是数学思维活动的学与教[14].数学教学的关键之一是处理好理解与记忆之间的关系，特别是，理解应当被看成熟练掌握各种算法的一个必要前提.

4.1 数学学科学习力的要素和结构框架

从数学学习和数学教学的本质中可以看出，数学学科学习力的核心是思维、数学思维，提升学习力，就是促进学生数学思维的发展.而数学学科学习力由一般学习力和数学学科特有的学习力两部分组成，其中数学学科特有的学习力又由数学能力、数学学习能力和数学创新能力等成分组成.数学学科特有的三种学习力之间的关系是：数学能力是目标，数学学习能力是为了获得数学能力（也是促进数学学习的核心要素），数学创新能力则是进一步的发展和提升.具体结构详见下图2.裴娣娜教授在《变革性实践与中国基础教育的未来发展》[15]一书第389页收录了该结构图.

4.2 数学能力的五组成分

数学能力包含很多内容，在数学学科课程中，需要重点培养学生抽象与概括、运算与推理、作图与想象、统计与分析、建模与解释等五组能力（学科核心素养）.

（1）抽象与概括

抽象是把同类事物或现象的共同本质属性找出来，并舍弃其非本质属性的思维方法.抽象的过程可以概括为分离——提纯——简略.概括是从认识个别事物的特殊本质到认识同类事物的共同特征的一种思维方法.概括要以抽象为基础，是抽象的发展，抽象的层次越高，概括的范围越大.林崇德先生认为：概括是形成概念的前提，是发展思维品质的关键[16].

例如一元二次方程模式是对许多具体的一元二次方程进行“分离—提纯—简略”，抽象其共性和本质的特点而形成的数学对象；而多项式则是对许多特殊的二次项、三次项等多项式进行更广泛、更高层次的概括.

（2）运算与推理

计算与证明，是数学的两个方面.所谓运算，是在运算律指导下对具体式子进行变形的演绎过程；推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式[17].推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等.

而推理与概念、判断一起组成逻辑思维的三个要素，数学思维还包括形象思维（空间想象）与直觉思维.事实上，一般认为，逻辑思维能力、空间想象能力和计算能力组成三大数学能力.逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力.

（3）作图与想象

数与形是数学的两翼.数学中的作图能力，可按作图过程分为两种能力，分别是识图能力和画图能力.数学中的想象能力，也就是空间想象力，是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力.

作图能力中的识图能力是指观察、研究所给图形中几何元素之间的相互关系的能力；作图能力中的画图能力又分为两个层次，第一层次是将文字语言和符号语言转化为图形语言的能力，第二层次是指对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换的能力.

空间想象力主要包括下面四个方面的要求：（1）对基本的几何图形（平面与立体）必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系；（2）能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系；（3）能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系；（4）熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系.

（4）统计与分析

现代社会需要人具备统计与数据分析的能力.统计能力，就是利用已具备的智力、知识、技能和非智力等要素完成统计任务的能力.数据分析能力，就是把文字或数字材料整理成格式标准的数据，并对数据进行分析，从纷繁复杂的数据中发掘出可用知识（或验证已有知识）的能力.比如，在某一次学科测试后，学生拿到自己的成绩，如果想知晓自己的成绩是否进步，一个比较简单的方法就是统计身边几位同学的成绩，从中分析自己所处的位置，进而相对确切地判断自己是否进步.

（5）建模与解释

數学建模能力是在面对某个综合性情景下，能够理解并建构现实情境模型，会将该模型翻译为数学问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决该数学问题.数学解释能力是能够根据具体的情境，解读与检验数学解答，并验证数学模型的合理性.

数学是模式的科学.用数学的眼光看世界，产生问题，然后通过“寻模、识模、用模型”或“建模、解模、用模”，而形成新的知识结构.其中“识模、建模、解模、用模”的过程，依靠数学思维.同时解释模型和解释数学知识，涉及到向自己解释，是一个理解、内化的过程；涉及到向他人解释，是一个表达、交流的过程.

4.3 数学学习能力的五组成分

数学学习能力主要包括经验与旧知、问题与活动、思想与方法、观念与态度、调控与反思等五组内容.其中，（1）经验与旧知是基础和起点，这是学习的准备，学生并非一张白纸进入课堂.（2）问题与活动能够驱动学生学习，问题是数学的心脏，是学生学习的起始和载体，活动是学生发现问题和解决问题的具体途径.问题包括质疑和批判，能够引发独立思考，合作与交流；活动包括动手操作，动眼、动手、动口、动脑，也包括习题演练，学数学就是做数学，数学活动除了外显的活动，更多的是内在的思维活动.（3）思想与方法需要在掌握核心概念的基础上掌握核心思想，体验、感悟数学思想方法.（4）观念与态度中，观念包括数学观和数学学习观，态度主要涉及非智力因素，非智力因素包括：动机、兴趣、信念、意志等.（5）调控与反思则是学生的元认知（反思、归因、监控等）过程，是学习的有效保证.

4.4 数学创新能力的三组成分

上文五组数学能力中，贯穿一条主线：实践与创新.而这正好呼应了《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2012）》中所提的“着力提高学生的学习能力、实践能力、创新能力”.实践与创新，意味着让学生在自主学习中培养学生的创新.

数学创新能力有其核心成分，从认知过程来看，主要表现为克服思维定势，打破常规做法；从认知结果来看，主要表现为丰富的、相异的、原创的思维产物，主要涉及数学创造力、创造能力和创新能力等.数学创新具体表现在：方法的多样化，对比、批判、优化；对已有结论的质疑；在已解决问题的基础上提出新的问题.

在此基础上，我们提出数学创新能力的成分有质疑与批判、推广与引申、联系与贯通等.

（1）质疑与批判，能对已有数学概念、公式、公理等提出合理质疑甚至批判，质疑甚至批判不一定就能创新，但确是创新的必由之路.知识本身并不是最重要的，通过数学教学，让学生追问数学上的为什么，养成科学的思维习惯才是最重要的.

（2）推广与引申，能找出一些特殊问题中所蕴含的事物发展的规律，从而得到更广泛的新结论.这种教学设计无疑增强了学生探求未知世界的信心和勇气，使他们体会到成功到喜悦和创造性工作带来的快乐.

（3）联系与贯通，把学过的内容贯穿起来，加以融汇贯通，提炼出它的精神实质，抓住重点、线索和基本思想方法，组织整理成精炼的内容.知识都是相互联系的，应努力寻找新旧知识的联系.纵横联系丰富了理解.

比如，在解一元二次方程“x2-2x-l=O与x2-3x-l=0”时，一般会出现这种情况，或者都是公式法，或者都用配方法.但事实上这两个非常相似的方程，第一题用配方法简单，第二题用公式法较好.第一题用公式法易出现化简不到位的问题，第二题用配方法则易出现计算错误.这其中则贯穿着以上三种能力，教学过程中应该鼓励学生对于方程求解的方法唯一性提出质疑与批判，同时对于方程求解的多种方法也要进行联系与贯通（配方法操作简单，但仅相对适用于符合配方的形式，公式法则是万能的；优先使用配方法，其次使用公式法），最后则需要对联系与贯通后的认知进行推广与引申（推广到其他方程进行验证，甚至引申到函数内容上）.

限于篇幅，本文仅简单论述了数学学科学习力的要素，并初步构建了数学学科学习力的模型.（事实上，可以从不同的角度构建不同的模型.比如，唐恒钧等在文[18]中也构建了一个模型.）在此基础上，提升数学学科学习力的教学策略和基于数学学科学习力的数学课程结构等问题，笔者将另文叙述.

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