随机权重粒子群算法优化磁轴承系统

张建生，王一夫，马啸宇，吴璇

(1.南通大学 电气工程学院，江苏 南通 226019；2.常州工学院 电气与光电工程学院，江苏 常州 213002)

磁轴承是利用电磁力将转子进行无机械接触的悬浮支承[1]，是一种结合机械工程、电子电气工程、计算机科学等学科的新型轴承技术。与传统轴承相比，磁悬浮轴承具有无摩擦、无需润滑、无污染、转速高和精度高等优点。目前，磁轴承在真空和洁净空间系统、高精度机械设备、医疗设备和透平机械等方面得到了广泛应用。

通过对单自由度主动磁悬浮轴承系统分析可知，该系统是开环不稳定的，因此需要进行闭环控制，但普通的闭环控制仍不能使系统趋于稳定，所以需要另加一个PID控制器。在PID控制器中，如何对参数KP，KI，KD进行准确设置一直是需要解决的问题[1]。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)能够快速并且准确地找到全局最优解，并且已证明在多种优化环境中都可以进行应用。与传统优化算法相比，其全局搜索能力更强、计算速度更快。但标准的粒子群算法仍有一些细节需要改进，因此，设计一种随机权重粒子群算法来优化磁悬浮轴承系统的PID控制。

1 单自由度主动磁悬浮轴承控制系统

磁悬浮轴承按照磁力的供给方式可以分为主动磁悬浮轴承、被动磁悬浮轴承、混合磁悬浮轴承[2]。为了控制轴承转子的5个自由度，主动磁悬浮轴承系统共需10个放大器。仅对单自由度主动磁悬浮轴承控制系统进行分析，其模型如图1所示。

图1中，在转子的某一个径向(轴向)自由度位置上，上、下2个电磁铁作为定子，分别安装在转子周边对称位置上，转子受到2个电磁铁的吸引力和重力的合力，在该自由度的某一个位置上实现悬浮。在该自由度方向，通常会安装1个或多个位移传感器实时检测转子的位移变化。

当位移传感器检测到转子偏离平衡位置时，传感器发出的反馈信号Ux与系统的初始参考信号Ur进行对比，其偏差信号Ue经过控制器计算处理后转换成控制信号Uc，Uc经过驱动电路和功放主电路后转换成电磁铁线圈中的控制电流，最终通过改变电磁铁中的电磁力使转子恢复到初始平衡位置。

忽略转子和定子铁芯中的涡流、磁阻、磁滞和绕组漏磁等，根据电磁学相关原理，线圈电流i产生的电磁力为

(1)

式中：x为转子与电磁铁之间的距离；μ0为真空磁导率，μ0=4π×10-7H/m；S0为气隙截面积；N为电磁铁线圈匝数。

转子在垂直方向上受到上、下2个电磁铁产生的电磁力为

(2)

(3)

式中：m为转子质量；g为重力加速度。由(3)式可知，磁轴承的数学模型是一个二次非线性微分方程，电磁力与线圈电流、转子位移之间呈非线性关系。可通过一些线性控制策略来处理这样的非线性微分方程。因此，电磁力F中的力/位移与力/电流的非线性关系可以在静态工作点(x0，i0，mg)处做线性化处理。该工作点表示在一个理想的平衡位置，此时磁场力Fm(x0,i0)=mg，其线性化关系曲线如图2所示[3]，F=Fm-mg。

图2 工作点线性化

将(1)式在平衡点x=x0，i=i0处作Taylor级数展开[4]，舍去二次及以上高次项，再代入偏导数计算，此时F(x,i)可以表示为

Ks(x-x0)-Ki(i-i0),

(4)

式中：Ks为位移刚度系数；Ki为电流刚度系数。

由于在平衡点(x=x0，i=i0)处Fm(x0,i0)=mg，将(4)式代入(3)式可得线性化处理后的磁轴承系统开环数学模型为

(5)

将(5)式进行Laplace变换并化简，得到磁悬浮轴承系统的开环传递函数为

(6)

2 随机权重粒子群算法

2.1 粒子群算法简介

粒子群算法[6]易实现、收敛迅速且精度高，能够在解决实际问题当中发挥其优越性。

图3 粒子位置的更新方式

各粒子根据以下公式更新各自的位置和速度

vid=wvid+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)，

(7)

(8)

式中：c1，c2为学习因子；r1，r2为[0，1]范围内的均匀随机数。

2.2 随机权重粒子群算法

惯性权重w在粒子群算法中十分重要，增大w值可以提高算法的全局搜索能力；减小w值则可以提高局部搜索能力。因此，为避免算法陷入局部最优,提高搜索效率，需要找到最为合适的惯性权重w。

粒子当前位置在全局当中是否合适可以通过其适应度来反映。适应度较高的粒子pi所在的区域可能存在能够更新全局最优点的px。所以，要及时更新px并迅速找到全局最优解，就应减小粒子pi的惯性权重w，提高粒子局部寻优能力；同时，对于当前位置较差的粒子，须跳出当前所在区域，此时应增大惯性权重w，提高粒子全局搜索能力，从而更快地找到全局最优点。

随机权重粒子群算法的原理是将标准粒子群算法中的惯性权重w设定为一个随机数。该方法的2个优点为：如果粒子在寻优的初始阶段就接近最优点，此时随机产生的惯性权重w可能是比较小的值，这样就能够加快算法的收敛速度;解决了线性递减w带来的算法不能收敛到最优点的问题。

算法中惯性权重的修改公式为

w=w′+σ×N(0,1)，

(9)

w′=wmin+(wmax-wmin)×rand(0,1)，

(10)

式中：N(0，1)为标准状态分布的随机数；σ为随机权重方差；wmax，wmin分别为惯性权重最大值、最小值。

随机权重粒子群算法的步骤如下：

1)随机设置每个粒子的速度和位置。

2)计算各粒子的适应度值，将其此时的位置信息和适应度值储存在个体极值pbest中，再找出全部个体极值pbest中适应度值最优的个体，将其适应度值及位置信息保存到全局极值gbest中。

3)更新粒子的位置和速度

xi,j(t+1)=xi,j(t)+vi,j(t+1)；

vi,j(t+1)=wvi,j(t)+c1r1[pi,j-xi,j(t)]+c2r2[pg,j-xi,j(t)];j=1,2,…,d。

4)按照(9),(10)式更新权重。

5)将各粒子的适应度值和此时粒子中最优个体的适应度值进行比较，若该粒子的适应度值更好，就将当前位置作为粒子的最优位置。依次比较当前所有个体极值pbest和全局极值gbest，更新gbest。

6)当算法达到最终要求时，停止搜索过程，同时输出搜索结果；否则，返回第3步继续在群体中进行搜索。

2.3 函数测试

将对随机权重粒子群算法和线性递减权重粒子群算法进行函数测试对比。将用到3个标准测试函数，假如在测试过程中某种粒子群算法体现出更好的性能，则在实际应用过程中就可以运用这种粒子群算法。

1)Sphere函数[7]

(11)

算法中相关参数设置：学习因子c1=2，c2=2；最大迭代次数M=100；搜索空间维数d=30；初始化种群个体数目N=50；惯性权重wmax=0.8，wmin=0.6；随机权重方差σ=0.3[8]。

Sphere函数测试曲线如图4所示。图中R-PSO为随机权重粒子群算法，L-PSO为线性递减权重粒子群算法。

图4 Sphere函数测试曲线图

2)Rosenbrock函数[7]

(12)

算法中相关参数设置为：学习因子c1=2，c2=2；最大迭代次数M=100；搜索空间维数d=30；初始化种群个体数目N=50；惯性权重wmax=0.8，wmin=0.6；随机权重方差σ=0.3。

Rosenbrock函数测试曲线如图5所示。

图5 Rosenbrock函数测试曲线图

3)Rastrigin函数[7]

(13)

算法中相关参数设置为：学习因子c1=2，c2=2；最大迭代次数M=400；搜索空间维数d=30；初始化种群个体数目N=50；惯性权重wmax=0.8，wmin=0.6；随机权重方差σ=0.3。

Rastrigin函数测试曲线如图6所示。

图6 Rastrigin函数测试曲线图

以上图中2条曲线表示2种粒子群算法所优化目标函数的适应度值随迭代次数的增加而趋向测试函数最小值的结果。从图4～图6中可以看出：随机权重粒子群算法相对于线性递减权重粒子群算法能够更快、更准确地找出3个测试函数的最小值。因此，可以认为随机权重粒子群优化算法能够很好地应用在磁悬浮轴承系统的优化问题中。

3 系统实例仿真分析

单自由度主动磁悬浮轴承系统的结构如图7所示[9]，其为带有PID控制器的闭环控制回路，其中PID控制器为[10]

(14)

图7 主动磁悬浮轴承系统的结构图

系统输入为单位阶跃响应，再根据自控原理进行相应的传递函数计算和Laplace变换，可以得到e(t)，u(t)和c(t)表达式，同时可计算出上升时间tu。

在磁轴承系统中，目标函数可以在时域内得到，即将e(t)，u(t)和c(t)进行加权，加权之和作为目标函数[2]。为了使系统得到较好的响应，将目标函数的最小值作为优化目标。取目标函数为

(15)

设计目标函数时，要考虑超调量对系统的影响，因此需将超调量进行加权作为目标函数的一项，则目标函数为

w3tu，

(16)

式中：w1，w2，w3和w4为权值。取w4>>w1，使得数值较大者在迭代过程中逐渐被群体抛弃，取w1=0.8，w2=0.001，w3=20，w4=100；ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)为系统输出[11]。

得到目标函数后，运用随机权重粒子群优化算法对PID控制器参数进行优化。此时目标函数f为包含KP，KI和KD的公式，通过随机权重粒子群算法对目标函数f进行运算，在迭代过程中找出优化后的KP，KI和KD，见表1，目标函数的迭代过程如图8所示。

图8 目标函数迭代图

表1 仿真图参数表

在MATLAB/Simulink中构建磁轴承系统的模型进行仿真研究[12]，系统响应曲线如图9所示。图中ZN法是一种在PID参数设定中处于经验和计算法之间的中间方法，该方法可以为PID控制器设置较为准确的参数，此后也可以根据实际情况进行微调。在单自由度主动磁悬浮轴承系统中，相关参数的实际数值为：Ks=-2.102 8×106N/m，Ki=420.56 N/A，m=12 kg，放大器系数Ka=3.6，传感器系数Kb=5 000 V/m。

图9 系统时间响应曲线

从图9和表1可以看出，相对于传统ZN法，2种粒子群算法都能够提高系统的稳定性；比较分析可知，随机权重粒子群算法可以使系统的稳定性得到进一步地提高，说明随机权重粒子群算法可以很好地优化主动磁悬浮轴承控制系统。

4 结束语

将随机权重粒子群算法与传统PID控制相结合，优化了控制器中的相关参数，使传统PID控制器能够更好地提高主动磁悬浮轴承系统的稳定性。随机权重粒子群算法能够运用在主动磁悬浮轴承系统中，并且能够推广到其他相关应用领域，后续会进行相关试验来验证算法的准确性。