双种群教与学算法在磁轴承PID控制器中的应用

张建生，吴璇，王一夫，马啸宇，卜平凡

(1.南通大学 电气工程学院，江苏 南通 226019；2.常州工学院 电子信息与电气工程学院，江苏 常州 213002)

正常工作时，磁悬浮轴承因转子与定子之间不存在直接的机械接触，具有无摩擦、寿命长、可控性高等优点，适用于高速度、高精度控制的系统中[1]。主动磁悬浮轴承能够更准确地控制与调整轴承系统的阻尼系数、静态刚度、动态刚度和悬浮位置等参数[2]。控制器作为核心部件，直接影响整个系统的性能。磁轴承系统是非线性、开环不稳定的，需要进行闭环控制，常规的PID控制算法简单、鲁棒性强、可靠性高，因此得到广泛使用[3]，可用的PID参数优化算法有免疫理论[4]、遗传算法[5]、粒子群算法[6]、教与学算法(Teaching-Learning-Based Optimization，TLBO)。其中TLBO算法概念简单、收敛速度较快、鲁棒性较强[7]，但基本TLBO算法通常有易陷入早熟的问题，为此，提出一种改进双种群教与学算法(Improved Double Populations Teaching-Learning-Based Optimization，IDTLBO)，并通过仿真试验来验证其控制效果。

1 主动磁悬浮轴承控制系统模型

单自由度主动磁悬浮轴承控制系统的结构如图1所示，其采用双电磁铁差动激磁连接方式，系统包括控制器、功率放大器、电磁铁、转子和位移传感器5个部分。

图1 单自由度主动磁悬浮轴承系统结构图

当转子位于平衡位置时，上、下磁极线圈中通有相等的偏磁电流I0；F1，F2为2个电磁铁产生的电磁力。假设转子受到扰动后，由平衡位置y0向下偏移y，位移传感器检测到该偏移信号并送给位移转换电路，使其转换成相应的电压信号Uy，再把Uy与期望电压Ur相比较得到偏差信号Ue，通过控制器计算得出控制信号Uc，最后通过放大器驱动电路得出控制电流Iy，此时上、下磁极线圈中通过的激磁电流分别为I0+Iy，I0-Iy，电磁力改变，从而使转子向上偏移直至回到初始平衡位置。

作以下假设：1)忽略转子和铁芯中的磁阻、磁滞、涡流及绕组漏磁；2)磁路气隙中的磁场均匀分布，不计铁芯回路磁损。

由电磁学理论可得电流所产生的电磁力为

(1)

式中：μ0为真空磁导率，μ0=4π×10-7H/m;S0为气隙面积，m2；N为线圈匝数；i为线圈电流，A；y为转子与电磁铁之间的距离，m。

图1中，上、下磁极对转子所产生的电磁合力为

(2)

式中：F的正方向与y相反，N；I0为偏磁电流，A；Iy为控制电流，A；y0为转子平衡位置处的位移，m。将Newton第二定律md2x/dt2=mg-F代入(2)式可得主动磁悬浮轴承单自由度运动方程为

(3)

由(3)式可知，电磁力与通过线圈的激磁电流的平方成正比，与气隙间距的平方成反比，主动磁悬浮轴承数学模型是一个关于电流和位移的二次非线性函数方程，这是系统不稳定的主要根源。通常以近似的线性模型来代替非线性模型，如转子在其平衡位置附近作小位移扰动，则可在静态工作点Fm(y0，i0)=mg处进行线性化处理，以此来建立线性化数学模型，同时将(2)式在平衡点y=y0，i=i0进行Taylor级数展开。为简化控制，略去高阶项作近似处理得到

Ky(y-y0)，

(4)

式中：Ki为电流刚度系数；Ky为位移刚度系数，负号表示位移与电磁力的变化相反，即当位移减小时电磁力增大。将(4)式代入(3)式中，由于平衡点(y=y0，I=I0)处F(y0，I0)=mg，KiI0+Kyy0=0，所以线性化后的磁悬浮系统的数学模型为

(5)

对(5)式进行Laplace变换后可得单自由度磁悬浮轴承的传递函数为

(6)

由此可知，系统有2个实数极点，其中一个在正实轴上，因此该系统是开环不稳定的。只有通过闭环控制，同时引入适当的控制策略，才能满足系统的稳定性能。

2 改进的教与学优化算法

2.1 基本TLBO算法

整个算法过程主要分为3个阶段：

阶段1：对班级学生进行初始化

j=1,2,…，NP；i=1,2,…,D,

(7)

式中：rand(0,1)为(0,1)上的随机数，保证个体的多样性。

阶段2：教的过程。先计算出班级所有学生的适应度值，并进行排序，取最优者(适应度值最小者)当教师，记为Xteacher。找出学生与教师之间的差异difference，使学生按照教师的方向进行学习并逐渐靠近教师，从而提高全体学生的平均学习水平。教学公式如下

(8)

difference=rj(Xteacher-TFj×Xmean)，

(9)

阶段3：学的过程。学生除了在课堂上跟随教师学习，还会在课后和成绩优异的同学一起讨论学习，以更快提高自己的学习成绩。因此每个学生Xj可随机选择一个除自己之外的同学Xk，通过分析两人的水平差异进行学习改进，学习公式为

(10)

式中：rj为(0,1)上的随机数，表示学生j的学习步长，每个学生都不相同。与教学过程一样，对学生的新旧水平进行比较，优胜劣汰。

2.2 改进的教与学优化算法

在算法优化前期，学生知识少、受教师的影响大。随着优化次数的增加，学生自身的学习水平逐渐提高，受老师的影响有所减少，不同学生自身的学习能力更加重要。而TLBO算法中并没有体现出这种学习方式的变化，使得班级学生在优胜劣汰下抛弃了学生的差异性，快速向教师的学习水平靠近，教师自身的水平也因没有学习对象而无法提高。这就导致了TLBO算法在全局优化过程中容易陷入早熟，且最优解精度不够高。

在实际教学过程中，学生人数通常较多，为了效果更好，可选择分班教学，由不同的老师分别带领学生学习。参考这种模式，在改进的TLBO算法中可对待优化种群进行分组，将学生一分为二，采用双种群教与学优化算法[9]，并在每次优化过程中对教师采用反向学习[10]策略，实现教师自身学习水平的提高，即解精度的提高。在TLBO算法的学生学习阶段中，优胜劣汰方法也间接减少了学生间的差异性，使算法极易进入局部最优，无法跳出。IDTLBO算法采用在学生互学更新后，用变异方法重新替换部分学生的方式来增加个体间的多样性，来促进算法跳出早熟，获得最优解。

IDTLBO算法的具体实现如下：

阶段1：将班级分为2组，对选出的2位教师进行反向学习。

定义2(利用反向解优化)：若存在某个可行解X，其反向解为X′，若f(X′)

教师反向学习算法(OBL)：

1)输入Xj(t)，设置迭代次数为t=0；

3)若不满足结束条件，则t=t+1，转上一步；

阶段2：在学生向其他同学比较学习后，通过变异方法对部分较差学生的成绩重新替换，变异公式为[9]

(11)

式中：ω为变异因子，取0.6；r1和r2为(0,1)上的随机数；xi为学生的第i维变量值。

提出的改进算法与基本算法的区别见表1。

表1 2种优化算法的区别

IDTLBO算法基本流程如图2所示。

图2 IDTLBO算法基本流程图

IDTLBO算法的步骤如下：

1)初始化种群，随机产生所有个体的学习成绩。

2)计算出个体的适应度值f(Χj)，取出最小的2个分别为教师Xteacher1和Xteacher2。将其余学生进行随机分组，若学生人数为偶数，则2组人数相同；若为奇数，则对较优秀的教师多分一名学生。

3)记迭代次数t=0；2位教师同时根据(2)，(3)式分别对自己的学生进行教学；教学结束后，教师自身进行反向学习。

4)2组学生可从对方组中任选一人，根据(10)式进行互相学习；更新结束后选出部分差生，根据(5)式对其进行变异操作，替换原来成绩。

5)优化结束后，对比2位老师水平，取最优者保存，同时将2组学生合并为一组。

6)迭代次数t=t+1，此时若达到优化满意结果或达到最大迭代次数T，则终止循环，输出保存数据中的最优者；否则，转到2)继续循环。

3 系统优化与仿真

3.1 IDTLBO-PID参数优化问题

PID控制器包括比例环节P、积分环节I与微分环节D，其传递函数为

(12)

PID控制器的优化问题就是确定一组合适的参数，即l=(KP，KI，KD)，使系统性能指标达到最优。在采用IDTLBO算法优化PID控制参数时，需将待整定参数组l看作一个三维个体，将相应的指标J看作个体的适应度函数f，在所有可行解中能够使适应度值达到最小的即为最优解。选用常用的ITAE误差性能指标作为PID参数整定的适应度函数，能够准确反映出系统的动态性能，其定义为

(13)

PID参数优化过程如图3所示。将个体的空间位置Xj对应参数组l代入控制系统中，得出相应的稳态误差信号并计算个体适应度值J。在Simulink模块中搭建控制模型，采用MATLAB平台编制仿真程序。

图3 PID优化过程框图

3.2 系统仿真试验

主动磁悬浮轴承系统的控制图如图4所示。图中，KA为功率放大器增益；KS为位移传感器增益。参数分别为：I0=2 A，m=12 kg，Ky=-2.102 8×106N/m，Ki=420.56 N/A ，KS=5 000 V/m，KA=3.6 A/V。在程序中初始化种群参数，粒子群总数N=30，D=3，T=100，参数KP，KI，KD值设为[0，200]。

图4 主动磁悬浮轴承系统控制图

为了验证IDTLBO算法的有效性，将其与遗传优化算法(GA)、基本TLBO算法进行比较。采用这3种优化算法对系统输入单位阶跃信号进行仿真，使转子由初始位置起浮，保证悬浮气隙稳定在0.25 mm，即系统最终在y0=0.25 mm时保持平衡，并在t=0.45 s处给系统施加幅值为0.01 mm的扰动信号，其仿真结果如图5所示。

由图5可知，IDTLBO算法下系统超调量为4.01%，在t=0.1 s处转子达到平衡，并保持稳定；GA算法的调节时间为t=0.25 s；TLBO算法下系统的超调量为10.22%，调节时间t=0.38 s。受

图5 控制系统仿真图

到同一幅值的干扰信号时，IDTLBO算法反应最快，在0.05 s后恢复到平衡状态；GA算法次之；TLBO算法反应最慢，时间约为0.15 s。

经优化后，得出3种算法最优适应度值迭代变化图如图6所示，IDTLBO算法的KP，KI，KD参数迭代变化图如图7所示。

图6 最优适应度值迭代图

图7 KP，KI，KD参数迭代变化图

由图6可知，最优适应度值迭代次数反映了该磁悬浮轴承控制系统的整体性能，其中IDTLBO算法收敛速度最快，在迭代20次时，J值已接近并稳定在全局最小值；TLBO算法前期收敛速度较快，后期陷入局部最优难以跳出；GA算法最优值介于两者之间，但收敛速度比较缓慢。由图7可知，参数KP在迭代20次时基本稳定，KI数值基本不变，KD在迭代25次时开始稳定。3种算法下KP，KI，KD最优参数见表2。

由表2可知，IDTLBO算法在收敛的快速性和稳定性上明显优于GA算法和基本TLBO算法；考虑系统的超调量和最优适应度值，则进一步可知IDTLBO的系统动态性能也是最优；因此IDTLBO算法在主动磁悬浮轴承控制系统中能够有效实现。

表2 PID最优参数表

4 结束语

通过仿真结果可知，提出的IDTLBO算法与其他一些传统优化算法(GA，TLBO算法)相比，优化速度更快，使系统稳定所需时间减少了一半；抗干扰能力最强，恢复稳定时间最短；最优控制参数值精度更高，使PID控制器对系统的控制保持了更好的鲁棒性和更优的动态性能。一定程度上改进了磁悬浮轴承系统的非线性和开环不稳定性，为智能群体算法在磁悬浮轴承系统中的应用提供了有效的参考方案。