用蛛网巧释浙江数列压轴题*

●孙军波

(温岭中学，浙江 温岭 317500)



用蛛网巧释浙江数列压轴题*

●孙军波

(温岭中学，浙江 温岭 317500)

借助蛛网工作法，从图像角度形象地诠释了2017年浙江省数学高考压轴题，并借助图像进行推广延伸.文章通过数形结合简议了对于这一类迭代数列的处理和命制思路，为解决和编制这一类型问题提供方向和思路．

蛛网工作法；不动点；数形结合；数列不等式

2017年浙江省数学高考仍以数列题压轴.数列作为刻画离散模型的重要函数，在高考中常与不等式相结合，这也是困扰学生的难题．笔者以2017年浙江省数学高考压轴题为例，引入“蛛网法”，通过数形结合简议这一类型数列的收敛、发散变化，希望能给大家带来一些启发与帮助．

1 考题再现

例1 已知数列{xn}满足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),证明：当n∈N*时，

1) 0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

即

第3)小题是在第1)，2)小题基础上的引申．若仅仅停留在就题解题，则不能使学生的数学能力得到提升．笔者将其和近几年的一些高考题作了比较归纳，认为关注数列的收敛和发散可能是解决这一系列不等式的关键之处．借助图像可以直观地看透这类数列的变化．

从曲线的观点，点(xn,xn+1)在曲线x=y+ln(1+y)上，按如下步骤作图：第1步作点(x1,x2)，第2步过点(x1,x2)作平行于x轴的直线交y=x于(x2,x2)，第3步过点(x2,x2)作平行于y轴的直线交曲线x=y+ln(1+y)于(x2,x3)，依次类推……

图1 图2

2 方法溯源

上述方法有一个很形象的名称——蛛网工作法[1]．对于an+1=f(an)(其中n∈N*)迭代生成数列的具体情况，往往不需要作很多计算，通过图像观察即可．此类数列变化主要有以下两个规律:

命题1的证明略.

命题2 设数列{an}满足递推公式an+1=f(an),其中n∈N*，函数f在区间I上单调，同时数列{an}的每一项都在区间I中，则只有两种可能：1)当f单调增加时，{an}为单调数列；2)当f单调减少时，{an}的两个子列{a2k-1}和{a2k}均为单调数列，且具有相反的单调性．

分析 1)若f(x)在区间I上单调增加，假设a1

ak+2-ak+1=f(ak+1)-f(ak)>0．

若a1≥a2，同理用数学归纳法可证明an≥an+1．

2)可类比上述结论1)的证明过程．

根据命题2可作出如图3和图4所示的图像．

图3 图4

3 题目改编

严格证明这两个命题需要用到数学归纳法等，以上的几何观察在发现规律、提供思路和命题时是很有用的．

借助图像，可以清晰地看出数列{xn}的变化，根据图1和图2，例1可作如下改编：

改编1 将x1=1改为x1>0，数列{xn}单调递减且收敛于0，则结论1)，2)仍然成立，只是影响结论3)的结构形式.

改编2 将x1=1改为x1=-1，数列{xn}单调递增且收敛于0，即

1)xn

改编3 将条件改为xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，xn+10.

改编4 将条件改为x1=1,xn=xn+1+ln(1+kxn+1)(其中k>1,n∈N*)，结论1),2)仍然成立.

根据图像，可以多角度清晰地去改编例1，其中曲线的变化和首项的范围是影响数列收敛、发散的关键．

4 经典回顾

回顾近几年的数学高考数列试题，均可用蛛网法解释.

(2015年浙江省数学高考理科试题第22题)

图5

分析 利用蛛网可以发现:点(an,an+1)在函数y=f(x)=x-x2上，借助不动点，按如下步骤作图：第1步作点(a1,a2)，第2步过点(a1,a2)作平行于x轴的直线交y=x于(a2,a2)，第3步过点(a2,a2)作平行于y轴的直线交y=f(x)于点(a2,a3)，依次类推……(如图5).

1)an

2)Sn>n-2；

3)Tn<3．

(2008年浙江省数学高考理科试题第22题)

图6

(2014年重庆市数学高考理科试题第22题)

图7

5 问题拓展

借助数形结合,可以看清此类迭代数列不等式的问题，也可以去命制此类数列问题，还可以去解决一些递推关系为不等式的问题.笔者曾命制过一道地区高考模拟试题如下：

1)求证：an+2

2)求证：an>1．

图8

因为

所以

an+2

2)假设存在ak≤1(其中k≥1,k∈N*)，由第1)小题可得当n>k时，an≤ak+1≤1．

于是

…

(1)

因此

这显然与式(1)矛盾．故an>1(其中n∈N*)．

[1] 谢惠民，恽自求，易法槐，等．数学分析习题课讲义(上册)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

�2017-06-14；

2017-07-03

孙军波(1982-)，男，浙江温岭人，中学高级教师，教育硕士研究生.研究方向：数学教育.

O122

A

1003-6407(2017)08-48-03