“直观想象”在全国卷试题中的应用探析

福建省武平第一中学 (364300) 钟晓斌福建省漳州第一中学 (363000) 林新建

“直观想象”在全国卷试题中的应用探析

福建省武平第一中学 (364300) 钟晓斌福建省漳州第一中学 (363000) 林新建

“直观想象”是高中数学核心素养的重要内涵.

“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.

“直观想象”主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

以下以全国卷试题为例，就“直观想象”的解题应用作一探析，以飨读者.

1.在函数试题解答中的应用

运用“直观想象”策略，可以较好地引领图形特征的感知和形数关系的建立，使函数问题得以轻松解决.

例1 (2013年高考新课标卷Ⅰ理科16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是 .

其实，若运用“直观想象”策略对函数的图形特征作感知，可将问题轻松予以解决，运算量也很小.

由“直观想象” 知函数f(x)有两个零点1，-1，而f(x)的图像关于直线x=-2对称，故f(x)另有两个零点-3，-5，所以f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

再运用“直观想象”对f(x)的图像作感知，可知若f(x)的图像向右平移两个单位，其最大值不会改变，于是我们可将求f(x)的最大值转化为求函数h(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值了.至此，直接配方即得f(x)=-(x2-5)2+16，故f(x)的最大值为16.

与高考参考解答比较，这样的解法另辟蹊径，轻松快捷，凸显了“直观想象”在引领图形特征感知、简化解题途径上的重要作用.

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

解析：本题同样难在第(2)问，许多考生不知从何入手，望题兴叹而已.

其实，若能运用“直观想象”策略建立起形与数之间的联系，问题可轻松获得解决.

画出函数y=ex与y=(a+1)x+b的图像，由“直观想象”易知，要使上式恒成立，必须a+1>0，因此，要使(a+1)b最大，必须b>0.

又因为ex≥(a+1)x+b恒成立，再由“直观想象”可知，函数y=ex与y=(a+1)x+b的图像必须相切.

设切点为P(x0,y0)，则y0=ex0=(a+1)x0+b，且ex0=a+1.

联立可得x0=ln(a+1)，b=(a+1)-(a+1)ln(a+1)，故(a+1)b=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).

与高考参考答案比较，上述解法另辟蹊径、简洁优美，使我们感到：

(1)运用“直观想象”策略可轻松引领形数关系的建立，这样不但回避了分类讨论带来的麻烦，而且思维更加流畅、更容易接近问题的本质；

(2)思维的“拐点”，就是数学思想的“发源地”，数学解题要善于在思维的“拐点”处“直观想象”，往往会有“踏破铁鞋无觅处，柳暗花明又一村”的收获.

2.在三角试题解答中的应用

运用“直观想象”策略，可以较好地引领通法的运用和函数方程模型的构造，使三角问题得以轻松解决.

分析：本题仅知一边一角，因条件不足无法直接运用正、余弦定理予以求解，怎么办？

由“直观想象” 知，若引入新量(角或边)，使得解三角形具备运用通法“知三求三”的条件，三角形方能予以求解！

同时，因为是最值求解问题，由“直观想象”知也必须引入变量，构造出待求最值关于这个变量的函数，问题方能求解.

分析：本题也是三角形问题，无论在哪个三角形中，都是因为条件不足无法直接运用正、余弦定理予以求解，怎么办？

如同例3，由“直观想象”知：若引入新量(角或边)，解三角形才能具备“知三求三”的条件，三角形方可解矣！

同时，因是求值问题，由“直观想象”知，也必须设出变量，构建出关于待求变量的方程，进而通过解方程方能将问题解决.

3.在数列试题解答中的应用

运用“直观想象”策略，可以较好地引领求和模型的构造和变化规律的预测，使数列问题得以轻松解决.

例5 (2014年高考全国卷Ⅱ理科17题)已知{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

分析：本题难在第(2)问，直接证明无从下手.

例6 (2012年高考全国新课标卷理科16题)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为 .

分析：本题是填空把关题，依常规方法求解极为繁琐.其实，由“直观想象”不难预知，本题是填空题，故不论数列{an}如何变化，其前60项的和不会因数列的变化而变化，由此我们可将首项特殊化予以求解.

解析：由an+1+(-1)nan=2n-1，得an+1=2n-1-(-1)nan.令a1=1，则有a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，…

评析：上述求解轻松快捷，不亦乐乎，这得益于首项的特殊化，否则规律不易探明，求解势必复杂耗时.而想到运用“特殊化”策略予以求解，这又取决于对数列变化规律的“直观想象”，凸显了“直观想象”在预测数列问题的变化规律上的重要作用.

4.在解几试题解答中的应用

运用“直观想象”策略，可以较好地引领图形的运用和问题的转化，使解几问题得以轻松解决.

分析：本题依常规方法求解较为麻烦，若运用“直观想象”策略对图形作考察，问题即可转化，答案瞬间可得.

A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1

解析：本题直接求解无从下手，若运用“直观想象”策略对图形作考察，问题即可转化，求解轻松快捷.

“直观想象” 在数学解题中有着重要的作用，在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维，平时教学和高考复习都应予以足够的重视.