让瞬间的“意外”变成永恒的精彩

江苏苏州吴中区木渎实验中学 (215000) 周先荣江苏苏州吴中区苏苑高级中学 (215000) 张国棣

让瞬间的“意外”变成永恒的精彩

江苏苏州吴中区木渎实验中学 (215000) 周先荣江苏苏州吴中区苏苑高级中学 (215000) 张国棣

在江苏省教育科学“十二五”规划课题《普通高中数学教学方式的兼用性与生成性的实践和研究》的研究过程中，从观摩的大量课例看，老师对课堂教学的方式、内容都能够进行充分的预设，而对课堂教学的生成性却很难把握及时到位.一旦出现非预设的“意外”情况，教师会不自觉地将学生拉回到自己的预期轨道.而这种意外很多时候是学生情感和思维的迸发，是瞬间生成的难得的探究契机.本文浅谈如何把握机遇将意外变成无法逾越的精彩.

一、意外瞬间，情感的激情流淌

课堂是个温馨地，学生更是有情人.如果说文本之情是根本，教师之情是桥梁，那么，学生之情才是最终的价值指向.好的课堂，必须引导学生在教师的情感中感受情感，在文本的情感中领悟情感，在课堂的情感中点燃情感，让学生流淌自己的情感，放纵自己的情感.

课堂意外的生成，对学生来讲就是灵感激荡的瞬间，老师适时的扶持，就像在学生的心海投下一枚石子，激起的涟漪正是学生学习的无穷动力.科学家钱学森说过：“灵感，也就是人在科学或艺术创作中的高潮，突然出现的、转瞬即逝的短暂思维过程.” 数学思维灵感的出现往往带有突然性，同时也可能转瞬即逝.这种机不可失的“妙微心会”，错过了就不会再来，往前走一步也许就是柳暗花明的新意境.

从学生核心素养的“适应个人终生发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”来看，我们教育的对象是具有丰富情感的生命个体，教育的目的不仅是向学生传授知识技能，更应该尊重并满足其合理的精神需求，培养其健康情感和完整人格.所以，我们要确立以人为本的理念,以学生为本的思想,不能把学生仅仅看成教育的对象、认知的群体,更重要的是要把学生看成独立的生命主体.把握住每一次意外生成的契机，回归到本应属于生命主体的活动中去,回归到学生具体的年龄、成长阶段和时代背景中去，施以自然有效的引导、探索，少一点人为的雕琢,追求一种自然、和谐的原生态.呵护学生对知识的渴望、对自我成长的自信、对生命的珍视以及对生活的积极乐观.

二、追踪探究，问题的深度发现

课堂上，学生萌萌的眼神，喃喃的疑问，怯怯的一挥等等，都是学生发现问题，表达情感的方式，都有可能是意外生成的瞬间.教师要善于捕捉这样的瞬间，抓住机遇将“意外”变成“无法逾越的精彩”，“教学原本是即席创作.”

1.萌萌的眼神，期盼老师的点拨

“眼睛是心灵的窗口”.有时老师不需要问学生“听懂了吗？”，也不需要回答“听懂了”，只要短暂的对视，就可以从学生的眼神里读懂学生的心灵，是“听懂了”、“会做了”的喜悦，还是存在疑惑的期盼，还是充满探索的欲望.通过心灵的对话，及时从学生期待的眼神中发现问题，及时探索，不要将问题留到“课后”.

如，在“函数的单调性(第一课时)”教学中，笔者构造了“我国1980年以来GDP变化情况”的问题情境.给出了1980年以来每年GDP的数值，让学生分析数据，并指出随年份增长的变化规律.为了让学生更直观的体会“递增”，笔者还做了“条形图”让学生进行分析观察感悟.随后由学生自主的总结出函数单调性的定义.就在老师甚为得意之时，发现有些学生的眼神萌萌的有点迷茫，说明出现了意外情况.笔者暂停了下一个预设的教学流程，让学生随便谈谈自己的感想.果然，学生提出了问题：(1)定义里为什么要“任意”两个字？(2)为什么是“区间”？

这说明学生还没有真正理解这个概念.学生有时可以记忆概念、公式，并会用之解题，但真正的理解对学生来讲是遥不可及的.数学里的定义、定理，老师会解释、会证明，但很多学生感觉这些解释、证明和自己无关，听不懂.因为学生感觉和老师身在两个世界里，老师在抽象的数学世界里，学生在现实的世界里，老师认为理所当然的事情，而学生正心存疑虑.找不到契合点就无法沟通，老师不能只进行抽象解释，关键是指明从现实世界走向抽象世界的路径.很多学生为什么害怕数学，除了“填鸭式”、“题海”等教学方式造成的厌倦因素外，很大一部分原因是学生没有真正的理解数学.

情境中的“年份”是有限的，对于一个有限和无限数列来说，检验其是否单调很容易.函数的定义域M是区间、全体实数集R那样的无法枚举、分不出先后的无限集合.现在要检验它的函数值是否随自变量的增大一直上升(或下降)，而且一个也不能少，怎么办？此时的单调性刻画，不能一个个检验，也没有相邻两项可以比较.于是我们只能对“任取得”的两个值做检验，即无论取哪两个自变量的值，只要对函数作出比较.定义乃是一种形式化的数学表示，在认识上具有一定的跳跃性，学生的思维就会发生障碍.为什么“任意两个”？非常突兀，究其根源还在于是无限集.通过这里的咬文嚼字，数学语言的严密性也显现出来，这样深度的探索，学生才能真正的理解了数学.

事实上，对“任意的……”，是数学语言的一次革命，19世纪末微积分严格化进程中出现的语言，极限定义中“对任意的”，这套语言把无限的过程写成“有限的形式”.函数单调性也是这样的转换过程，有限的形式反映无限的内涵.

2.喃喃的疑问，预示探究的生成

课堂上，老师容易忽略的往往是学生的喃喃自语.说不定将学生的喃喃之语说成学生“好讲话”，“干扰教学”.事实上，这往往是学生喧嚣想法的一种方式，慑与老师的“威严”而不敢大声质疑罢了.喃喃自语中可能生成新的探究情境，这是不应该被忽略的.笔者曾经疑问公园小池塘里的天鹅为什么不飞走去追求翱翔的自由呢？难道翅膀的羽毛被剪掉了吗？不是.天鹅起飞需要一定的振翅划水的距离，由于池塘小无法提供足够的起飞距离，它飞不了.同样，老师要给学生提供足够的想象空间，放飞学生的思维，让学生“振翅翱翔”.

如，在一节平面向量的复习课上.当师生梳理概念、原理的时候，一个学生小声说“平面向量的基本定理怎么来的？有什么用！”面对这种喃喃自语，老师不予理睬吗？不！学生的这种略略不满的疑问，实际上是说明老师教学中存在失误.试想：学生不知道所学习内容的发生历程及重要价值，他能有学习兴趣吗？怎么办？只有让学生了解“为什么要学”，才能点燃学生继续学习的热情.事实上，数学原理是在数学学习的基础上，对概念及概念之间的关系的学习.为什么有这个原理，在系统中起什么作用，这也是数学教学要关注的，是揭示数学本质的必然环节.

向量全面进入中学数学课程是21世纪的事情.最早古代就用向量表示力，公元前350年，亚里士多德就知道了力可以表示为两个向量，两个力的合力可以用平行四边形的法则来得到.以后的一千多年，经历文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识都没有什么变化.虽然伽利略更清楚的叙述了“平行四边形”法则，但向量并没有发展为独立的学科.这种向量的加、减也停留在可操作的有限个向量的层面，这算是向量启蒙阶段.

有力的合成就必有力的分解.力的分解单靠加、减法运算无法完成，必须引进另一个运算“数乘”，有了“数乘”向量才具有了自己的特定数学结构.解决了许多向量计算问题，这就有了向量的基本定理.

基于平面上的全体向量做出的集合，定义了加法和数乘运算，就可以构成新的数学结构，叫空间向量.平面几何与立体几何以综合法演绎为主，引入坐标后发展为坐标几何即解析几何，但解析几何中的点不能运算，“点”作为向量后就可以运算了，这又比解析几何更深一层，特别引进数量积后，向量几何又插上翅膀超越了解析几何.随着计算机技术的发展，向量在未来将有更大的发展空间.可以说进入数量积，是向量的完善阶段.

如果对向量基本定理不能这样深入分析其存在的合理性，向量的学习就打了折扣.这个探索的过程，渗透了数学史、数学文化，这也是学生必备的数学素养.经过这样的探索，学生感觉到向量的神奇，形成强大的学习内蓄力，这正是我们所期盼的.

3.怯怯的一挥，数学本质的发展

在问题解决中，怎样寻找问题的关键信息，如何解释、转换问题的各种信息，怎样将已经尝试过的方法保存在头脑中，怎样权衡假设的可能性，如何将目标进行分解，如何将部分综合成整体，在遇到困难时如何及时转换思路，如何通过具体问题的解决归纳出一般的思想方法，等等.这些基本知识、基本技能的习得都是老师教学中需重点关注的.

但是，如何在数学问题的解决过程中，体现发现问题、提出问题并加以分析、解决的过程？如何在数学深度探索中，对问题结构性层次发展，更加关注基本活动经验和基本思想的积淀？这些问题，本杰明·富兰克林的一句名言：“Tell me, so I will forget.Show me, so I may remember. Involve me, so I will understand.”(告诉我，我忘了；给我看，我也许记住了；让我参与其中，所以我理解了.)，这给了我们足够的启示.就是通过一系列更微观的子问题探索，使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，强调的是使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力，通过问题解决产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念.这些探索过程的生成往往是一瞬间的事情，老师要抓住机遇，有“任凭风雨来袭，我自岿然不动”的让学生坚定探究的理念.

如，课堂上笔者给出这样的问题：请你用一块正三角形纸片，剪拼成一个正三棱柱模型.

如图1、2，当学生给出两种解答之后，学生反思：因为正三棱柱的各个面展开后成一个平面十边形，所以，要把正三角形纸片剪拼成正三棱柱,实际上就是把正三角形纸片剪拼成一个平面十边形(等面积).

这时一个学生怯怯的举起了手，问道：“任意一个三角形总可以(等面积)剪拼成一个十边形？”面对这意外的发问，老师放弃了原来要讲“下一题”的教学预设，改为让学生对新问题的合作探究.

为了形成探究的梯度，老师鼓励学生从特殊图形(矩形、平行四边形)出发“以简驭繁”地探究问题，下面是学生探究的一些结果.

探究1 任意三角形都可以等面积地剪拼成一个矩形.

学生探究如图3的剪拼过程(取三角形两边中点，三角形1和2、3和4分别是全等三角形).

探究2 两个面积相等且有一个公共边的矩形和平行四边形可以互相剪拼.

如图4，可以完成剪拼.

探究3 两个面积相等的矩形可以互相剪拼.

如图5，假设ABCD与EFGH是两个面积相等的矩形，AB是两个矩形中最长的边，因为AB≥EH，可作EL等于AB，取KL等于EF，则平行四边形EFKL与矩形ABCD、矩形EFGH都有一条等长的边，可以相互剪拼.

这时学生又提出问题：“任意多边形都可以(等面积)相互剪拼吗？”，继续探索吧！

探究4 任意多边形都可以等面积地剪拼成一个矩形.

学生的探究出现了困难，老师及时发挥“脚手架”的作用，进行点拨、扶持.学生解释以下事实：多变形可以剪拼成若干个三角形，由探究1、探究3，在理论上是可以完成的.

探究5 两个面积相等的任意多边形可以互相剪拼.

学生解释：可以把其中一个多边形(等面积地)剪拼成一个矩形,另外一个(多边形)也可以(等面积地)剪拼成同样一个矩形,既然两个多边形都能剪拼成同一个矩形,说明这两个多边形是可以互相剪拼的.

这就是著名的波尔约-盖尔文定理.学生为了能探索这样深奥的数学而欢呼.这样的探究，重要的是在反思中培养学生提出问题、解决问题的意识，和探究问题的兴趣.

波利亚指出：“一个好的教师应该懂得并传授给学生下述看法：没有任何一道题可以解决的十全十美，总剩下一些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.暮然回首，只因在灯火阑珊处“多看了你一眼”，出现了瞬间的惊喜，往前一步，就会带来无限风光.

三、仰望星空，看到数学的深邃

仰望星空的人，看得到1+1=2中的函数思想，看得到简单数学问题背后的长长的数学思想隧道，看得到数学的深邃.有智慧的人会把复杂的问题教的简单，会把简单的问题教的厚实，会让人从一个概念、一个公式、一个算法中看到整个数学学科的魅力.当教师的眼里有真正的数学，当课堂中有真正的学生，数学教育就有了撬动地球的支点.

理查德·科朗(Richard Courant)在《什么是数学》中指出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求.”爱恩斯坦曾说过：“提出一个问题比解决问题更重要，后者仅仅是方法和实验过程，而前者则要找到问题的关键和要害”.被老师“牵着走”的学生是学不好数学的.只有学生不停的自主提出问题、探索问题才能让思维更加厚重.

布卢姆(Benjamin Bloom)对学习分为六个部分知识、领会、应用、分析、综合、评价.学生“领会”数学已经不易，要学生能够评价数学、评价自己的学习，老师教学必须从“知道什么”到能够运用知识 “解决什么”的转型，更重要的是从“解决问题”到“提出问题”的转型，这是培养学生创新思维的根本.

总之，在“意外”生成的探索中，引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题所蕴含的数学方法、数学思想进行不断的思考并做出新的判断，让学生体会发现带来的乐趣，享受探究带来的成就感.长此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件.

[1]张奠宙.数学教育随想集[M].华东师范大学出版社.2013.5.