熵理论在住房抵押贷款证券化中的应用

杨旭

熵理论在住房抵押贷款证券化中的应用

杨旭

熵理论正逐渐影响整个金融学领域。我国住房抵押贷款证券化业务在金融危机之后重新起步，面临国内城镇化率不断提高和房地产市场迅速发展，发展住房抵押贷款一、二级市场联动十分必要。探讨熵理论在住房抵押贷款证券化业务中的应用，为业务开展提供新的模型和新的解决思路，可以进一步强化证券化业务的理论原理，推动证券化市场有序高效发展。通过分析证券化中参与主体的带熵博弈问题、提前还款等效期权定价问题和投资者投资组合的熵优化问题，梳理熵理论在证券化各环节和各参与主体之间的应用。

熵；住房抵押贷款；贷款证券化

熵的概念起源物理学中对于能量利用效率的研究。熵理论的广泛适用性和强大的解释能力引起了越来越多的专家学者的注意。在金融学领域，熵理论在资本资产定价、资产投资组合和博弈论等方面发挥着重要作用。

住房抵押贷款支持证券（以下简称RMBS）作为最早开展的资产支持证券（以下简称ABS），自诞生以来高速发展，成为数量占比最大的ABS产品。RMBS产品收益可观，风险较小，成为在一定程度上代替国债的优秀固定收益品种。RMBS以个人住房抵押贷款作为基础资产，相比于其他类型ABS产品在定价研究和资产投资组合等方面有着特别之处。将熵理论引入住房抵押贷款证券化当中是一种新的操作手段，可以简化证券化过程中的具体操作，从新的角度深化对住房抵押贷款证券化的理解。

一、熵概念的建立及熵理论的发展

热力学熵的物理含义在于任何不可逆过程都会引起熵的增加，熵的增加原理实际上是热力学第二定律的另一种表述，即热量不可能自发地从低温热源向高温热源转移而不引起其他方面的变化。

波尔兹曼（Boltzmann）1872年对克劳修斯提出的热力学熵的概念进行了丰富，从微观角度上解释了状态函数熵的物理意义。波尔兹曼关系表示为

式中：k为Boltzmann常量；W为决定宏观系统混乱度的微观状态数。

Boltzmann关系式实质上是联系了克劳修斯熵（宏观系统的熵）和微观状态数。随着系统微观状态数的增加，系统的熵也逐渐增大，它们之间存在着正相关关系［1］。

香农（Shannon）在20世纪40年代研究信息量度和不确定性的关系时，发现他对信息量的定义与波尔兹曼熵的表达非常相似，信息就是熵的对立面。根据波尔兹曼的熵理论，熵值的大小反映了系统无序度的大小，即系统在众多可能的状态中不确定性的大小。信息的获得可以排除多个可能存在的情况，使不确定性减少，即减小了系统的熵值。香农把熵的概念引用到信息论中，称为信息熵，即Shannon熵［1］。其定义为

式中：K是常量系数；某一事件或状态发生的概率以P来表示。

薛定谔在《生命是什么》一书中首次提出了负熵的概念。鉴于克劳修斯表明孤立系统本身是趋向熵增的，开放系统要不断地从外界吸收负熵才能维持自身熵值不变，维持自身系统的稳定。普里高津（L.Prigogine）提出的耗散结构理论表明，系统本身熵的变化取决于其自身的熵增和与外界交换的熵流（可正可负），可表述为

式中：deS代表系统从环境中吸收的负熵；diS表示系统自身产生的熵增。只要满足，则系统的熵增dS便为负，系统就能趋向有序态［1］。

在提出克劳修斯熵时，研究的是封闭系统中的线性变化过程，熵增也只是出现在不可逆的过程中，可逆过程的初末状态一样，所以熵值不变。熵在波尔兹曼扩展下可以描述各种系统中粒子的微观状态数，不再局限在描述系统的变化过程。同时，状态熵涵盖所有开放和封闭系统，适用性大大增强。香农进一步把宏观系统的无序度和不确定性联系在一起。既然微观粒子的状态数决定了宏观系统的无序度，那么微观粒子的状态数携带的信息决定了宏观系统不确定性的大小。无论是薛定谔提出的“负熵”，还是耗散结构理论表达的“熵流”概念，都是把熵这一系统的特征看成可以在系统间转移。系统自身与其他系统发生的关系导致了系统本身的变化，熵值反映系统变化的情况而不直接决定变化的过程［2］。

二、熵理论与金融学的结合

物理学作为自然科学的基础，对经济学的发展影响很大。经济学的奠基人亚当·斯密深受物理学中机械力学理论的影响。古典经济学也深刻保留着机械论世界观的印记。

随着熵理论的不断发展，人们越来越意识到其背后隐含的深刻思想。耗散结构理论研究的是系统从混乱状态向有序状态变化的过程和原理。这一理论对于研究社会科学起到了启发性的作用，以熵理论和自组织理论为核心的一系列热力学理论开始对经济学和金融学产生深远而重大的影响［3］。

熵理论与金融学的结合主要分为2个部分：一是熵理论的自组织思想对于金融学的影响，二是最大熵原理等具体数理计算方法用于资产定价和资产投资组合等领域。熵理论的基本论述是孤立系统的混乱度随着时间的变化而增大。若要保持系统的熵值，即混乱度不变，需要不断从外界供给系统负熵。自组织理论表明虽然整体系统的熵逐渐增大，但远离线性区域，可以形成局部稳定有序的结构。金融学主要研究与货币相关的资源配置问题，对于整体金融系统而言，科技劳动力等因素是外部供给的，内部的货币流通是内在因素。如何在封闭系统（可能是某国某地区）实现局部的稳定有序，如何减少系统的熵增，是金融学需要研究的问题。

资产定价涉及到衍生金融工具的定价问题，需要合理估计未来现金流和支付的可能分布及概率大小。最大熵原理从支付状态的平均分布入手，假设可能存在的状况都会以一定的概率存在，即可阐述为支付的熵为最大值。最大熵原理可以用于期权的定价问题。在资产组合方面，运用最大熵原理在同等收益和风险的情况下，其投资组合分布可以更加均衡。另外，熵理论还广泛用于博弈论等领域。

总结熵理论在金融学中的运用情况，笔者针对个人住房抵押贷款证券化业务提出了3个方面的具体实践。个人住房抵押贷款证券化（RMBS）业务环节较多，涉及到多个参与主体。各参与主体的市场地位和议价能力各不相同，决定了研究住房抵押贷款证券化过程需要多种理论模型共同完成。在证券化业务中，广泛存在发起人与特殊目的载体（以下简称SPV）、SPV和投资者、SPV和辅助参与机构（如评级机构等）之间的博弈。运用熵理论可以有效分析博弈过程，提出博弈优化的建议。住房抵押贷款证券化中最关键的环节是证券合理定价的问题。其中，必须建立模型分析提前还款风险对于证券定价的影响，熵理论在此问题中有一定的作用。在资产投资组合中，RMBS加入资产组合可以降低非系统风险；同时，运用熵理论可以优化资产组合配置。

三、住房抵押贷款证券化中的带熵博弈

以发起人与SPV之间的博弈为例。发起人向SPV真实出售其所持有的个人住房抵押贷款资产，发起人自身清楚资产的优劣，SPV并不知道购买的资产的优劣情况。转移资产的价格发起人和SPV展开博弈，是一个不完全信息状态下的静态博弈。

由于信息不完全，符合博弈情况的概率分布有很多。最大熵分布是不需要额外前提假设的一种分布，其所表征的概率分布不确定性最大。选择任何其他的分布类型会额外添加前提条件，意味着不能很好地描述现实状况［4］。因此，笔者选用最大熵分布作为不完全信息情况下的对手方的行动选择概率分布。

假定存在优质资产与劣质资产，优质资产占总资产的真实比重是pt。已知优质资产的违约率为pa，劣质资产的违约率为pb，银行收回贷款的单位收益为rc，收不回的贷款的单位收益为rd，则优质资产的单位收益ra和劣质资产的单位收益rb分别为：

银行的单位期望收益为：

银行对出售的资产的股价为VB，VB≥rB，银行的报价为PB，则有PB≥VB≥rB存在。

对于SPV而言，优质资产证券化后的单位收益为Wa，劣质资产证券化后的单位收益为Wb。SPV认为优质资产在总资产中的比重为pv，且0≤pv≤p，表明SPV认为银行拥有的优质资产的比重必然不高于其公布的比重。SPV出售证券的单位期望收益W为（不考虑购买资产的成本）：

SPV对资产池的报价为Ps，估价为Vs，那么必然有Ps≤Vs，即SPV对资产池的报价不高于其对资产池的估价。同时，估价必然不高于单位期望收益W，即Vs≤W。

银行对资产的边际价格报价区间是［rB，ra］，令Pi表示VB等于Vi，根据前文的信息熵定义，银行报价选择的信息熵为：

在不添加额外假设的情况下，报价取区间内的任何数值的概率是相等的，此时信息熵S最大。

同理，SPV的报价区间是［rb，W］。买卖双方的策略函数为：

式中：cB＞0，cS＞0；PB（VB）服从区间［aB+cBrB，aB+cBra］上的最大熵分布，PS（VS）服从区间［aS+rbcS，aS+WcS］上的最大熵分布。此外，成交价格为：

策略组合（PB*（VB），PS*（VS））是一个贝叶斯均衡。

可以得知，最大熵分布提供了一个在不完全信息情况下的最可能存在的聚点均衡。在这种情况下使用最大熵分布是最为合理客观的。

带熵博弈还可以应用于SPV与投资者之间的博弈［5］。投资者和SPV之间存在信息不对称的情况，简单假定SPV拟出售的RMBS有优质和劣质2类，投资者也需要判断优质证券和劣质证券之间的比例，通过双方同时报价的机制和SPV形成一致的交易价格。在RMBS开发的过程中，SPV需要会计师事务所帮助审计基础资产池的资产情况，会计师根据SPV向其提供资料审计，SPV为最大化自身利益可能对信息有所隐瞒。会计师事务所和SPV之间是非合作博弈的关系，律师事务所与SPV也是非合作博弈的关系。

四、以最大熵原理定价的RMBS嵌套期权

RMBS发行定价时，考察的风险除一般债券需要考察的信用风险、利率风险和预期风险外，还需要考察住房抵押贷款特有的提前还款风险。提前还款指借款人有权利在贷款到期前支付全部或部分的剩余贷款本金，以缩短还款期限减少原需偿还的利息。提前还款降低了贷款所有人（银行或投资者）的预期收益，影响贷款所有人的再投资策略，对贷款所有人的影响是负面的。

对提前还款的定价问题，一种方法是将借款人拥有的提前还款的权利看作和贷款本身捆绑在一起的一个嵌套期权。对于期权的定价是对于提前还款的贷款额外要价［6］。一般的期权定价采用B-S模型和二项式模型求解，B-S模型的假设要求短期利率固定不变，标的证券收益率服从布朗运动且布朗运动无界，这种假设与现实有一定差距。新的熵定价理论用Beta分布代替B-S模型中的对数正态分布，所需前提假设较少，可以更好地匹配现实。

对于随机变量X，其概率密度分布函数取为fX（x），关于随机变量X的熵值表达式为：

约束条件为

式中：gi（x）是x的一个函数；式（3）定义了变量X的距，随gi（x）的变化而变化。

若求熵的最大值，可以构造拉格朗日目标函数：

令L（f）=0，则有：

可得X的概率分布函数表达式为：

提前还款期权的标的资产为基础住房抵押贷款资产，资产价格用基准贷款利率表示。影响提前还款的因素很多，比如居民人均可支配收入增速、GDP增速和房屋价格增速等。为简化模型，把这些因素的影响全部当成利率的影响。

令基础住房抵押贷款资产基准利率分布函数为fR（r），风险中性市场中基准利率为r0，贴现率为i，存在一个到期日为T，约定价格为S，期权价格为C0的提前还款期权。存在如下约定条件：

通过进行如上式的拉格朗日方法变换，可以得到期权的定价方程：

将通过最大熵定价的提前还款期权的理论价格计入住房抵押贷款支持证券产品中，就可以准确地估计出住房抵押贷款支持证券的价值［7］。

在实际操作中，银行与客户签订的住房抵押贷款合同中存在提前还款罚息的规定。一般在贷款存续不满1年时提前还款需要惩罚3个月的利息，满1年不满3年时罚2个月的利息，3年以上的不罚息或罚1个月的利息并需要提前1个月预约。这种额外的罚息措施实质上是提高了期权行权的成本，可以简单地把罚息的金额贴现计算。对于需要提前1个月预约的要求难以量化处理，对比不需要提前预约的情况通过控制变量方法的处理估计提前预约的市场价值。

五、资产投资组合中的熵优化模型

在证券投资组合中，一般使用马科维茨的均值-方差模型。均值-方差模型的优点在于能够直观清晰地体现证券投资组合中的各具体证券类型和各组合之间的差异，模型原理也利于理解，简单易懂。马科维茨的模型用方差表示证券的风险大小，当计算数个证券组合在一起后的风险时需要计算各证券的方差协方差矩阵，计算量大且计算实现困难［8］。如前所述，熵的概念定义的是不确定性的大小，或者可以说是各元素之间的差异性的大小，可以借助熵表征混乱度的特点用于衡量证券组合整体风险的大小。这样的处理可以绕开计算证券协方差矩阵，减轻计算量。通过熵优化模型的资产组合安排比马科维茨的模型安排更加均衡。

假设投资者投资n种证券，投资第i种证券的比例为qi（i=1，2，…，n）。最后投资的收益有m种可能出现的情况，第j种收益情况出现的概率为kj（j=1，2，…，n），第j种收益情况出现时对应的第i种证券的收益率为rij，那么第i种证券的期望收益率为［9］：

第j种收益情况的收益率Rj为：

投资组合的熵值表示为：

约束条件为：

3个约束条件分别表示为预先设定一固定的期望收益率H，证券投资比例之和为1且收益出现概率之和为1。

第j种投资组合出现概率Pj为：

求最大熵值即可得最小风险的投资组合安排：

在前述约束条件下代入特定数值，可解出对应的最大熵。

可以看到，采用最大熵模型求解特定收益下的最小风险投资组合可以绕开求解证券方差和各证券之间的协方差。

投资者可以利用最大熵原理进行证券投资组合，住房抵押贷款支持证券的收益率相比于国债收益率稍高。从美国RMBS市场的发展情况来看，RMBS市场容量不断扩大，2005年美国RMBS市场规模就达到了2.157×108亿美元。资本市场普遍把美国RMBS产品看作和美国政府国债一样信誉的金融产品，RMBS的平均收益水平也被市场看作基准利率水平。

住房抵押贷款支持证券的发行操作公开透明，信息发布及时准确。市场对于RMBS产品的了解更为清晰，表现为信息熵的整体降低。投资者将RMBS纳入证券投资组合中有2个方面的作用：一是增加了组合中的品种类型，可降低证券组合非系统性风险；二是可将RMBS代替国债，整体提升组合收益率。

我国RMBS产品每期资产规模较大，往往达到数十亿元人民币的规模，投资者以机构投资者为主。实际上，RMBS理论上可以拆分为小额证券，既可降低个人投资者的投资门槛，也可提高整体收益。特别是，我国个人投资者数量庞大，未来RMBS产品的发展前景十分广阔。

六、结语

熵理论自20世纪70年代引入经济学研究领域之后，一直不断深化创新，对经济研究各领域产生了深远而重要的影响。熵理论在住房抵押贷款证券化中的应用涉及证券化过程中的3个主要环节。

首先，SPV向发起人购买住房抵押贷款基础资产并以此为基础构建资产池。最重要的交易环节是资产池质量的好坏。带熵博弈可以有效地分析发起人和SPV之间关于资产转让的过程，在博弈之前分析双方的预期价位并形成预期均衡价格。这对于资产正式出售的交易实践操作有着理论上的指导意义。

其次，SPV以资产池资产为支持发行RMBS产品需要决定证券价格，价格过高不能成功出售，价格过低影响SPV盈利。通过最大熵原理进行提前还款期权定价解决了证券定价中的核心问题，有助于形成市场接受的均衡价格，降低SPV发行RMBS的成本。

最后，熵理论帮助投资者优化证券投资组合安排，提高投资者整体收益水平。熵理论在保证整体收益水平不变的情况下，优化组合配置，使得各个证券比例更加协调平均，降低了单个证券波动导致的整体收益不稳定风险。

随着我国RMBS市场不断壮大，熵理论与住房抵押贷款证券化业务的结合会更加紧密。熵理论在住房抵押贷款证券化中的应用范围将不断扩大，应用深度将不断拓展。

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（编辑：唐龙）

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1673-1999（2017）02-0056-05

杨旭（1992—），男，郑州大学商学院2014级硕士研究生，研究方向为商业银行经营与管理。

2016-12-28