MATLAB在计算曲线积分和曲面积分中的应用

陈佩树，赵开斌，林天水

MATLAB在计算曲线积分和曲面积分中的应用

陈佩树，赵开斌，林天水

曲线积分和曲面积分的数值计算是高等数学教学中的重难点。 本文基于 MATLAB 软件在绘图和科学计算上的优势，通过四个案例探讨了MATLAB软件在计算曲线积分和曲面积分中的应用, 使得复杂的手工积分计算简单化, 加强了学生软件操作能力和对高等数学的兴趣, 最终实现教学效果的提升。

曲线积分；曲面积分； MATLAB；高等数学

定积分的积分区域为数轴上某个区间；二重积分和三重积分的积分区域分别为平面或空间内的一个闭区域；而曲线积分和曲面积分则是把积分概念推广到积分范围是一段可求长的曲线弧或可求面积的曲面上。学生在初学曲线积分和曲面积分过程中常常充满疑惑，对授课内容很难较好掌握。曲线积分和曲面积分的计算一直都是高等数学教学中的一个重难点。

MATLAB主要是用int 进行符号积分[1],用 trapz、quad、quad8、dblquad 等进行数值积分。 可以利用int(f(x),a,b)直接计算一元函数定积分。对于二重或三重积分的计算，如果积分变量的上下限都是常数，可以直接通过调用dblquad或triplequad函数来实现；否则只能经过二次或三次调用int 函数来实现[2]。 显然基于MATLAB计算积分最为关键的一步为确定积分上线限。在直角坐标系下可以通过绘制积分区域草图(一般可通过fplot或ezplot等命令绘制出直观的积分区域图)，确定积分区域是X-型或Y-型区域，或可以分割为多个X-型或Y-型区域来确定多重积分的上线限。如果积分区域为圆形或球形(的一部分)，还可以考虑把被积函数改为参数方程，用极坐标来确定积分上下限[3]。 对于曲线积分和曲面积分的计算，MATLAB没有提供可以直接使用的命令函数，一般需要把把它们化为定积分或二重积分来计算[4]。 本文是在Windows7操作系统上使用MATLAB2015b版本。

1 对弧长的曲线积分计算

第一型曲线积分的计算起源于对密度不均匀的空间(或平面)曲线总质量的求解。若空间曲线Γ是光滑的，且其线密度为f(x,y,z)在Γ上连续，则曲线L的质量可表示为f(x,y,z)在L上的对弧长的曲线积分(第一型曲线积分)：∫Γf(x,y,z)ds。 且可以通过以下定理把对弧长的曲线积分转换为定积分进行计算:

定理1[5]若曲线Γ有参数方程x=x(t),y=y(t);z=z(t);t∈[α,β]，则有

例1 绘出积分区域，并计算积分∫LydsL，其中:y2=4x,从O(0,0)到A(1,2)。

解 由ezplot('y^2=x',[0,1,0,2])绘出图1,取参数方程:y=y,x=y2/4,0≤y≤2,

输入程序：

syms t

x=t^2/4;

y=t;

fun=y;

tmin=0;

tmax=2;

dx=diff(x,t);

dy=diff(y,t);

z=fun*sqrt(dx^2+dy^2);

I=int(z,t,tmin,tmax)

图1 y2=4x草图

图2 例2曲线L草图

2 对坐标的曲线积分的计算

对坐标的曲线积分(第二型曲线积分)概念可以通过求变力沿曲线做功引出。且有下述定理成立：

定理2 若曲线Γ有参数方程x=x(t),y=y(t);z=z(t);t∈[α,β]。设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲线Γ上连续,且x,y,z对t有连续导数。当动点M(x,y)从Γ的起点沿有向曲线Γ运动到终点时,参数t单调地从α变化到β,则有

∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

例2 绘出积分区域，并求积分I=∫Lxydx+(y-x)dy的值。

⑴L是y=2x-1上从(1,1)到(2,3)的线段；

⑵L为抛物线y=2(x-1)2+1上从(1,1)到(2,3)的一段弧。

解 通过命令fplot('2*x-1',[1,2])

hold on;

fplot('2*(x-1)^2+1',[1,2])

输出图像如图2所示。

syms t

x=t;

y=2*t-1;

dx=diff(x,t);

dy=diff(y,t);

p=x*y;

q=y-x;

z=p*dx+q*dy

tmin=1;

tmax=2;

I=int(z,t,tmin,tmax)

输出结果：I =25/6。也即

注 同样的被积函数,起点和终点也相同, 但曲线的积分值一般与路径有关。

3 对面积的曲面积分计算

对面积的曲面积分(第一型曲面积分)可以应用于求解密度不均匀的空间曲面质量，且有下述结论：

解 (1)绘出Σ及其在xoy上的投影区域

曲面旋转抛物面z=x2+y2被平面z=1所截下部分的参数方程为

x=rcost,y=rsint,z=t2,0≤r≤1,0≤t≤2π，则通过编程：

ezsurf('r*cos(u)','r*sin(u)','0',[0 1 0 2*pi]) %曲面Σ在xoy面上的投影区域

hold on

ezsurf('r*cos(u)','r*sin(u)','r^2',[0 1 0 2*pi]) %绘出曲面Σ

绘出图像如图3所示。

syms x y r t

z=x^2+y^2;

dzx=diff(z,x);

dzy=diff(z,y);

u=4* x*y*z *sqrt(1+dzx^2+dzy^2);

m=r*cos(t);

n=r*sin(t);

J=simplify(det(jacobian([m,n],[r,t])));

I=int(int(subs(u,[x y],[m n])*J,t,0,pi/2),r,0,1)

y=double(I)

syms x y

z=x^2+y^2;

dzx=diff(z,x);

dzy=diff(z,y);

u=4* x*y*z *sqrt(1+dzx^2+dzy^2);

x1=0;

x2=1;

y1=0;

y2=sqrt(1-x^2);

jfy=int(u,y,y1,y2);

I=int(jfy,x,x1,x2)

y=double(I)

也可以输出同样结果。

图3 例3的积分区域

4 对坐标的曲面积分计算

第二型曲线积分与所给曲线的方向有关,与之类似，第二型曲面积分也考虑曲面 “方向”——“侧”的问题。 可以通过计算单位时间流过指定曲面Σ的流量Φ而引出对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)定义，且有下述定理：

定理4 设P、Q、R是定义在光滑曲面Σ:z=z(x,y),(x,y)∈Dxy上连续函数且Dxy为有界闭区域；取Σ的上侧,则有

注 若取Σ的下侧，则等式后面应该添加“-”。

syms x y z a t u v

p=x*y*z;

q=x*y^3-z;

r= x*y + y^2* z^2;

dpx=diff(p,x);

dqy=diff(q,y);

drz=diff(r,z);

f=dpx+dqy+drz;

m=t*sin(u)*cos(v);

n=t*sin(u)*sin(v);

l=t*cos(u);

g=subs(f,[x y z],[m n l]); %将函数f中的x,y,z替换为m,n,l

int(int(int(g*t^2*sin(u),u,0,pi/2),v,0,2*pi),t,0,2)

解法二 直接利用定理4的结论，在直角坐标系下确定积分区域，编写程序如下：

syms x y

z=sqrt(4-x^2-y^2);

dzx=diff(z,x);

dzy=diff(z,y);

p=x*y*z;

q=x*y^3-z;

r= x*y + y^2* z^2;

u=p*(-dzx)+q*(-dzy)+r;

x1=-2;

x2=2;

y1=-sqrt(4-x^2);

y2=sqrt(4-x^2);

jfy=int(u,y,y1,y2);

I=int(jfy,x,x1,x2)

输出同样结果：I =(16*pi)/3。

5 结束语

由于曲线积分和曲面积分的积分范围一般为空间曲线或曲面，故需要良好的空间解析几何知识作为基础，且所涉及的计算量比较大，仅仅依靠传统板书教学模式很难产生直观的数形结合效果。 而MATLAB集数值分析和图形绘制功能于一体，能够快捷有效地解决上述种种问题，构成了一个界面友好的用户环境。 通过MATLAB数学实验与理论教学过程的相融合，可以拓展学生的空间思维能力，提高学生实践操作能力，增加学生对数学的学习兴趣。

[1] 胡良剑. MATLAB数学实验[M]. 高等教育出版社, 2014.

[2] 仇海全, 潘花. MATLAB在重积分计算中的应用[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版), 2012, 29(4):50-54.

[3] 张应奇. 二重积分的计算方法与技巧之我见[J]. 数学学习与研究, 2016(3):85-85.

[4] 林鑫,高发玲. 基于MATLAB的两类曲面积分计算[J]. 唐山师范学院学报, 2016, 38(2):24-26.

[5] 同济大学数学系. 高等数学(下册)[M].北京：高等教育出版社，2007.

责任编辑：刘海涛

The Application of MATLAB in Integrate of Curve and Surface

Chen Peishu, Zhao Kaibin, Lin Tianshui

The integral calculus of curve and surface are difficult to understand and teach in high mathematics. In this paper, based on the MATLAB software in drawing and scientific computing advantages, four examples are given to show the application of MATLAB software in the calculation of curvilinear integral and surface integral, which makes complicated integral calculations to simple, to strengthen students operational ability of software and the interest of high mathematics, and to improve the quality of teaching finally.

curvilinear integral; surface integral; MATLAB; higher mathematics

O172.2

A

1673-1794(2017)02-0092-04

陈佩树，巢湖学院应用数学学院副教授，博士；赵开斌，林天水，巢湖学院应用数学学院(合肥 238000)。

安徽省质量工程项目(2015jyxm324)

2016-07-18