数学课堂有效教学的关键：把课堂还给学生

摘要：本文通过两节课的实录，阐述了数学课堂教师应该给学生足够的思维空间、时间，让学生的思维真正地动起来，而不是教师“一言堂”，让学生被动地接受，久而久之，学生的思维僵化，思维得不到很好的训练.因此，要使教学达到有效，数学教师在课堂上应以学生的思维训练为重，不进行模式化教学，这样才能达到最佳教学效果.

关键词：数学思维能力；智力参与；有效教学

作者简介：程伶俐（1971-），女，安徽人，硕士，中学一级教师，主要从事中学课堂教学研究.

经过沸沸扬扬的数学课堂改革，数学课堂中“教师教得辛苦，学生学得痛苦”现象“有所”改观，教师与学生的角色也发生了“一些”变化.但是，数学课堂仍然存在着一种普遍现象：老师讲的多，学生听的多；老师展示的多，学生看的多；老师自问自答的多，学生随声附和的多；关键点、难点被老师直接点破的多，导致学生似懂非懂的多，这种现象产生的直接结果是：课堂上学生仿佛都能听懂，课后自己真正会做的少.究其原因，课堂上没有学生自己的智力参与，没有学生自己的个人体验，学生对学习的内容缺少自己的思考与深刻的认识.这样的教学是低效的，甚至是无效的、负效的.

课堂上有意挤占学生的思考空间和将学生的思维“模式化、标准化”，充分利用课堂向学生灌输更多的“知识”，这样的方式也许会有短期效应，但久而久之会让学生产生问题解决的依赖心理，数学思维能力、解题能力难有实质性的提高，不能真正达到对问题理解的状态，在考试中遇到熟悉的题型还可能有一个模式化的反应，但遇到陌生的新情境问题，无“型”可套时，就难以做到随机应变，只得“束手就擒”了.

如何实现数学课堂有效教学？关键是什么？笔者在此以一节习题课为例谈谈自己的看法.

这是一节高二的推理与证明习题课，它是在学生学完了“综合法”、“分析法”、“反证法”之后的一节课.通过这个案例我阐明一个观点：把课堂真真切切还给学生，是数学课堂有效教学的关键.

题目（选修2-2第91页A组第4题）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B<π2.[1]

首先我要向大家展示的是我给上届学生上课时的教学实录.

师：该题直接证明不好证，那我们有什么方法呢？

生：反证法.

师：那应该先假设什么呢？

生：假设B≥π2（少数学生讲成了B>π2）.

师：那么能得到什么结论，推出什么矛盾？

此时课堂很安静.我见状就紧跟着继续提示.

师：既然B≥π2了，说明这三个角中哪个最大呀？

生：角B.

于是我在黑板上写上B>A，B>C.

师（接着问）：这样能得到边之间关系吗？

生：b>a，b>c.

师：“我们由此进一步得出1b<1a，1b<1c，于是2b<1a+1c”.

师：这与什么产生了矛盾呀？

生（一齐答道）：已知（2b=1a+1c）.

此时，我听到学生中发出了惊叹：好神奇呀！

我心中暗自窃喜.

但結果让我没有料到的事发生了：在接下来的测试中考到这题，却很少有人答对.我受到了打击.

现在反思起来，觉得很正常.这是“灌输”的典型例子，学生的思维完全由老师掌控，许多关键点、难点都是老师在自问自答.学生自己分析问题、解决问题的能力没有机会得到发展，思维能力也得不到培养，学生的质疑能力也大大降低，更谈不上创新能力.老师这样的教学，导致学生只能是欣赏，而自己却没有实践的机会，没有自己的个人体验，自己就没有了成就感.在学生心目中就觉得你老师太能干了，我怎么就想不到呢？感慨自己的无能与愚钝，长此以往，学生将会失去自信心和斗志.请问：这样的教学能有效吗？

冬去春来，新一届学生来了，我要吸取教训，不妨装得“呆”一点，准备把我的“精辟分析、友好提示”放到学生的思考之后.于是，把课堂还给学生，先让学生去唱主角，把学生推到解决问题的前沿，让学生自己去实践.

结果，让我始料未及的是学生竟然搞出了多种不同解法，刚刚学过的三种证明方法（综合法、分析法、反证法）全部闪亮登场，课堂惊喜不断，精彩纷呈！

课堂实录如下：

师：大家思考得怎样，谁来谈谈自己的解法.

生1（数学课代表首当其冲）：我用的是综合法.

∵a，b，c的倒数成等差数列，

∴2b=1a+1c，即b=2aca+c

∴a2+c2-b2= a2+c2-（2aca+c）2

=（a2+c2）（a+c）2+4a2c2（a+c）2

=（a2+c2）2+2ac（a2+c2）-4a2c2（a+c）2

=（a2-c2）2+2ac（a2+c2）（a+c）2>0.

即a2+c2-b2>0∴cosB=a2+c2-b22ac>0

∴B<π2 （因为B为三角形内角）.

我及时表扬了该生能用直接证明的方法解决了这个问题，我说我没有预料到！然后和同学们一起分析该生利用转化思想，通过余弦定理把角的大小转化为边的关系，以及利用已知条件消元.表扬她配方的巧妙，及不怕麻烦，敢于挑战复杂算式的勇气！让她尝到了学习数学的快乐.

同时我也为当年所讲的“这题用直接证明不好证”这样一句不负责任的话感到惭愧.

别的同学看到生1脸上满意的笑容羡慕不已！

这时生2站了起来.

生2：我用的是分析法.

由已知得b=2aca+c

∴b2=4a2c2a2+c2+2ac=41a2+1c2+2ac.①

要证： B<π2

只需证：cosB>0（在△ABC中）

只需证：a2+c2>b2

只需证： a2+c2>41a2+1c2+2ac.（把①式代入）

只需证：1+a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>4

只需证： a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>2②

而a2c2+c2a2≥2，2ac +2ca≥4（等号成立的条件都是a=c）故②式成立.

大家惊讶不已.该生同样用了余弦定理及消元思想，特别是用到了基本不等式.

我及时说：“你真肯动脑筋！竟然基本不等式也用上了！这一点真难想到！也帮我们复习了一下基本不等式.”

生2高兴极了！

这时课堂已有些沸腾，同学们感到无比兴奋.其他同学也跃跃欲试！此时，学习数学已不再是负担，而是一种乐趣！作为教师，也完全沉浸在教学中，充分享受着工作带给我们的快乐！

于是，我马上趁热打铁，大声说：“有谁还有更好的方法？”

这时生3突然惊喜地举起了手（我想学生学习的热情已不知不觉被激发出来了）.

生3：我用的方法和他们都不同，用的是反证法.

由前面2b=1a+1c，∴2b=a+cac

∴2ac=ab+bc③

假设B≥π2，则cosB≤0∴a2+c2≤b2

而a2+c2≥2ac=ab+bc（把③式代入）

∴ab+bc≤b2∴a+c≤b（因为b>0）

这与三角形三边关系矛盾.

当生3讲完过了一会儿，教室里响起热烈掌声，真是太神奇了！多么巧妙的等量代换呀！余弦定理、不等式的传递性，三角形三边关系在此联系，轻松而简洁地拿下这道题！

略显喧闹的教室里，我突然发现一个平时有些内向的学生腼腆地举起了手，有点胆怯地说：“我用的也是反证法，但产生的矛盾不同.”

我鼓励他说：“那你说说看.”

生4：∵a，b，c的倒数成等差数列，

∴1a≤1b≤1c或1a≥1b≥1c

∴a≥b≥c或a≤b≤c

∴A≥B≥C或A≤B≤C

假设B≥π2，

则A≥B≥π2，或C≥B≥π2，

显然这与三角形内角和定理矛盾.

我被他的解法也深深吸引了，还能深刻挖掘已知条件的内涵，提炼出边角关系！真是惊人之举！学生早已被他的方法所折服！我大大表扬了这个胆小男生！

这时班上的数学王子按捺不住了，为了捍卫他的地位，也举起了手.

生5：2b =1a+1c，

2b=a+cac

2ac=b（a+c）≥2bac

ac≥b

ac≥b2

a2+c2-b2≥2ac-b2=ac+（ac-b2）>0

cosB>0

B<π2，（△ABC中）

巧妙的不等式用在了恰如其分之处，也算是捍卫了他的“威望”！

此时下课铃声响起！

我看到了学生脸上的表情：惊叹之余，有些不舍和遗憾！

我说：若有更好的方法课后交流吧！就在我走出教室不久有人送来了我教给上届学生的方法.

看来，我们老师要充分相信学生，教学中要多给学生一点自由思考的时间，教师不能只按照自己事先想好的思路来教学，否则就会限制学生的思维，强扭学生的思维，题目刚出来就先进行提示或分析，那样做会扼杀学生的自主思维能力，剥夺学生的自由创造空间.在学生还没来得及思考的时候，老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击.

叶澜教授曾说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程.”[2]把课堂还给学生，注意倾听他们的声音，点燃他们思维之火，这样的数学教学才是有效的.

罗增儒教授也告诫我们“教学有没有效，并不是指教師有没有教完内容、教得辛苦不辛苦，自我感觉良好不良好，而是指学生有没有学到或学得好不好.学生有无知识进步、有无素质发展是教学有没有效的根本指标.”[3]对此，不少教师有深刻体会，“评价一堂课是否高效，要看学生的认知水平是否得到提升，是否会学习、会思考，而不能以讲的题目多少、容量的大小来评价.”[4]“教学效率不是取决于教师打算教给学生知识的多寡，而是取决于课堂教学中学生学习效率的高低.”[5]

所以，离开了学生的“自主活动”、“智力参与”、“个人体验”就没有真正的学习了.把课堂还给学生，引发学生积极思维，让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔，向习题教学要效益，通过问题解决，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动、积极地参与教学，帮助学生建立良好的认知结构，才是数学课堂有效教学的关键.

参考文献：

[1]刘绍学主编普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）[M]北京：人民教育出版社，2007

[2]林婷“有效生成”——未曾预约的精彩[J]数学通报，2011，（5）

[3]罗增儒教学效能的故事，高效课堂的特征[J]中学数学教学参考，2011，（1-2）

[4]杨志文高中数学高效课堂的实践与认识[J]中学数学教学参考，2011，（12）

[5]关文晶等品一节高效率的数学课[J]中学数学教学参考，2010，（6）