数学课堂有效教学的关键:把课堂还给学生

2017-06-14 00:03程伶俐
理科考试研究·高中 2017年4期
关键词:数学思维能力有效教学

摘要:本文通过两节课的实录,阐述了数学课堂教师应该给学生足够的思维空间、时间,让学生的思维真正地动起来,而不是教师“一言堂”,让学生被动地接受,久而久之,学生的思维僵化,思维得不到很好的训练.因此,要使教学达到有效,数学教师在课堂上应以学生的思维训练为重,不进行模式化教学,这样才能达到最佳教学效果.

关键词:数学思维能力;智力参与;有效教学

作者简介:程伶俐(1971-),女,安徽人,硕士,中学一级教师,主要从事中学课堂教学研究.

经过沸沸扬扬的数学课堂改革,数学课堂中“教师教得辛苦,学生学得痛苦”现象“有所”改观,教师与学生的角色也发生了“一些”变化.但是,数学课堂仍然存在着一种普遍现象:老师讲的多,学生听的多;老师展示的多,学生看的多;老师自问自答的多,学生随声附和的多;关键点、难点被老师直接点破的多,导致学生似懂非懂的多,这种现象产生的直接结果是:课堂上学生仿佛都能听懂,课后自己真正会做的少.究其原因,课堂上没有学生自己的智力参与,没有学生自己的个人体验,学生对学习的内容缺少自己的思考与深刻的认识.这样的教学是低效的,甚至是无效的、负效的.

课堂上有意挤占学生的思考空间和将学生的思维“模式化、标准化”,充分利用课堂向学生灌输更多的“知识”,这样的方式也许会有短期效应,但久而久之会让学生产生问题解决的依赖心理,数学思维能力、解题能力难有实质性的提高,不能真正达到对问题理解的状态,在考试中遇到熟悉的题型还可能有一个模式化的反应,但遇到陌生的新情境问题,无“型”可套时,就难以做到随机应变,只得“束手就擒”了.

如何实现数学课堂有效教学?关键是什么?笔者在此以一节习题课为例谈谈自己的看法.

这是一节高二的推理与证明习题课,它是在学生学完了“综合法”、“分析法”、“反证法”之后的一节课.通过这个案例我阐明一个观点:把课堂真真切切还给学生,是数学课堂有效教学的关键.

题目(选修2-2第91页A组第4题)△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证:B<π2.[1]

首先我要向大家展示的是我给上届学生上课时的教学实录.

师:该题直接证明不好证,那我们有什么方法呢?

生:反证法.

师:那应该先假设什么呢?

生:假设B≥π2(少数学生讲成了B>π2).

师:那么能得到什么结论,推出什么矛盾?

此时课堂很安静.我见状就紧跟着继续提示.

师:既然B≥π2了,说明这三个角中哪个最大呀?

生:角B.

于是我在黑板上写上B>A,B>C.

师(接着问):这样能得到边之间关系吗?

生:b>a,b>c.

师:“我们由此进一步得出1b<1a,1b<1c,于是2b<1a+1c”.

师:这与什么产生了矛盾呀?

生(一齐答道):已知(2b=1a+1c).

此时,我听到学生中发出了惊叹:好神奇呀!

我心中暗自窃喜.

但結果让我没有料到的事发生了:在接下来的测试中考到这题,却很少有人答对.我受到了打击.

现在反思起来,觉得很正常.这是“灌输”的典型例子,学生的思维完全由老师掌控,许多关键点、难点都是老师在自问自答.学生自己分析问题、解决问题的能力没有机会得到发展,思维能力也得不到培养,学生的质疑能力也大大降低,更谈不上创新能力.老师这样的教学,导致学生只能是欣赏,而自己却没有实践的机会,没有自己的个人体验,自己就没有了成就感.在学生心目中就觉得你老师太能干了,我怎么就想不到呢?感慨自己的无能与愚钝,长此以往,学生将会失去自信心和斗志.请问:这样的教学能有效吗?

冬去春来,新一届学生来了,我要吸取教训,不妨装得“呆”一点,准备把我的“精辟分析、友好提示”放到学生的思考之后.于是,把课堂还给学生,先让学生去唱主角,把学生推到解决问题的前沿,让学生自己去实践.

结果,让我始料未及的是学生竟然搞出了多种不同解法,刚刚学过的三种证明方法(综合法、分析法、反证法)全部闪亮登场,课堂惊喜不断,精彩纷呈!

课堂实录如下:

师:大家思考得怎样,谁来谈谈自己的解法.

生1(数学课代表首当其冲):我用的是综合法.

∵a,b,c的倒数成等差数列,

∴2b=1a+1c,即b=2aca+c

∴a2+c2-b2= a2+c2-(2aca+c)2

=(a2+c2)(a+c)2+4a2c2(a+c)2

=(a2+c2)2+2ac(a2+c2)-4a2c2(a+c)2

=(a2-c2)2+2ac(a2+c2)(a+c)2>0.

即a2+c2-b2>0∴cosB=a2+c2-b22ac>0

∴B<π2 (因为B为三角形内角).

我及时表扬了该生能用直接证明的方法解决了这个问题,我说我没有预料到!然后和同学们一起分析该生利用转化思想,通过余弦定理把角的大小转化为边的关系,以及利用已知条件消元.表扬她配方的巧妙,及不怕麻烦,敢于挑战复杂算式的勇气!让她尝到了学习数学的快乐.

同时我也为当年所讲的“这题用直接证明不好证”这样一句不负责任的话感到惭愧.

别的同学看到生1脸上满意的笑容羡慕不已!

这时生2站了起来.

生2:我用的是分析法.

由已知得b=2aca+c

∴b2=4a2c2a2+c2+2ac=41a2+1c2+2ac.①

要证: B<π2

只需证:cosB>0(在△ABC中)

只需证:a2+c2>b2

只需证: a2+c2>41a2+1c2+2ac.(把①式代入)

只需证:1+a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>4

只需证: a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>2②

而a2c2+c2a2≥2,2ac +2ca≥4(等号成立的条件都是a=c)故②式成立.

大家惊讶不已.该生同样用了余弦定理及消元思想,特别是用到了基本不等式.

我及时说:“你真肯动脑筋!竟然基本不等式也用上了!这一点真难想到!也帮我们复习了一下基本不等式.”

生2高兴极了!

这时课堂已有些沸腾,同学们感到无比兴奋.其他同学也跃跃欲试!此时,学习数学已不再是负担,而是一种乐趣!作为教师,也完全沉浸在教学中,充分享受着工作带给我们的快乐!

于是,我马上趁热打铁,大声说:“有谁还有更好的方法?”

这时生3突然惊喜地举起了手(我想学生学习的热情已不知不觉被激发出来了).

生3:我用的方法和他们都不同,用的是反证法.

由前面2b=1a+1c,∴2b=a+cac

∴2ac=ab+bc③

假设B≥π2,则cosB≤0∴a2+c2≤b2

而a2+c2≥2ac=ab+bc(把③式代入)

∴ab+bc≤b2∴a+c≤b(因为b>0)

这与三角形三边关系矛盾.

当生3讲完过了一会儿,教室里响起热烈掌声,真是太神奇了!多么巧妙的等量代换呀!余弦定理、不等式的传递性,三角形三边关系在此联系,轻松而简洁地拿下这道题!

略显喧闹的教室里,我突然发现一个平时有些内向的学生腼腆地举起了手,有点胆怯地说:“我用的也是反证法,但产生的矛盾不同.”

我鼓励他说:“那你说说看.”

生4:∵a,b,c的倒数成等差数列,

∴1a≤1b≤1c或1a≥1b≥1c

∴a≥b≥c或a≤b≤c

∴A≥B≥C或A≤B≤C

假设B≥π2,

则A≥B≥π2,或C≥B≥π2,

显然这与三角形内角和定理矛盾.

我被他的解法也深深吸引了,还能深刻挖掘已知条件的内涵,提炼出边角关系!真是惊人之举!学生早已被他的方法所折服!我大大表扬了这个胆小男生!

这时班上的数学王子按捺不住了,为了捍卫他的地位,也举起了手.

生5:2b =1a+1c,

2b=a+cac

2ac=b(a+c)≥2bac

ac≥b

ac≥b2

a2+c2-b2≥2ac-b2=ac+(ac-b2)>0

cosB>0

B<π2,(△ABC中)

巧妙的不等式用在了恰如其分之处,也算是捍卫了他的“威望”!

此时下课铃声响起!

我看到了学生脸上的表情:惊叹之余,有些不舍和遗憾!

我说:若有更好的方法课后交流吧!就在我走出教室不久有人送来了我教给上届学生的方法.

看来,我们老师要充分相信学生,教学中要多给学生一点自由思考的时间,教师不能只按照自己事先想好的思路来教学,否则就会限制学生的思维,强扭学生的思维,题目刚出来就先进行提示或分析,那样做会扼杀学生的自主思维能力,剥夺学生的自由创造空间.在学生还没来得及思考的时候,老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑,使他们服从于已有的模式,这对他们思维能力的形成是个不小的打击.

叶澜教授曾说:“课堂是向未知方向挺进的旅程,随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素,而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程.”[2]把课堂还给学生,注意倾听他们的声音,点燃他们思维之火,这样的数学教学才是有效的.

罗增儒教授也告诫我们“教学有没有效,并不是指教師有没有教完内容、教得辛苦不辛苦,自我感觉良好不良好,而是指学生有没有学到或学得好不好.学生有无知识进步、有无素质发展是教学有没有效的根本指标.”[3]对此,不少教师有深刻体会,“评价一堂课是否高效,要看学生的认知水平是否得到提升,是否会学习、会思考,而不能以讲的题目多少、容量的大小来评价.”[4]“教学效率不是取决于教师打算教给学生知识的多寡,而是取决于课堂教学中学生学习效率的高低.”[5]

所以,离开了学生的“自主活动”、“智力参与”、“个人体验”就没有真正的学习了.把课堂还给学生,引发学生积极思维,让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔,向习题教学要效益,通过问题解决,促进学生对数学知识的理解,让每位学生主动、积极地参与教学,帮助学生建立良好的认知结构,才是数学课堂有效教学的关键.

参考文献:

[1]刘绍学主编普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)[M]北京:人民教育出版社,2007

[2]林婷“有效生成”——未曾预约的精彩[J]数学通报,2011,(5)

[3]罗增儒教学效能的故事,高效课堂的特征[J]中学数学教学参考,2011,(1-2)

[4]杨志文高中数学高效课堂的实践与认识[J]中学数学教学参考,2011,(12)

[5]关文晶等品一节高效率的数学课[J]中学数学教学参考,2010,(6)

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