一道课本习题的证法探究

摘要：本文中笔者对一道课本习题的证法进了多角度探究.在解题教学中，一题多解有助于发展学生的逻辑思维能力与拓宽学生的知识视野，进而有助于提高学生的解题能力与探究能力.本文值得我们广大师生学习与参考.

关键词：习题；证法；探究

作者简介：罗小平（1974-），男，江西信丰人，本科，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.

题目已知a+b=1，

求证：（a+2）2+（b+2）2≥252.

证法1综合法

∵（a+2）2+（b+2）2=a2+b2+4（a+b）+8

=a2+b2+12

又∵a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab

∴（a+2）2+（b+2）2=13-2ab

又∵ab≤（a+b2）2=14

∴（a+2）2（b+2）2≥13-2×14=252.

证法2分析法

（a+2）2+（b+2）2≥252

a2+b2+4（a+b）+8≥252

a2+b2≥121-2ab≥12

ab≤14

∵ab≤（a+b2）2=14显然成立.

∴原不等式得证.

证法3比较法

∵（a+2）2+（b+2）2-252=a2+b2-12

又a2+b2≥（a+b）22=12

∴a2+b2-12≥0

∴（a+2）2+（b+2）2≥252.

则原不等式成立.

证法4代数换元法

∵a+b=1，

不妨令a=12+t，b=12-t（t∈R）

∴（a+2）2+（b+2）2=（52+t）2+（t-52）2

=2t2+252≥252

∴原不等式得證.

证法5利用基本不等式a2+b2≥（a+b）22

∵（a+2）2+（b+2）2≥[（a+2）+（b+2）]22

=（a+b+4）22

又a+b=1，∴（a+2）2+（b+2）2≥252.

证法6构造函数法

令y=（a+2）2+（b+2）2，∵a+b=1

∴y=（a+2）2+（3-a）2

=2a2-2a+13=12（a-12）2+252

∴y≥252恒成立.

∴原不等式得证.

证法7几何法

∵a+b=1，

∴点（a，b）在直线l∶x+y-1=0上.

又（a+2）2+（b+2）2可看成直线l上一点P（a，b）到定点M（-2，-2）的距离，则由点到直线的距离公式可得

d=|-2-2-1|2=522，

又点M到l的距离不小于d.

∴（a+2）2+（b+2）2≥522，

即（a+2）2+（b+2）2≥252.

证法8反证法

假设（a+2）2+（b+2）2<252成立，

则a2+b2+4（a+b）+8<252，

即a2+b2+4（a+b）<92.

又a+b=1，∴a2+b2<12.

而这与a2+b2≥（a+b）22=12相矛盾.

∴假设错误，原命题成立.