对有理数四则运算的深度剖析

胡梦尧+陈天宇

[摘 要] 有理数是初中生数学学习的起点，其概念与运算法则是发展学生数感、符号意识、类比归纳能力的重要途径. 本文对有理数及其四则运算的产生和发展做了全面而深刻的剖析，并与教材的内容呈现方式进行了对比，论述了数学内容知识（SMK）对教师把握教材、理解学生的促进作用.

[关键词] 有理数；四则运算；教学思考

有理数作为学生初中数学学习的起始内容，承担着沟通小学数学与初中数学的重任. 总览全国主流的教材，不难发现有理数主要是通过生活实例引入的，让学生感知生活中存在一类比0小、表达含义和正数相反的数. 在讲述有理数的四则运算法则时，教材多是从具体的运算例子出发，让学生分析比较其中的变化趋势，引导学生举一反三，从而发现有理数四则运算的“规律”. 由于该部分内容较为抽象，且理论性较强，缺乏实际生活背景，教师在授课时，很难有所创新. 倘若严格按照教材的呈现方式照本宣科，难免会使学生把规律作为法则死记硬背. 即使学生能够准确地完成有理数的计算，这样的教学也是无益于学生核心素养的发掘的. 事实上，有理数及其四则运算蕴含了丰富的数学抽象思想和文化内涵，教师若能理清其发生发展的脉络，就能很好地把握学生学习过程的认知冲突，从而探索出设计教学的最佳切入点，做到步步为营.

加法与自然数集

在皮亚诺的算数公理体系中，最先被抽象出的数是1. 在“后继”概念的驱使下，1的后继为2，2比1大1，即2=1+1；2的后继为3，3比2大1，即3=2+1……有了后继的概念，不仅诞生了所有的有理数，也定义了加法. 换言之，加法是“+1”运算的复合，即对于任意的a∈N，b∈N，a+b表示在a后面增加b个后继的序数，如果这个序数是c，则称c为a与b的和，记a+b=c. 后来，皮亚诺又规定自然数的起始是0，1是0的后继，其原因在于如果自然数集从1开始，算数公理体系无法定义出0，就无法定义出相反数，也就无法定义负整数，亦无法通过加法的逆运算定义出减法.

减法与整数集

把除0以外的自然数称为正整数. 实际生活中存在一类与正整数数量相同，但表达意义相反的数，为了表示这样一类数，采用了如下基于内涵的定义方法：对于给定的正整数a，称满足a+b=0的数b为a的相反数，记为-a. 于是，自然数集就扩充为整数集Z，Z={负整数，0，正整数}.

既然使加法得以产生和发展的有理数集得到了延伸，那么就非常有必要重新审视加法在有理数集上的运算是否完备. 由于正整数与其对应的负整数是一类数量相等，表达含义相反的数，在应用绝对值来刻画数量的情况下，符号相同的两个有理数相加只需将绝对值相加，和的符号保持不变；符号互异的两个有理数相加，则需用较大的绝对值减去较小的绝对值，和的符号与绝对值较大的有理数保持一致. 由此可见，加法在整数集Z上保持了封闭，且交换律和结合律仍然成立.

保证了加法在整数集Z上的完备性之后，就由加法的逆运算定义了减法：对于任意a∈Z，b∈Z，a-b=x？圮a=b+x，由加法的封闭性可知x∈Z，是一个整数. 于是，减法在整数集上是封闭的，但在自然数集N上是不封闭的. 定义了减法之后，可以验证-a=0-a或a=0-（-a），即a+（-a）=0，这与相反数的定义是一致的.

教材中往往把有理数的减法运算法则表述为“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，而且是通过将一组相反数分别代入减法及其对应的加法来验证得到的. 这种基于经验的活动探究过程并不能很好地展现数学严密的逻辑推理过程，似乎显得有些本末倒置. 准确的减法运算法则推导如下：因为a与（-a）互为相反数，所以a+（-a）=0，移项可得a=0-（-a）或-a=0-a，在等式两边同时加上有理数b，可得b+a=b+[0-（-a）]或b-a=b+（0-a），即b+a=b-（-a）或b-a=b+（-a）. 两种运算结果均证明了有理数的减法运算法则. 值得注意的是，该运算法则是双向的，既包括把减法转化为加法，亦包括把加法转化为减法. 实际上在运算时我们无时无刻不用到后者，例如5+（-4）=5-4=1，只是关注甚少罢了.

乘法及其运算法则

在自然数集上，乘法是源于对加法的简便运算而诞生的. 例如15=5+5+5=5×3. 一般地，对于任意a∈N，b∈N，有c=a+a+…+a？圮c=a×b，其中连加表示b个a相加. 因此，“？圮”右边的乘法是左边b个a相加的简便运算，称a，b为乘数，c为积. 基于这样的乘法运算，可以得到两个基本性质：对于任意a∈N，有0×a=0，1×a=a. 这两个性质构成了乘法运算的基本特征.

但在有理数集上，乘法就不一定是加法的简便运算. 例如（-2）×3可以看作（-2）+（-2）+（-2）=-6，这还可以解释为加法的简便运算；但3×（-2）就解释不通了，不能解释为-2个3相加. 由于自然数集包含在整数集内，若要将乘法运算推广，那么推广的桥梁就是乘法的交换律和分配律.

推广的逻辑大致如下：假设在整数集Z上存在一种运算“·”，这种运算满足上述两个基本性质和两个定律. 为了证明推广的唯一性，只需证明在自然数集N上，定义的运算“·”是加法的简便运算. 下面用数学归纳法证明：

当k=2时，对于？坌a∈N，满足a·2=2·a=（1+1）·a=1·a+1·a=a+a=2a. 其中，第一个等号成立是因为交换律，第二个是根据自然数的定义，第三个是因为分配律，第四个是因为第二个基本性质，第五个是根据加法的基本定义.

假设当k=n时结论成立，即对于？坌a∈N，a·n=na成立.

当k=n+1时，a·（n+1）=（n+1）·a=na+1·a=na+a=（n+1）a . 其中，第一个等号成立是因为交换律，第二个是因为分配律，第三个是基于第二步的归纳假设和第二个基本性质，第四个是根据加法的基本定义. 所以，运算“·”是加法的简便运算.

既然乘法可以从自然数集推广到整数集，且保持了交换律和结合律，那么两个负整数相乘的积的符号该如何确定？“负负得正”这个问题在历史上困扰过许多名人，《红与黑》的作者司汤达就是其中一位“受害者”. 他因为不理解为什么“负负得正”，且在询问无果后对数学绝望，而弃理从文. 事实上，“负负得正”是可以证明的，且由于乘法交换律，我们只需证明（-1）·（-1）=1即可：0=0×（-1）=[（-1）+1]×（-1）=[（-1）×（-1）]+[1×（-1）]=[（-1）×（-1）]+（-1），所以（-1）×（-1）=1. 其中，第一个等号成立是根据乘法的第一个基本性质，第二个是基于相反数的定义，第三个是因为分配律，第四个是因为已知1×（-1）=-1.

总结与反思

数系扩充源于新的运算法则的诞生，但教材却往往颠覆数学知识发生发展的历程，总是先将数系扩充，再在此基础上进行四则运算的探讨，且教材内容大多基于具体实例，重视培养学生合情推理能力，而缺乏严密精确的演绎推理. 教材之所以如此处理，是因为在编写过程中考虑到学生的认知发展规律，在不同学习阶段针对不同数系进行四则运算更有利于培养学生类比、归纳的能力，锻炼敏锐的洞察力，从而理解四则运算真正的含义. 另一方面，根据皮亚杰的认知发展阶段理论，七年级的学生大致处于具体运算阶段与形式运算阶段的过渡时期，逻辑推理能力尚未成熟，思维活动需要具体活动内容的支持，学到的知识大多是基于经验的.

即使教师在某些数学内容上不能严格遵循数学发展史而采用发生教学法，但教师必须明晰教学内容背后蕴含的学科背景知识. 因为受到历史相似性原理的启示，数学知识产生重大变革之处也正是学生的疑惑所在. 教师应致力于丰富自身的学科内容知识（SMK）和学科教学知识（PCK），基于学生已有的认知结构，站在最近发展区的角度上，兼顧数学知识的严谨性，寻求最佳的知识呈现方式和活动探究方式.