高中数学不等式解题技巧思考

筅江苏省宜兴市第一中学杨丽娴

高中数学不等式解题技巧思考

筅江苏省宜兴市第一中学杨丽娴

高中数学的学习对我们的逻辑思维能力有着较高的要求，而其中不等式部分的知识更是考试中的重点及难点内容.因此，在高中数学学习的过程中，如若没有对不等式的相关知识掌握清楚、准确，则将会在考试中丧失分数.所以，高中生熟练掌握不等式的解题技巧，对提高数学能力有着积极的作用.

一、线性不等式的解题技巧

在考试的过程中，关于线性不等式的考查题型相对较多，难度相对较小.但需要注意的是，线性不等式的题目当中所涵盖的知识点数量多，其中包括定义域、值域、图形之间形成的面积变化规律等.虽然其难度不大，然而其出错的概率却较大.对于线性不等式的实际运用，其主要解决的问题包括两种情况：其一，在给定条件的情况下，运用线性不等式的知识获取最大值；其二，在给定任务的情况下，求其他条件的最小值.

例如，如果kx2+2kx-（k+2）<0恒成立，则实数k的取值范围是（）.

A.-1≤k≤0B.-1≤k<0

C.-1

在解题的过程中，如果没有对题目的要求及线性不等式中涵盖的知识点进行深入理解，则将会得到-1

该类题型的解题技巧主要包括以下几点：其一，对于给定条件中图形边界不包含其中时，应注意将其边界用虚线标注；其二，对于线性题目当中的二元一次不等式的解题当中，为了确定其具体的面积范围，可在直线之外任意选择一个点，将其代入到原不等式当中.当其坐标满足不等式时，则证明该点位于相关区域当中；而当该点的坐标不符合原不等式时，则证明直线的另一侧为所求区域；其三，在对直线进行平移的过程中，应要求直线经过所求区域；其四，当不等式题目与实际问题相联系时，应根据题目的要求对区域经过的象限进行选择；其五，简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.

二、高次不等式的解题技巧

在对高次不等式进行解题的过程中，应切忌在做题时忽略特殊位置的点或者区域，从而造成答案范围缩小，对函数的图像变化做出错误的判断.

例如，解不等式（x+4）·（x-3）·（x-7）≤0.

在解答的过程中，应首先在数轴当中，将x=-4、x=3、x=7三个点进行标注.在此之后对数轴进行观察可发现，数轴将会被三个点分成四个区域，将数轴之上的区域以正号标注、数轴之下的区域以负号标注，题目的要求为对小于等于0的答案，因此只需将数轴之下的重合区域进行写出即为正确答案.

再如，若a>0，b>0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）.

A.2B.3C.6D.9

在对该题进行解答的过程中，首先对原式进行求导，其结果应为f′（x）=12x2-2ax-2b.因为f（x）在x=1处有极值，所以f′（1）=12-2a-2b=0，即a+b=6.又a＞0，b＞0，所以≤6.所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立，所以ab的最大值为9.故正确答案为D.

三、绝对值不等式的解题技巧

绝对值不等式是常见的一类不等式，也是不等式中难度较大的题型.在对其进行解答的过程中，应首先对不等式中的式子，利用同解的原理将其转化为不等式组.一般而言，不等式组通常由一次或者二次不等式组成.而对于两个以上的绝对值组成的不等式而言，可先令各个绝对值内的式子为零，求出x的值，之后将各个不等式内为零条件下的x值标注到数轴之上，向数轴上零的位置画线，最终将共同的区域写出，进而得到正确的答案.

例如，A：|x-1|＜3，B：（x+2）（x+a）＜0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是＿＿＿＿＿.

在解题的过程中，部分高中学生的错误解答如下：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要条件，则A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x| -2＜x＜-a｝，-a≥4，故a≤-4.该题解答错误的原因，主要是高中学生审题时忽略了a＝-4的情况，此时｛x|-2＜x＜4｝＝｛x|-2＜x＜-a｝，A是B的充要条件，不是充分不必要条件.因此，其正确的解答方法应为：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要条件，A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x|-2＜x＜-a｝，所以-a≥4，即a≤-4.

四、含有变量的不等式的解题技巧

在部分高中不等式中，常常在自变量中设置因变量，即参数.在实际解题的过程中，应根据题目中条件的设定，对参数的取值进行分类，根据不同的分类条件，对不等式进行变形.需要注意的是，在解题中不能忽略参数为零的情况.

例如，设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，则的最大值为（）.

由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3.所以=log3ab≤.因此，其正确答案为C.

再如，若点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则的最小值为_______.

其解题过程应为：点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，又mn>0，所以n2=4m2时取等号，故的最小值为8.

五、最值不等式的解题技巧

最值是不等式求解中出现几率相对较高的一类问题，也是考试中必考内容之一.在实际解题的过程中，该类题型的解题技巧通常包括以下几种：其一，拆项，即在解题的过程中，在等值的前提下，可以对题目中给出的已知项进行拆分，进而能够将拆开的项变成一个确定的值，无论是乘法还是加法，例如，将2a2拆分成4a×；其二，凑项，在解题的过程中，应根据给定的条件，将题目中的式子进行拼凑，使其在加法或乘法的作用下，能够保持一个定值；其三，变项，即根据解题的需要，在不改变式子的值的情况下，将其以其他形式进行表达.

例如，已知A点坐标为（4，1），B点坐标为（-1，-6），C点坐标为（-3，2），点（x，y）在△ABC边上及其内部，求x2+ y2的最值.

一般情况下，其错误的解法为：令z=x2+y2，由A点坐标（4，1），得z＝x2+y2＝16+1＝17，由B点坐标（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由C点坐标（-3，2），得z＝x2+y2＝（-3）2+22＝13.所以当x=-1，y=-6时，x2+y2取得最大值37，当x=-3，y=2时，x2+y2取得最小值13.导致该类题目出现错误的原因主要包括误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.由此可知，该类题目的正确解答方法为：令z=x2+y2，则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由A点坐标（4，1），得z＝x2+y2＝42+12＝17，由B点坐标（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由得C点坐标（-3，2），此时z＝x2+ y2＝（-3）2+22＝13，而在原点处，此时z＝x2+y2＝0，所以，当x=-1，y=-6时，x2+y2取得最大值37，当x=0，y=0时，x2+y2取得最小值0.

六、换元法解不等式的技巧

所谓的换元法，其实质是在对高中不等式进行解答的过程中，对较为复杂或者出现频率较高的式子，运用一个数学符号或者变量的形式对其进行替换，将其代入到原式之后，能够将原式大幅简化，提供一定的解题便利.换元法主要有两种换元形式.（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题；（2）增量换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c等）的不等式中，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.

七、反证法解不等式的技巧

所谓的反证法，其实质是有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.该类证明方法在对几何问题以及不等式问题进行解答的过程中，其使用频率较高.

例如，已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd.

其证明方法如下：因为a，b，c，d，x，y都是正数，所以要证xy≥ac+bd，只需证（xy）2≥（ac+bd）2，即（a2+b2）（c2+ d2）≥a2c2+b2d2+2abcd，展开得a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+ b2d2+2abcd，即a2d2+b2c2≥2abcd.由基本不等式，显然成立.所以xy≥ac+bd.该类题目在解答的过程中，从正面对其实施证明难度相对较大.因此，运用反证法从反面对其进行解答，能够有效地提高解题的速度，保证正确率.

八、不等式性质解不等式的技巧

在高中不等式的解题过程中，部分题目往往需要运用不等式的性质进行解答.高中不等式的性质主要包括以下几点：其一，不等式的传递性，即如果a>b，b>c，那么a>c；其二，不等式的可加性，即如果a>b，那么a+c>b+c；其三，如果a>b，c>0，那么ac>bc；其四，如果a>b>0，c>d> 0，那么ac>bd.

例如，有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f（n）＝n2-n+2个部分.

该题的证明可以用数学归纳法①当n＝1时，一个圆把平面分成两个部分，即f（1）=2，又n＝1时，n2-n+2＝2，故命题成立.②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f（k）＝k2-k+2个部分，那么设第k+1个圆为⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是与其他k个圆相交于2k个点.把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f（k+1）＝k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2，即n＝k+1时命题成立.由①②可知，对任何n∈N*命题均成立.

总而言之，高中数学当中不等式的知识是其中的重点内容之一，也是常常导致高中学生失分的内容.因此，高中学生应首先从思想上认识到不等式内容的重要性，认真总结以往不等式解题中出现问题的原因，熟练掌握不等式的解题技巧，提高高中数学不等式内容的掌握程度，提升做题的速度，最终实现提高高中数学成绩的目的.