不等式恒成立问题的求解策略

筅湖北省荆州市荆南高级中学肖黎明

不等式恒成立问题的求解策略

筅湖北省荆州市荆南高级中学肖黎明

恒成立问题是指题设中含有恒成立条件（如不等式）的问题.此类问题具有“变”中有“不变”的特点，其题型涉及高中数学的多个分支，且容易与相关问题混淆而产生错误.不等式恒成立问题涉及不等式及函数的性质、公式等知识，有一定的难度，因而成为近年高考测试中的常见题型.为了对不等式恒成立问题的解题方法有一个更加全面的认识，笔者结合实例，对这类习题的类型和方法进行了归纳总结.

一、一元二次不等式在实数集R上恒成立问题

一元二次不等式在实数集R上恒成立问题，可利用“判别式法”，即利用：ax2+bx+c>0（a≠0）的解集为R圳a> 0且Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）的解集为R圳a<0且Δ<0直接求解.

例1已知f（x）=ax2+ax+a+3在R上恒有f（x）>0，求实数a的取值范围.

解析：当a≠0时，依题意知a>0且Δ<0，即a>0且-3a2-12a<0，故a>0.

当a=0时，f（x）=3>0也符合题意，故实数a的取值范围是a≥0.

二、定区间上的不等式恒成立问题

（1）可先构造函数，将不等式变为f（x）>0或f（x）<0.若要使f（x）<0在［m，n］上恒成立，则先求出f（x）在［m，n］上的最小值f（x）min，只要f（x）min>0即可满足题意；若要使f（x）<0在［m，n］上恒成立，则先求出f（x）在［m，n］上的最大值f（x）max，只要f（x）max<0即可满足题意.

例2已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若函数f（x）=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围.

解析：依题意知f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，则f′（x）=-3x2+2x+t.因f（x）在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上f′（x）≥0，而上的f′（x）min=f′（-1）≥0，即-3-2+t≥0，故t≥5.

（2）若不等式中的参数a与未知数x可分离，即可得到a>f（x）或af（x）在［m，n］上恒成立，则先求出f（x）在［m，n］上的最大值f（x）max，只要a>f（x）max即可满足题意；若要使a

例3题目同例2.

解析：依定义知f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，则f′（x）=-3x2+2x+t.因f（x）在（1，-1）上是增函数，则在（-1，1）上f′（x）≥0，从而t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立.

考虑函数g（x）=3x2-2x，由于函数g（x）的图像是对称轴为x=且开口向上的抛物线，由t≥3x2-2x在区间（-1， 1）上恒成立圳t≥g（-1），即t≥5.

而当t≥5时，f′（x）在（-1，1）上满足f′（x）>0，即f（x）在（-1，1）上是增函数，故t的取值范围是t≥5.

（3）巧设变量，避开二次函数，利用函数的单调性直接求解.

例4对于满足0≤p≤4的实数p，不等式x2+px>4x+ p-3恒成立，试求x的取值范围.

解析：设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，显然f（p）在p∈［0，4］上的图像是直线.要使不等式x2+px>4x+p-3恒成立，只需f（p）在［0，4］上恒大于0，即解得x>3或x<-1.

三、幂、指、对函数的不等式在定区间上的恒成立问题

对于含幂、指、对函数的不等式在定区间上的恒成立问题，可构造2个函数，利用“数形结合”直观求解.

例5若不等式x20且a≠1）成立，求实数a的取值范围.

解析：在同一坐标系中作出函数y=x2与y=logax（a>0且a≠1）在（0，+∞）上的图像.由图1可知x2>logax恒成立，不满足题意.由图2，要使不等式x2

图1

图2