数学学习：学习困难的早期基础与表现

孙雨　伊莉

[摘要]儿童的数学能力对其未来发展有重大的影响。一般来说，起步早、注意早期培养的儿童数学成绩会领先，而起步晚、不关注早期培养的儿童成绩可能会落后。学龄前期学到的数学思维与技能会影响儿童在校期间的数学学习情况。近年来有一些关于早期数学学习的观点：（1）近似数字系统对早期数学学习有重要影响；（2）有意识地控制或引导儿童集中注意力可以加快数学学习进程；（3）智力情况会影响数字在儿童头脑中的加工映射；（4）数字符号系统表征能力与执行功能和数学学习困难有直接关系。有关数学学习困难儿童的研究表明，以上情况在他们身上都有所体现，只是在学习过程中体现的程度不同。澄清这些能力在何时及如何影响儿童数学学习，并适当干预其发展，对个人发展大有裨益。

[关键词]数学；早期基础；学习困难；测查

[中图分类号] G633[文献标识码] A[文章编号]1005-5843（2017）04-0026-06

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201704005

一、引言

眾所周知，文字学习困难对人的自身与社会性发展都有阻碍作用，这样的人通常无法完成高等学业也不能找到很好的工作[1]。相比之下，人们较少关注数学学习困难，尤其是学龄前儿童的数学学习困难。许多人认为学龄前儿童所学的内容都是生活常识，随着年龄的增长便可自然掌握，无需在意。然而，学龄前儿童数学思维与能力的培养对其日后的学习有很大影响，特别是在当代数字化的社会，数学的应用越来越广泛，因此我们需要重视数学学习困难的问题。

现在大部分研究关注的是学龄儿童中的数学学习困难儿童和低数学成绩儿童。一般认为数学成绩持续低于同龄人的10%、智商不低于同龄人的儿童（他们一般处于班级后30%～35%的排名）被归类为数学学习困难儿童，即数学成绩比实际智力水平低。数学成绩居于后11%～25%的儿童被称为低数学成绩儿童。数学学习困难儿童一般会有平均水平及工作記忆方面的不足（如：注意力控制差），尽管低数学成绩儿童在注意方面可能也有缺陷，他们在重要的数学学习方面表现出学习不足与发展缓慢问题，但其智商可达到平均水平[2]。如果能尽早发现这些问题，对其进行适当干预，可以改善他们的数学学习状况。

二、早期数学学习困难的表现

学习困难在儿童入学之前就可能存在，而且大多数数学落后的儿童在校期间成绩可能会持续落后。遗憾的是，很少有研究解释入学前的数量发展能力与之后的数学学习困难或低数学成就之间的关系。Scott， Decker 和 Alycia研究说明，具体的认知指标，如长时检索能力、听觉加工、晶体智力、加工速度和工作记忆等不仅影响成人的问题解决效率，也对儿童早期数学问题的解决情况有重要影响[3]。已有研究表明，学前儿童的数量发展任务表现与稍大点的学习困难儿童或低数学成绩儿童在类似任务上的表现有相似迹象[4]。数学学习的第一步建立在估计物体数量的直觉上，儿童学到的第一个抽象数学符号是阿拉伯数字，当这些数字进入他们的大脑时还需要理解其代表的意义，下一个关键步骤是清晰地理解数与数之间的关系。早期的数学学习困难主要表现在以下几个方面。

（一）集中注意力程度与智力的缺陷

能够更好保持有效注意力控制与集中（包括忽略无关的内、外部刺激物能力）的儿童，比缺乏注意力的同龄儿童学得更快。注意控制能力，即在加工信息时头脑保持与目标信息相关的能力，可以通过工作记忆测验来衡量。注意控制和智力相关，但它们对数学学习的作用相互独立[5]。David提出智力的关键成分是理解抽象信息的能力，包括数字间的逻辑体系关系与操作这种关系的过程。注意力、智力与早期数学学习三者之间的关系如图1所示[6]。

（二）数感和近似数字系统的不足

Gersten和Chard在1999年首次提出数感（number sense）的概念，或许能够在数学学习困难早期诊断中起作用[7]。Dehaene提出数感和数学学习能力有密切联系，它是一种人类与生俱来的、在婴儿时期就会表现出来的能力[8]。在前语言阶段，数感能够精确表征一些小的数目（一般是小于4的数），使用语言之后就能够表征大的数目和进行近似表征[9]。那么，这种能力是否就是后天数学能力发展的基础，对此争议颇多。当孩子们开始学习数数并理解数的含义时，他们就开始了学习如何进行大数的精确表征。获得这种符号化的数感在很大程度上依赖于儿童大脑内部对输入学习内容的接收，符号化数感又是今后掌握计数、数学知识、算数操作的一个重要中介。尽管前语言阶段和语言阶段的数学能力之间的关系并未理清，但是存在一个共识，早期语言数学能力对于拓展数学知识，即从小数字到对大数的认识和入学后的算数学习是非常必要的[10]。儿童最初是通过估计或对数量的直觉来将小的数字和小的数目一一对应起来的，而大数则是通过数数来和数目进行这种一一对应。儿童理解了数数的原则，就学会了怎样精确地获得物体或个体的数量，并且通过理解这种数数先后的顺序表示n+1大于n的关系，然后操作加法和减法。Geary认为，数学学习困难就是数数、数字比较、变换的能力被削弱的结果[11]。后来，人们把数数（包括数量，即数出给出第一个物体数量的两倍；和顺序，即从右到左等等）、数字知识（谁比谁大，谁在哪个特定数字的后面）、简单加减法作为测试数感的三个任务。

人类有一种先天的数感，它依赖于顶叶皮层内的一部分——顶内叶的特殊加工过程，由此人们可以明确地区分物体的多少，比如食物数量的多少[12]。人类能区分两个离散的数量系统，其中一个系统代表只有三、四个物体的确切数量，即精确数字系统（Exact Number System， ENS）；另一个代表大量物体的估计数量，即近似数字系统（Approximate Number System， ANS）。将大的估计数量与小的确切数量区分开的难易程度依据物体数量比例的不同而不同。婴儿能正确比较出数量比为2：1的物体差别（如16个苹果和8个苹果），成年人能比较出10：11的数量差别[13]。这种变化在一定程度上是由于支持近似数字系统的大脑区域的成熟，还有经验或者成熟与经验的结合。无论什么原因，这个系统的发展延迟将导致数量直觉不敏感，它可能潜在地减慢儿童早期对数字意义与阿拉伯数字的学习。在学前儿童群体中，对于这两个数量系统之间关系的说法尚不统一，有许多研究者认为，学前儿童在近似数字系统精确度上表现出的个体差异与他们的精确数字系统知识紧密相关[14]；后来，James和Barbara通过改进实验设计推翻了前人的结论，他们认为二者出现相关的原因，一是部分实验设计未注意到儿童回答时依据的是点的面积大小而不是点的数量多少，二是儿童的精确数字知识太少，未能理解“更多点数”的意思[15]。当实验任务调整为确保儿童是依据数量多少做出判断时，近似数字系统精确度与精确数字系统知识的关系就不复存在了。

最近有研究指出，数学学习困难儿童可能在近似数量的多少估计上缺少准确性，即近似数字系统不完善，该系统是天生的且在人的发展中占据主导地位[16]，它的精确性会随着人的知识经验的增加而越来越高。尽管这种缺陷不是每次测试时都有所表现，这也能有效地表明数学学习困难儿童对相邻范围数量比较的错误率超过高成绩的同龄人，后者能很容易区分开5和6个物体，而数困儿童认为5和6个物体是一样多的。Piazza发现10岁的数困儿童的近似数字系统与高成绩的5岁儿童差不多[17]。由此可以推测，在近似数字系统中精确度低的学前儿童在入学后更可能成为学习困难儿童。先前人们普遍认为，近似数字系统的精确度与个体的抽象数学能力有直接关系，或者与数学成绩是线性相关，然而最近有研究者发现，近似数字系统的精确度与儿童早期的数学成绩是非線性相关的[18]。具体来说，对于数学成绩较高的儿童，二者无显著相关；对于数学成绩低的儿童，其相关程度很强，即数学成绩越低，其近似数字系统的精确度越低。这可能与儿童的早期经验有关，数学成绩高的儿童先前了解的知识更多、更广，这里的知识不单指数学方面，如数字符号知识，也涉及其他学科及生活经验。Gunderson和Levin曾发现，家长与幼儿的“数字交流”（number talk）对其早期理解数学概念的能力有促进作用[19]。此外，可能还有近似数字系统精确度阈值和儿童对所获得知识的激活程度的影响。

近几年，有很多学者进行过数感与数学成绩之间关系的追踪研究。比如，Jordan， Kaplan， Olah和Locuniak进行的追踪研究，他们把幼儿园时期分为几个时间点，分别测量每一个时间点幼儿的数感得分和数学成绩[20]。结果发现：（1）最初数感得分高的幼儿，后来的数学成绩就会维持在较高水平；（2）最初数感得分低的幼儿，后来的数学成绩就会保持在较低水平。此结果表明数感对数学成绩的预示性影响，然而在幼儿园时期的数学学习与入学之后正式的数学学习情况很不一样，所以这个结论对于儿童入学后数学学习的预测作用有一定的局限。

（三）数字大小范围在儿童头脑中的映射不完整

早期数学的基本标志是阿拉伯数字，它们和儿童以后要学习的数量关系等内容有密切联系。儿童早期的数感为这些联系打下基础。儿童将数字大小范围映射到他们的大脑中需要注意力和前额皮层的参与。在这一过程中控制注意力很有必要，因为数字对儿童来说是没有意义的符号，它们进入儿童的数量直觉时，儿童要知道其基本意思。比如，儿童学习了3和7这两个数字，需要知道7表示的大小范围比3大。智力不仅在这个阶段很重要，在后期儿童还需了解数字之间的系统关系，仍然需要智力发挥作用。现阶段只是通过近似数字系统将数字与其代表的数量大小联系起来。由此看来，前期数学基础对后面的数学学习困难或低数学成绩至少有三方面的潜在来源：近似数字系统、注意控制系统和二者之间的联结，包括前额皮层的注意控制系统、脑区中的沟回与负责长时记忆的海马[21]。

有研究发现二年级的数学困难学生有完整的近似数量系统，但在加工数量大小和阿拉伯数字时比同龄人慢，表现出反应不足的缺陷[22]。这些儿童智力水平中等，但不能独立地集中注意力。数学学习困难儿童在近似数字系统任务中精确性很低，在把数字与数量大小相对应联系起来的过程中表现出困难[23]。注意力控制不足及其他因素造成反应困难，但不会对近似数字估计系统有影响，某些数学成绩低的儿童比成绩高的儿童反应更困难，这是由于注意控制的稍微薄弱或前额皮层与顶区内沟回的联结不完整[24]。

（四）对数字符号系统表征的理解力较弱

理解特定阿拉伯数字的意义，知道它们的主要价值，是数学学习过程中关键和具有挑战性的一步。明确理解数字符号系统的逻辑结构是更具意义的一步，这表明儿童开始懂得数字间关系和数字的功能：排列顺序和表示相对大小。这不是简单地重复数数，而是懂得9比8大1，按此顺序可以排成一个数列。这就是对数字符号系统表征的理解力。

儿童的数感和其他数量知识（如：给整个积木堆增加一块积木，会增加它总体的大小）达到何种程度是一个未解决的问题，这类知识对数学学习很有必要，儿童可以此类数感作为日后数学学习的“脚手架”。儿童数学学习的一个方面来自于早期的数感，因为固有数量知识的顶峰相对数学知识的拓展形式是有限的。当然，人们在童年之后依然在许多方面用到数感，问题在于它对正式的数学学习是否有用。有意的注意力控制和智力对于理解和加工数字间的明确关系比其他数学领域内容更重要。

Bugden和Ansari研究发现，一年级和二年级学生自动反应数字大小的流畅性和比较两个数字大小的能力之间无相关，后者可以预测数学成绩[25]，但自动反应数字大小的流畅性不能预测[26]。在另一研究中，数学学习困难儿童在智力方面的缺陷（其平均智商为96，高数学成绩儿童的平均智商为107）表现在一年级时数列学习的迟缓，二年级时注意力控制的薄弱[27]。数学成绩低的儿童的平均智力低于成绩高的儿童，但是在控制注意力上没有太大差别；其数列学习的表现在一年级时比成绩高的儿童落后，但二年级时他们就与成绩高的儿童差别不大了。Delphine和Emmy等人以平均年龄为5岁的幼儿作被试，探讨了学前儿童的近似数字系统和符号数字加工的关系，发现近似数字系统精确度与符号数字的加工正确率无显著相关，说明在儿童早期，近似数字系统与数字符号就是两个不同的代表体系[28]。随着儿童年龄和知识的增长，二者可能会有彼此交叉、相互作用，这方面的具体情况还有待实验证明。

如果儿童理解了符号数字的实际意义，懂得了数列的逻辑结构，智力的重要性就比注意力控制的重要性低一些了，因此可以說，数列或数的位置的学习是比较容易的。在这种情况下，数学学习困难儿童在学习上的迟缓看起来和智力与注意力控制有关，但在学习过程的不同方面程度不尽相同。数困儿童和数学成绩低的儿童在学习发展方面的许多不足是不能理解数字符号的问题，它独立于智力与注意力控制，但目前不确定早期的注意力控制不足必然会造成数量学习的迟缓及以后与之相关的更严重问题。

（五）執行功能水平较低

执行功能水平较低是导致儿童早期数学低分和数学学习困难的一个重要因素。执行功能常常被看作主要是由前额叶调节的一种复杂的认知功能， 是指个体的许多认知加工过程的协同操作， 在实现某一特定目标时，个体所使用的灵活而优化的认知和神经机制， 包括计划、控制冲动、抑制、定势转移或心理灵活性以及动作产生和监控等一系列功能[29]。执行功能可以预测数学能力的发展，有研究发现，儿童3岁时的执行功能与6岁时的数学能力之间存在显著相关，控制非正式数学能力、社會经济地位等因素后，仍存在显著相关[30]。该研究强调了执行功能在预测儿童从非正式的数学学习转换到正式数学学习过程中存在困难的数学能力情况。执行功能的各个成分会参与到儿童学习数学的过程，例如，在数数的时候，儿童需记住数字的名称、序列并运用数数的原则；在解决文字应用题的时候，需要关注数字和数量关系，而抑制对问题情境的过分关注。这些体现出计划、抑制、监控等功能的作用。

三、学前儿童数学能力的测查方法与工具

前文总结了儿童早期数学学习困难可能表现出的一些问题，如果能够在儿童入学前检测出其数学能力方面的不足，尽早采取措施引导、督促其学习，培养他的数学学习兴趣与能力，以防入学后成绩落后、厌学等一系列问题，将会对他未来的学习生活大有裨益。尽管有一些工具和量表可以评估数学学习困难，但目前没有一个公认的工具，研究者通常使用一系列测验和相对宽泛的标准来界定和诊断数学学习困难。针对学前儿童数学能力的检测，比较有代表性的是Ginsberg和Broody开发的儿童早期数学能力测验（TEMA）[31]，此测验共72个项目，适用于3～8岁儿童，涉及唱数、简单运算、数字读写、心理数字线、十进位和应用题方面，目前没有中国儿童的常模。Jordan， Glutting， Ramineni和Watkins研究发现了简版数感测验[32]，它有良好的诊断和预测效度，学龄前和一年级时的数感水平至少能够预测到三年级的数学能力。此测验题目数量少，施测时间短，便于进行大规模的筛选工作，预测准确性在078～088之间。测试近似数字系统精确度的常用工具是点阵图数量比较[33]，它可以控制点的数量、大小、颜色、呈现时间、比例等等。周欣等人编制的《数学学习困难儿童数和数量关系理解诊断性测查》是适用于学前儿童的测查量表[34]，可诊断出数量关系方面的问题，比如计数、集合比较、加减运算、序数、认读个位数、数字符号表征理解等。评估学前儿童的抑制控制能力可用白天/黑夜任务或Stroop实验范式，测查儿童言语工作记忆通常使用词语倒背或数字倒背任务，测试儿童视觉工作记忆可用科斯积木任务，评估转换能力可用灵活项目选择任务，等等。

四、总结与展望

学生期间的数学能力会影响成年后的工作、生活和协调现代活动的能力，在上学之前就应对儿童的这些能力和需要着手准备，许多儿童没有做好早期准备因而入学后就会处于劣势，早期的发现与适当干预会使类似情况有所好转。儿童早期数学学习的机制对其数量学习的干预发展至关重要，这些机制包括先天的数量大小感觉，对数字和基本数学符号的含义的反应流畅性，正确使用数字、数学符号并理解它们之间逻辑关系的能力。它们在儿童不同的学习阶段的重要程度不同，造成学困儿童的学习困难程度也不同，未来还需加强对这些方面的实证研究。现在关于数学学习困难的研究主要集中在数字加工、数量计算与算术知识等方面，对于早期的模式认知、测量能力、空间几何能力、数字逻辑结构等方面的探索不太深入，可以采用纵向研究的方法，深入探讨早期数学基础对日后这些数学能力的影响，进而实施干预方案，追踪探究儿童数学学习的发展轨迹。鉴于学前儿童活泼、爱玩的天性，要慎重考虑干预方案的可行性。儿童先天的数感有进化的基础，在其发展过程中也有可塑性。注意力控制的不足与解决逻辑问题方面的缺陷并不意味着数学学习困难儿童不能学好数学，直接明确地指明核心数学关系对数学习困难儿童理解数学问题尤其重要[35]。这些仅仅是数学学习的第一步，没有良好的基础，儿童以后的数学学习将更加困难。总之，应该重视早期阶段对儿童数学学习能力的观察与培养，采取合理的方式对其进行训练，在学前期可通过设计数字游戏和活动来增强儿童对数学学习的兴趣，让其在生活中更多的运用数学，引导他们慢慢步入数学思维的道路上来。

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Abstract： Childrens mathematical abilities are of vital importance for their future development. Generally speaking， who begins early and pays attention to it will take the leading position， the rest will behind them. The mathematical thinking and skills which learned at preschools can influence the childrens later study at primary schools. There are some opinions about early mathematics study： （1） Approximate number system （ANS） has significant effect on early mathematics study. （2） Teaching children to concentrate on textbooks or learning materials consciously can speed up their mathematics study process. （3） Childrens intelligence situation will affect the number of processing map in their minds. （4） The representation ability of symbolic number system as well as the executive function is directly related to the mathematics learning disability. The studies about children with mathematics learning disabilities suggest that these abilities are reflected in their learning process. To clarify how and when these abilities work for children， then taking some appropriate interventions to the childrens mathematics learning will do help for the development of individual and society.

Key words： mathematics； early foundation； learning disabilities； measure

（責任編辑：刘宇）