在深度教学中培养学生的数学核心素养

◇夏海莲 吴登文

在深度教学中培养学生的数学核心素养

◇夏海莲 吴登文

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”同时明确提出了十个关键词（马云鹏教授认为就是数学学科的核心素养），即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。数学核心素养是在学习数学知识过程中形成的数学的思想与方法，具有重要的现实意义。培养学生的数学核心素养，显然靠浅层次的课堂教学是无法顺利完成的，只有教师深度地教，学生深度地学，不断提升课堂教学的品质，丰富课堂教学的思想内涵，真正形成有效的数学活动，才有可能在提升学生的数学核心素养方面逐步获得进展。

如何在深度教学中培养学生的数学核心素养呢？我们认为需要聚焦以下几方面。

一 关注学生的认知起点，为理解而教

“人类被看作由目标指引、积极搜寻信息的行动者，他们带着丰富的先前知识、技能、信仰和概念进入正规教育，而这些已有知识极大地影响着人们对周围环境的关注，以及组织环境和解释环境的方式。反过来，这也影响着他们记忆、推理、解决问题、获取新知识的能力。”[1]这清楚地表明，如果忽视了学生的初始观念，一味地按照教师的想法教学，那么学生的理解可能就会和教师的预期大相径庭。

比如，我们经常会看到学生学习了“面积”这一概念后，与之前所学的“周长”这一概念混淆。这时，教师不能简单地认为学生没有理解相关概念，换句话说，简单的概念对比并不能促进学生的深度理解。“周长”这个概念深深地影响着学生对“面积”概念的认识，我们认为的“面积”往往并不是学生认为的“面积”。教师需要仔细分析“周长”这个概念对学生“面积”认知的影响因素，理解两者的区别和关系等。在学生的认知中,“面积”概念往往还带着“周长”概念的影子。反过来，学习了“面积”的概念以后，也会对学生理解“周长”造成负面影响，学生在某些时候会错误地认为 “面积越大，周长越长”。在互为背景的这对概念中，教师是否善于寻找它们的联系、区别，善于设计促进学生进一步理解的教学序列，为学生的深度理解搭建脚手架，并通过设置问题序列，在概念辨析和实践应用的双重背景中发展学生的空间观念，尤为重要。我们尝试采用下面几个步骤揭示概念的本质。

1.学生在“印章”游戏（将不同立体图形的底面拓印在纸上）中初步感知面积这一概念。

2.在“撕纸”游戏（将一张长方形纸撕成规则或不规则的形状）中，用不同的手势（对于周长，用手指画一圈；对于面积，用手掌摸一摸）区分周长和面积概念，指出周长是封闭图形一周的长短，面积是一个面的大小。

3.让学生选择合适的方法比较平面图形或物体表面积的大小，并指出正方形作为统一的面积单位的优势。

4.区分周长单位和面积单位，并给出两个“凹凸”形状的平面图形，让学生测量周长和面积，并说说发现了什么。

5.小组玩“俄罗斯方块”游戏：说说周长和面积各是多少。

又如，在教学三年级下册“简单的小数加减法”时，教师提出一个用加法解决的问题：“买一块橡皮（0.6元）和一支铅笔（0.8元）一共多少钱？”学生给出了三种不同的解决方法。

第一种方法 ：0.6+0.8= 1.4（元）。

第二种方法：6角+8角= 1元4角=1.4元。

第三种方法：因为6+8=14，所以0.6+0.8=1.4（元）。

接下来的教学中，教师紧紧抓住第一种解决方法，一直强调“小数点为什么对齐”，而完全忽略了其他两种方法所蕴含的学生对知识理解的价值。到了学习小数减法的时候，又按照教学小数加法的方式教学，不断强调“小数点要对齐，数位要对齐”。教师对知识理解的窄化，可见一斑。这些不需要教就能学会的知识并不能引起学生的兴趣。本节课是在学生初步认识小数之后，让学生学习简单的一位小数加减一位小数。在没有学习小数数位及顺序的情况下，如何揭示小数加减法的算理呢？从学生给出的三种不同解法不难看出，学生对小数加法是有“感觉”的，学生对小数加法和减法的竖式计算也并不陌生，教师需要做的不仅是教学生如何计算，更重要的是利用学生头脑中的“前概念”，通过对三种解法的对比来沟通联系，促进学生理解算理，发展学生的数学观念。显然，教师没有引领和提升学生对计算方式的这些新的“感觉”，错过了通过多种算法深化学生对新算法阐释、理解、运用的一个好机会，没有达到最基本的知识教学要求，也就不能说是内涵比较饱满的深度教学了。

深度教学提倡用各种方式了解学生已有的知识经验，再根据这些“前概念”对所学知识进行整理和加工，寻找学生学会、会学、易学的学习路径，提高学生的应用意识。只有知道学生是怎么想的，才会知道教什么、怎么教。

二 深度加工所学知识，为思维发展而教

学生在学习中，既是问题的解决者，又是问题的生成者，他们不仅希望解决别人的问题，还想寻求和创造新的挑战。教师要为学生提供探索、理解的机会和利用挑战获得成功的机会，这是促进学习动机发展的重要支点。因此，在教学中，我们要善于横向拓展知识间的联系，纵向延伸知识的生长，构建网络，对所教的知识进行深度加工。

比如，在一年级教学“关于0的加减法”时，教师提供“苹果图”让学生提数学问题，学生说：“第一个盘子里有2个苹果，第二个盘子里没有苹果，合起来一共有几个苹果？”教师随后让学生列算式，并板书在黑板上。教师又出示 3＋0、4＋0、5＋0等算式，至此学生已经初步感知了一个数加0的计算方法。这时教师并不急着总结，而是让学生举出类似的数学算式。有的学生尝试说6＋0=6，胆大的孩子说100＋0=100，更有学生说 1000+0= 1000……让学生通过大量的例子进一步感受加数是0的算式的计算方法。接着教师让学生观察这些算式，并让他们说说发现了什么。有的说 “算式里都有0”，这是从加数的特征去看的；有的说“都是加法”，这是从运算的特征去看的；一个学生说“因为加了0，就相当于没有加，所以第一个加数加0，得数和第一个加数一样”，这是从结果的角度去看的，有相当高的概括水平，不错！随后教师神秘地说：“老师再写一个特别难的题，看看谁能想出来。”此时班里鸦雀无声，教师把“Δ+0”写下来，许多学生回答是“Δ”，教师继续板书 “a+0”（教师指出a是数学中常用的字母），学生兴奋地抢答。教师适时总结：“0加任何数都得这个数。”从代数思维发展的角度看，学生在一年级就可以思考代数问题，这就是早期代数思维渗透的一种重要形态。通过课堂交流，学生从2+0=2、3+0=3、5+0=5、100+0=100等算式中可以概括出“得数和第一个加数一样”，这相当于学生已经从中发现了a+0=a这个重要的计算模型，学生的数学思维并不是简单的从算术思维直接到达代数思维，而是早期代数思维在他们的认知过程中发挥着重要的理解作用。等到教师最后概括得出比较抽象的一般性结论“0加任何数都得这个数”时，学生已经经历了一个完整的算术思维、早期代数思维和规范的代数思维的小循环过程。这个例子，对我们认识通过早期代数思维观念的培养可以促进学生的深度学习，具有一定的启示。深度教学并不是额外增加课程的难度或者问题的深度，而是要善于巧妙地引导学生理解知识的本质，使学生从繁杂的现象中寻找规律，探索本质属性，提高学生在知识学习过程中的思维含量。学生后来学习 “两个相同的数相减”时，有了更加精彩的表现，这说明我们的认识有一定的道理。

又如，现行小学教材对“面积”是这样定义的：“物体的表面或围成的平面图形的大小，叫作它们的面积。”学生比较熟悉“地球仪模型”，他们看到一个国家的面积是用边界线在地球这一球形“物体的表面”“围成”的具有一定大小的一个图形的大小，但它不是“平面”的；学生发现一个圆柱体的侧面只有当展开时才是“平面”，其自身状态则是曲面。由此可见，面积是“用以度量平面或曲面上一块区域大小”的量，它并不仅仅局限于“平面图形”。在学生开始接触小学课本中比较规范的 “平面图形的面积”之前，他们的经验世界中就有这样的“曲面面积图式”。如何处理好这两种不同图形的 “面积”？如何不提高知识的难度又恰到好处地基于学生的经验展开教学？这需要教师认真思考。教师的深度思考，正是为了深度教学的有效展开。基于“两种图形面积”的分析，在教学时教师拿出一个橘子，问学生：“橘子的表面有面积吗？”一个学生认为切开之后就有面积，很显然，学生认为物体的面是平的才有面积。教师追问：“切开以后的面并不是一个橘子的表面的面积，橘子的表面的面积到底是什么？”学生的认识渐渐清晰起来。教师伺机将橘子剥开，用橘子皮近似展示了一个不规则的平面图形，学生模糊地认识到一个完整的橘子皮的大小就是整个橘子表面的面积。这里的重点并不是计算的方法问题，而是学生对面积概念逐步深入理解的过程。当然，为了计算这种复杂图形的面积，我们需要从简单的平面图形开始。这样的教学，为学生留下了具有数学味儿的“大问题”。众所周知，曲面图形“球”的表面积问题，只有到了高中才能解决。但对这个“大问题”持续思考的意识，有可能引导学生深入思考几何图形的一些基本问题。这从另一个角度说明，深度教学要尽可能为学生提供大量丰富的素材，激发学生的数学思考，培养他们的问题意识和思考习惯，为他们的数学思维发展提出恰当的本源性的问题。

三 力求让知识结构化，为学得简单且系统而教

过度的情境化设计，并不利于知识的学习和迁移，而知识的抽象表征却能够促进知识的迁移。深度学习要力求让知识的学习和能力的培养达到结构化，让学生学得简单、学得比较系统。

如何让知识的学习结构化？我们需要设计一些数学活动，使学生对学习任务感兴趣；我们需要尽可能减少教学流程的繁杂，围绕核心概念和概念的核心展开教学，让教学结构变得简单而清晰，并给予学生加工、处理问题的时间。

比如，在“认识乘法”的教学中，教师紧紧抓住概念的核心，让学生根据一幅座位图进行课前研究，课堂对话如下：

生：我用数一数的办法知道了图中一共有 15个座位。

生：3+3+3+3+3=15（个）。

生：5+5+5=15（个）。

生：3×5=15（个）。

随后教师组织学生各自发表见解。

生：每一排都有5个座位，有3排，就是5+5+5,是3个5相加，得15。

生：每一列有3个座位，有5列，就是5个3相加，得15。

师：横着看是3个5相加，竖着看是5个3相加，都可以。

生：还可以用乘法，3个5相加就可以用3乘5，就是15。

师：3个5相加能不能用 5乘3计算呢？

生：也可以，因为得数都是15。

师：看来，像这样求几个相同加数的和，不仅可以用加法计算，还可以用乘法计算。

生：我发现每个乘法算式里都有 3和 5，只不过交换了位置，得数还是15。

生：无论是3个5相加还是5个3相加，都可以用3×5或者5×3这样的乘法来计算。

生：我发现乘法算式和这里的3和5有关系，有几个几，就用几乘几。

师：如果是3个6相加怎么算？10个100相加呢？a个b相加呢？

学生回答出这些问题后，显得异常兴奋，思维越来越活跃。

生：我知道用加法算式可以算出乘法算式的得数，因为5+ 5+5=15,所以3乘5就等于15。

生：靠数数数出来有点儿麻烦了，如果座位特别多，难道还要数吗？

生：我发现如果加数都相同，用乘法计算比较简便。

师：如果加数不相同呢？

生：只能用加法。

师：大家觉得呢？

生：我反对，比如2+3+5，也可以用5乘2计算呀。

师：当我们用2乘5计算的时候，就相当于把2和3的和看作一个加数了。也就是说当加数不相同的时候一般用加法，但如果我们有办法将它们改写为加数相同的形式，也可以用乘法进行简便计算，可见加法和乘法具有紧密的联系。

用深度教学的行动去实现小学数学核心素养的培养，需要教师对儿童学习方式的进一步理解、对知识结构化的深度思考、对学习过程合乎逻辑的设计，还需要教师从儿童的认知规律出发，构建有数学味儿和儿童味儿的数学课堂和教学体系。

[1]约翰·D·布兰思福特，等.人是如何学习的——大脑、心理、经验及学校）[M].程可拉，等，译.上海：华东师范大学出版社，2012：8~11。

【本文系人民教育出版社“十三五”规划课题“小学数学深度学习策略开发及实践探索性研究”的研究成果之一。】

（作者单位：青海西宁市城中区南川东路第二小学，青海省中小学教学研究室）