基于板壳理论的梁板结构导荷方式

高 扬

(上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司，上海 200092)



基于板壳理论的梁板结构导荷方式

高 扬

(上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司，上海 200092)

从板壳理论出发，首先计算了板挠度曲面的理论解，而后从梁的变形反推被导算到梁上的荷载，并以导荷函数的形式进行了描述，通过研究导荷函数的性质，清楚的反映了矩形板的平面尺寸及梁与板的刚度关系对结构导荷方式的影响。

梁板结构，矩形板，导荷方式，导荷函数，板壳理论

梁板结构在承受竖向荷载作用时，板上荷载的导算方式是结构设计分析中的一个基本问题。现有的研究多停留于有限元模拟阶段[1,2]，很难揭示更为本质的机理。从工程角度来讲，一般结构所用的板(包括所谓的厚板结构)其厚度往往远小于平面尺寸，在板壳理论[3]中均属于“薄板”的概念，应当存在一个统一的表达式来描述荷载的传导方式。本文针对特定边界条件下的矩形梁板结构进行分析，根据板挠度曲面的解析解反推梁上所导算到的荷载，并用导荷函数的形式表示，通过研究导荷函数的性质来揭示板上荷载传导的机理。

1 板的挠度曲面计算

1.1 挠度曲面方程与边界条件

设矩形板边长为a和b，厚度较之于平面尺寸是小量，板受均布面荷载q作用。考虑一种典型的约束情况，取对边x=±a/2为简支，对边y=±b/2支承于弹性梁上，如图1所示。

根据板壳理论，板的弯曲基本方程为:

(1)

其中，w为板的挠度；D为板的弯曲刚度。

边界条件为:

1)当x=±a/2时：

(2)

2)当y=±b/2时：

(3)

其中，v为板的泊松比；C为梁的弯曲刚度。边界条件式(2)表示板在简支端的挠度为0，且沿x方向不传递弯矩；边界条件式(3)表示在弹性梁处，梁的扭矩、剪力分别与板在相应方向上的弯矩、剪力相平衡。

1.2 微分方程的解

微分方程(1)的解w包括特解w1和通解w2两部分。根据结构的对称性可取特解为：

(4)

同时由分离变量法给出通解的一般形式为：

(5)

因而微分方程(1)的解就可以表示为w1+w2:

(6)

其中，Am和Bm均为待定系数，由边界条件确定。

将式(6)代入边界条件，有：

1)当x=±a/2时，方程满足边界条件式(2)。

2)当y=±b/2时，由边界条件式(3)可得到：

(7)

(8)

其中，αm为矩形板两边长度的比值，αm=mπb/(2a)；λm为梁与板刚度的比值，λm=mπC/(aD)。将式(7),式(8)代入式(6)，矩形板在给定边界条件和竖向荷载下的挠度曲面w就确定了。

2 板的导荷方式分析

传统的设计理念认为，弹性板上荷载近似以单向板对边受力、双向板梯形三角形传力的方式全部传递给了梁[4]。如果用函数去描述这些导算到梁上的荷载，那么函数的形状就能直观地显示出板在忽略面外刚度时的导荷方式。称这样的函数为导荷函数，下文将推导梁板结构在更为一般的情况下的导荷函数的表达式及相关性质。

2.1 导荷函数的推导

在y=±b/2处，梁的挠度为:

(9)

(10)

因而梁上被导算到的荷载qb(x)为:

(11)

导荷函数即为:

(12)

其物理意义为：梁在单独承受导算荷载qb(x)=f(x)q下的内力变形和梁板协同承受面荷载q时梁的内力变形相等。进一步将导荷函数无量纲化得：

(13)

其中，φ为导荷函数的无量纲形式,φ=f/a；ξ为导荷函数的广义坐标,ξ=x/a∈[-1/2,1/2]。

2.2 导荷函数的性质

由式(13)可得导荷函数φ(ξ)是一个无穷三角级数。φ(ξ)的形状由级数各项φm的形状及衰减速率决定。而控制这个速率的就是表征板平面尺寸的αm和表征梁板刚度关系的λm。

考察当λm较大，导荷函数式(13)可近似为:

(14)

可将其表示为图2的形式。其中第1项占有绝对重要的比重，高阶项衰减极快，取很少的几项之和就可足够逼近级数的值。

这也就说明了λm足够大时，φ(ξ)的图形是和φ1(ξ)比较接近的，亦比较接近三角形或者至少可以用三角形去近似计算。在传统的梁板结构中，梁的弯曲刚度远大于板，因而可以采用三角形分布的导荷方式将板上荷载传递给梁。

当λm较小时，根据式(13)导荷函数可近似为式(15),见图3。

(15)

与前一种情况相对应地，随m增大，级数各项的振幅近似以m-1速率衰减，衰减速率要慢得多，且φ(ξ)受级数高阶项的影响不可忽略，其图形也不再可以近似是三角形。这种情况就对应于厚板结构，梁的弯曲刚度与板比较接近，这时板向梁所导的荷载不能再以三角形分布来考虑。

当λm足够大，且αm也足够大时，导荷函数可近似为:

(16)

那么对于混凝土楼板(v=0.2)，φ(ξ)形状如图4所示，最大值约为0.567。φ(ξ)的图形近似于一个等腰直角三角形，这正对应于传统的单向板导荷情况。

这样，导荷函数以一个统一的表达式φ(ξ)描述了梁板结构在特定约束条件下的导荷方式；并且随梁板刚度变化和板的尺寸变化，导荷函数的图形可退化至传统设计的简化情况，验证了推导的正确性。

3 算例

以一个给定参数的梁板结构为算例。简图同图1，a和b均为8.4m，梁弯曲刚度C=2.722×109N/m2，板弯曲刚度D=1.4×109N/m2，材料的泊松比v=0.2，面荷载q=100kN/m2。

通过两种方法计算得到板的变形如图5所示，其中图5a)为基于有限元方法的数值解(单位mm)，图5b)为基于板壳理论的解析解(单位m)。可以看出两者在形状和数值上是一致的。

由式(13)计算得到板的导荷函数，如图6所示。

下面通过两种方法计算梁的挠度如图7所示，图7a)为利用有限元方法计算整个梁板结构在面荷载作用下梁的挠度(单位mm)，图7b)为计算单独的梁在图6所示导算荷载下的挠度(单位m)。同样地，可以看出两者在形状和数值上是一致的。

从而，上述计算验证了板上的荷载确实是以式(13)所示的导荷函数的形式传递给了梁，导荷函数显示了梁板结构传递荷载的方式。

4 结语

本文基于板壳理论，针对对边简支对边弹性梁的矩形板进行分析。首先计算板挠度曲面的理论解，而后从梁的变形反推被导算到梁上的荷载，并以导荷函数的形式来描述。通过研究导荷函数的性质，揭示矩形板的平面尺寸和梁板间的刚度关系对结构导荷方式的影响。

[1] 曾昭阳.框架结构内力考虑楼板刚度变化影响的有限元分析[D].长沙:中南大学,2011.

[2] 程新春,顾祥林,孙 凯.梁板结构有限元分析的非等效荷载处理方法[J].结构工程师,2011,27(4):28-33.

[3] Timoshenko S,Woinowsky-Krieger S.Theory of Plates and Shells[D].Mcgraw-Hill College,1959.

[4] 结构计算软件YJK-A用户手册及技术条件[Z].

The beam and slab structure load transfer way based on plate shell theory

Gao Yang

(Shanghai Municipal Engineering Design & Research Institute(Group) Limited Company, Shanghai 200092, China)

From the plate shell theory, this paper firstly calculated the theory resolution of plate deflection curved surface, then from the deformation of beam inversed guiding calculation beam load, and made discussion taking the form of load transfer function, through the nature of load transfer function research, clearly reflected the influence of plane size of rectangular plate and the stiffness relationship of beam and plate to structure load transfer form.

beam and slab structure, rectangular plate, load transfer way, load transfer function, plate shell theory

1009-6825(2017)12-0049-03

2017-02-14

高 扬(1984- )，男，博士，工程师

TU311

A