小学数学中的高观点及其对教学的指导意义——以“三角形的特性”为例

◇章勤琼

（作者系温州大学教师教育学院副教授，南京师范大学博士后，研究方向为数学教育、小学教育）

不久前，跟一些老师讨论如何确定人教版教材四年级下册[1]“三角形的特性”第一课时的目标时，我思考了以下几个问题：（1）认识三角形的上位数学知识（这里的“上位数学知识”并不是一个专有的概念，也不是指逻辑学中的“上位概念”，而仅仅是一种通俗的说法，是指以超出小学知识的范围来看待所教、所学的数学内容）是什么？从数学上来说，认识三角形的什么内容是重要的？前后相关的知识有什么？（2）对学生而言，在这节课中，什么内容是最核心的？为什么？（3）《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中相应的要求是什么？该怎么理解？这些核心的内容，在教材中有没有体现？是怎么体现的？（4）教材中的这些内容，可以通过怎样的教学行为来落实？

事实上，这几个问题是通用的，对于任何内容来说，在设计目标时都是需要思考的。当时很多老师看到这几个问题后，觉得完全无法讨论，教材中的内容也就一页而已，这么简单的内容，实在没什么好研讨的。下面我尝试就上面所说的这一课时的教材内容，谈谈老师到底需要思考什么。

一、与这一内容相关的数学知识有什么？

这个问题，其实就是现阶段对三角形的学习与之前三角形的学习有什么不同。相信多数老师都比较清楚，之前学生对三角形的学习仅仅是一种感性的认识，只要能判断出怎样的图形是三角形就可以了。到了当前这个阶段，需要从三角形的要素，如边、角、顶点、高等，来认识三角形。对于这个内容，《课标》在第一学段的总目标为“经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形”，在具体目标上要求能辨认三角形等简单图形，会用三角形等图形拼图。而在第二学段的总目标则是“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”，在具体目标上则要求认识三角形的各种性质。可以简单地这样讲，之前是学习生活中见到的三角形，现在是带着研究的眼光学习数学上的三角形。弄清了这一点，就可以明白这节课在引入部分是可以快速进入的，只要学生根据平时对三角形的感性认识，画出三角形后，就可以开始从数学上来认识三角形了。因此似乎并没有太大必要花很多时间再让学生用语言来描述他们在感性上认识的三角形是什么。

二、三角形到底是怎么定义的？三角形又是由什么确定的？

这个问题也很简单，教材上是这么定义的：“由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形。”[1]我们都知道，画三角形时，一般都是画三条线段并首尾相连而成的。这当然是没有问题的。但既然要从数学上来认识三角形，不如我们较个真，这首尾相连的三条线段又是怎么来的呢？让我们来看看2002年出版的裘光明主编的《数学辞海·第一卷》中对三角形的定义：“三角形是指平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形 （包括它的内部区域）。”[2]这个定义的要点在哪里？就在于这里先给定的是三个点，然后每两点确定一条线段，由此确定三条首尾相连的线段，也就是三条边。其实这是容易理解的，两点确定一条线段，所有的线段，一定是先有两个点，才能连接而成的。《课标》在 “课程内容”第二学段“图形的认识”中开始就有一条要求“体会两点间所有连线中线段最短”，这里其实就已经提到了连点成线。事实上，关于这一点，教材中是有体现的，三角形的定义中括号里的文字是“每相邻两条线段的端点相连”。细细品味，这里是不是可以理解成围成三角形的每条边都应该是连接两个点得到的呢？

有了这样的认识之后，对我们的教学设计和行为能带来什么不同呢？笔者认为，可以给学生一种与之前画三角形不同的方法，即给定三个点，让学生通过连点成线的方式作出三角形。这里不要小看连点成线这个动作，这对学生这个阶段的几何学习来说是至关重要的。因为，在正式进入几何学习之后，初等几何无非就是五个内容，分别是：直观几何（大致对应义务教育阶段的“图形的认识”）、运动几何（大致对应“图形的运动”）、度量几何（大致对应“图形的测量”）、坐标几何（大致对应“图形与位置”）和演绎几何（大致对应推理与证明的相应内容）。学生需要认识的所有几何图形及其变换都是连点成线、线动成面、面动成体的事情。既然如此，在正式开始从数学的意义上来学习几何时，当然应该让学生积累连点成线形成几何图形的经验。此外，让学生进一步感受到所有线段都是连接两点得到的，也为后面的高的学习作好铺垫。

三、三角形的高到底是怎么作出来的？

首先指出一点，有老师认为三角形的高的教学并不重要，因为作高似乎只是单纯的技能学习，只需要在计算三角形面积时介绍高在哪里就可以了。笔者认为，这样的认识是不够全面的。事实上，三角形的高绝不只是在计算面积时才有用，要把高看作确定三角形特性的重要要素之一。譬如，我们在描述一个四边形时，采用的形容词往往是“大”或“小”，而在描述一个三角形时，所用的形容词往往是“高”或“矮”（如下面所举的帐篷的例子），这就说明高在描述三角形的特性时是有重要作用的。从数学上进行分析，由于三角形一边上的高线的唯一性，如果给定了对应的底和确定位置的高，这个三角形就可以被唯一地确定下来。而在四边形中，只有当有一组对边平行时，才有高的概念，而且并不唯一，仅给定底边和确定位置的高，平行四边形或梯形并不能确定下来。如果是多于五条边的多边形，一般不再讨论高的概念。

此外，还需要先明白一件事情，我们平时在讨论几何图形的高时，其实是有两个不同层面的意义的——高线与高度。很显然，高线是一条线段，高度则是高线的度量值。比如，我们常说，平行四边形有无数条高，这里的“高”指的是高线，是具体能够画出的垂直于平行四边形一对边的线段，这样的线段可以作出无数条。但这无数条高线有一个共同点，即它们的长度是一致的，也就是说，平行四边形的高度（当然，这里是指同一组对边之间）只有一个。我们在给学生讲平行四边形有无数条高线时，其实更应该强调高度只有一个，而平行四边形之所以有无数条高线，是因为能作出的代表同一高度的高线有无数条。这样的认识对于以后等积变换的学习无疑是有帮助的。

现在回到三角形上来，三角形的高线到底是怎么作出来的？相信很多老师都会觉得这是一个再简单不过的问题：要作三角形的高线，就是要使三角板中直角的一边与底边重合，平移三角板，使直角的另一边过相应的顶点，从顶点作一条线到底边，作出来的这条线就是这个三角形的高线。但是，请仔细思考一下，这样作三角形的高线的方法是正确的吗？请注意本文上面提到的一句话：任何线段一定是通过连接两点得到的。那么请问：在刚才这个作三角形高线的过程中连接两点了吗？显然没有。所以，真正作高的方法应该是这样的：使三角板中直角的一边与底边重合，平移三角板，使直角的另一边过相应的顶点，确定该边与底边的交点，也就是垂足，然后用直尺连接顶点与垂足。

请千万不要小看这个细微的差别，教材中是这样说的：“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。”[1]现在是否理解了文章开头所提问题的意思？上位数学知识是什么？在教材里是怎么体现的？

到这里还没完，有了这样的认识，怎么转化为我们的教学行为呢？既然高线也是连接两点而成的线段，这两个点分别是顶点和垂足，那么我们的教学是不是应该让学生先找到这两个点？先看顶点，我们可以尝试这样的设计：有三个帐篷，从正面看到的形状如图1所示，哪个帐篷是最合适的？

图1

学生一定会说是中间这个，因为左边的太矮了，右边的太高了。那么，为什么说太高了？什么可以代表三角形的高？该怎么找到三角形的高？学生可能会用各种不同的方法来找高，如图2中的这些线段，显然这些“高”的长度不一样，原因就在于上面的这个点一直在移动，但如前所述，三角形的高度（底边确定的情况下）应该是唯一的，因此我们需要把上面的这个点确定下来。至此，学生应该容易想到三角形的高应该从顶点开始作。

然后是第二个点的寻找。从顶点开始往下作图，仍有可能出现很多不同的“高”（如图3），还是沿着高度唯一这个思路，在底边上找到垂足，应该也是自然的事情（在这个过程中，如果能合理运用信息技术手段，效果会更好。如用几何画板，从顶点作线段到底边上，移动底边上的点，可以显示出不同的线段，长度各不相同，而连接顶点与垂足的线段是最特殊的）。

图2

图3

通过以上过程，找到三角形的高线是自然的，就是找到两个确定的点，使得高度唯一确定下来。经历了这样的过程，对学生来说，三角形的高就是自己思考后逐步找出的，而不是直接给出的，更不是凭空得到的，而且，能更好地帮助学生理解高的含义。但是，如果学生不理解高的含义，可能就需要机械地记忆定义，从而只能用文字去对照所画的线段是不是高了。

四、对小学数学教学有什么指导意义？

我们再来简单总结一下，本文开头提出的四个有关目标设定的问题对于一节数学课的设计与实施的指导意义。

首先，对上位知识的深入思考，有助于抓住教学的本质。关注学生需要发展什么，教学的设计才更有意义。如分析本节课三角形的定义后，知道连接两点才能得到线段，进而形成三角形，而连点成线是学生今后学习几何的关键之一，这样使得课堂有了长远的眼光。

其次，关注相关知识的前后联系，对前置知识及本节课的增长点进行分析，才能清楚这节课的大方向应该在哪里，使得课堂的引入简洁、明了，直达核心目标，也可以节省课堂教学的时间，将着力点放在重点知识的教学上。

再次，通过对《课标》与教材的深入解读，真正弄清了作高其实也是连接两点的事情，从而知道教学的关键应该在于找到两个点。找到两个点的过程可以体现由静到动，让学生感受万变中找到不变的几何的精髓。有了这样的认识，学生作高时出现的千奇百怪的错误也就很容易找到症结了，那一定是在找这两个点时出现了问题。

最后，更进一步地，数学课应该是带有美感的，而美感应该给学生脑子里留下一些画面感。连点成线，高的两个点在三角形的边上运动直至确定下来，这样的画面是有可能长时间留在学生头脑里的。这样的数学课，除了落实知识，更重要的在于可能让学生回味一生。

[1]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学四年级下册[M].北京:人民教育出版社,2012.

[2]吴正宪,刘劲苓,刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社,2014.