测度微分方程的变差稳定性

李宝麟， 张珍珍

(西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070)

测度微分方程的变差稳定性

李宝麟， 张珍珍

(西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070)

利用广义常微分方程的稳定性理论,定义了测度微分方程变差稳定性和变差渐近稳定性概念,建立了测度微分方程的变差稳定性和变差渐近稳定性定理.

测度微分方程; 变差稳定; 变差渐近稳定; 广义常微分方程

Dx=f(t,x)+g(t,x)Du,

(1)

其中Dx、Du代表函数x和函数u的分布导数.如果u是有界变差函数,则Du为Lebesgue-Stieltjes测度,并且Du是u的不连续点对突然改变系统状态的影响.形如(1)式的方程叫作测度微分方程[1].测度微分方程(1)的解x(·)是有界变差函数,它的分布导数满足方程(1).W. W. Schmaedeke[1]对方程(1)的特殊情况进行了研究,其中g不依赖于x,即g(t,x)=g(t),并且为了在后面的分析中利用Riemann-Stieltjes积分的方法假设它是t的连续函数.

测度微分方程(包含更多抽象的测度微分方程见文献[2])已经被很多作者研究[1,3-5].测度泛函微分方程[6-7]代表了一类特殊的测度微分方程.时标上的泛函动力方程代表了一类特殊的测度泛函微分方程.近年来,这2类方程已经被大量地研究了.文献[8]已经给出了测度微分方程的一些性质.2013年,Meng G.等[9]从测度的连续依赖性角度研究了测度微分方程.M. Federson等[10]讨论了时滞型泛函微分方程的稳定性.T. Faria等[11]讨论了无限时滞的脉冲微分方程的稳定性.P. C. Das等[5]讨论了测度微分方程解的存在性和稳定性,不过他们讨论的是拟等度渐近稳定性和指数渐近稳定性.

测度微分方程是描述具有脉冲行为的微分系统,其解是不连续的有界变差函数.测度微分方程可以转化为广义常微分方程[12].文献[12]介绍了广义常微分方程的稳定性理论.本文利用广义常微分方程的稳定性理论,首次提出测度微分方程变差稳定和变差渐近稳定的概念,定义了测度微分方程变差稳定性和变差渐近稳定性,并建立了测度微分方程变差稳定性定理和变差渐近稳定性定理来讨论测度微分方程.

1 预备知识

‖f(s,x)-f(s,y)‖≤l1(s)ω1(‖x-y‖)

成立,其中ω1:[0,+∞)→R是连续增函数,且ω1(0)=0.

引理 1.1[8]一个函数x(·):[α,β]→Rn,[α,β]⊂[0,+∞)是测度微分方程(1)在区间[α,β]上通过(t0,x0)的一个解,当且仅当对t0,t∈[α,β]它满足积分方程

(2)

给定一个函数δ:[a,b]→(0,+∞).如果有[αi-1,αi]⊂[τi-δ(τi),τi+δ(τi)],i=1,2,…,k,区间[a,b]上的一个分划D:a=α0<α1<…<αk=b和标记τi∈[αi-1,αi]称为δ-精细分划.

定义 1.1[12]函数U:[a,b]×[a,b]→Rn+1在区间[a,b]上称为Kurzweil可积的,如果存在向量I∈Rn+1,对任意的ε>0,在区间[a,b]上存在正值函数δ,使得对区间[a,b]上的任何δ-精细分划D,都有

定义 1.2[12]G=[a,b]×Bd,G⊂Rn+1.假设F:G→Rn,函数x:[α,β]→Rn,如果(t,x)∈G在区间[α,β]⊂[a,b]对所有的t∈[α,β],s1,s2∈[α,β]有

则称函数x为广义常微分方程

(4)

的解.

定义 1.3[12]设函数F:G→Rn,如果F属于函数族R(G,h,ω),则对所有的(s1,x),(s2,x)∈G有

‖F(s2,x)-F(s1,x)‖≤|h(s2)-h(s1)|, (5)

且对所有的(s1,x),(s2,x),(s1,y),(s2,y)∈G有

‖F(s2,x)-F(s1,x)-F(s2,y)+F(s1,y)‖≤

ω(‖x-y‖)|h(s2)-h(s1)|,

(6)

其中h:[0,+∞)→R为不减函数,ω:[0,+∞)→R为连续的增函数且ω(0)=0.

(7)

存在不减函数h2:[a,b]→R,使得不等式

‖F2(t2,x)-F2(t1,x)‖≤|h2(t2)-h2(t1)|

和

‖F2(t2,x)-F(t1,x)-F(t2,y)+F(t1,y)‖≤
ω2(‖x-y‖)|h2(t2)-h2(t1)|

引理 1.4[12]一个函数x:[α,β]→Rn,[α,β]⊂[a,b]是测度微分方程(1)在区间[α,β]上的解,当且仅当x是广义常微分方程

(8)

在区间[α,β]上的解,且

定义 1.4 如果对于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得若y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(9)

对任意的t∈[t0,t1]有

‖y(t)‖<ε,

则称测度微分方程(1)的解x≡0是变差稳定的.

定义 1.5 如果存在δ0>0,并且对任意的ε>0有T=T(ε)≥0和γ=γ(ε)>0,使得若y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(10)

对任意的t∈[t0,t1]∩[t0+T(ε),+∞),且t0≥0时有

‖y(t)‖<ε,

则称测度微分方程(1)的解x≡0是变差吸引的.

定义 1.6 如果测度微分方程(1)的解x≡0既是变差稳定的又是变差吸引的,则称测度微分方程(1)的解x≡0是变差渐近稳定的.

引理 1.5[12]假设-∞0使得对于任意的η∈(0,δ(σ))，不等式

φ(σ+η)-φ(σ)≤ψ(σ+η)-ψ(σ)

(11)

成立,则对所有的t∈[a,b]有

φ(t)-φ(a)≤ψ(t)-ψ(a).

(12)

引理 1.6 假设V:[0,+∞)×Rn→R是使得对任意的x∈Rn,函数V(·,x):[0,+∞)→R在区间(0,+∞)上是左连续的,假设：

(i) 对(t,x),(t,y)∈[0,+∞)×Rn和常数K>0有

(13)

(ii) 存在一个实函数Φ:Rn→R,使得对于广义常微分方程(8)在区间[α,β]⊂[0,+∞)上的所有解x:(α,β)→Rn对于t∈(α,β)有

(14)

如果y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

(15)

2 主要结论

本章讨论测度微分方程(1)的变差稳定性和变差渐近稳定性.

(i) 存在一个连续递增实函数b:[0,+∞)→R使得b(ρ)=0当且仅当ρ=0;

V(t,x)≥b(‖x‖);

(16)

V(t,0)=0

(17)

和

‖V(t,x)-V(t,y)‖≤K‖x-y‖.

(18)

如果函数V(t,x(t))对测度微分方程(1)的任何一个解x(t)是不增函数,则(1)式的平凡解x≡0是变差稳定的.

证明 令

其中x∈Bd,t0,t∈[a,b].

由于m1(s)在区间[a,b]上是非负的,所以φ1(t)是区间[a,b]上的非减函数.

由于l1(s)在区间[a,b]上是非负的,所以ψ1(t)是区间[a,b]上的非减函数.

令h1(t)=φ1(t)+ψ1(t),可知函数F1属于函数族R(G,h1,ω1).类似的,令

有

由于m2(s)在区间[a,b]上是非负的,所以φ2(t)是区间[a,b]上的非减函数.

由于l2(s)在区间[a,b]上是非负的,所以ψ2(t)是区间[a,b]上的非减函数.令h2(t)=φ2(t)+ψ2(t),由上可知，函数F2属于函数族R(G,h2,ω2).

下面证明测度微分方程(1)的平凡解x≡0是变差稳定的.由于假设函数V(t,x(t))对测度微分方程(1)的任何一个解x:[α,β]→Rn是非增函数,即对广义常微分方程(8)的任何一个解x:[α,β]→Rn也成立,所以对t∈[α,β]有

下面证明在这种假设下定义1.4中的条件是满足的.给定ε>0,令y:[t0,t1]→Rn是区间[t0,t1]上的有界变差函数,并且在(t0,t1]上左连续.由于函数V满足引理1.6中的(14)式,其中Φ≡0.由(15)、(17)和(18)式,对于任意的t∈[t0,t1]可得

(20)

则由(20)式有

V(r,y(r))≤K‖y(t0)‖+Kδ(ε)≤
Kδ(ε)+Kδ(ε).

所以,当r∈[t0,t1]时可以得到

V(r,y(r))≤2Kδ(ε).

(21)

如果存在一个ξ∈[t0,t1],使得‖y(ξ)‖≥ε,则由(16)式可得

这与(21)式矛盾.因此,对所有的t∈[t0,t1]有‖y(t)‖<ε.由定义1.4可知测度微分方程(1)的解x≡0是变差稳定的.

(22)

成立,其中Φ:Rn→R是连续,Φ(0)=0;当x≠0时,Φ(x)>0.则测度微分方程(1)的平凡解x≡0是变差渐近稳定的.

证明 由(8)式,显然函数V(t,x(t))对测度微分方程(1)的任何一个解x:[α,β]→Rn是非增函数.因此,由定理2.1可知测度微分方程(1)的平凡解x≡0是变差稳定的.根据定义1.6,还需证明解是变差吸引的.

根据定义1.4测度微分方程(1)的平凡解x≡0变差稳定性的概念可知:存在一个δ0∈(0,d),使得若y:[t0,t1]→Rn是[t0,t1]上的有界变差函数,其中0≤t0

则对t∈[t0,t1]有‖y(t)‖

对任意的ε>0,由测度微分方程(1)的平凡解x≡0的变差稳定性知:存在一个δ(ε)>0,使得对任意的y:[t2,t3]→Rn是[t2,t3]上的有界变差函数,其中0≤t2

‖y(t0)‖<δ(ε),

(23)

且有

(24)

则对t∈[t2,t3]有

‖y(t)‖<ε.

(25)

M=sup{-Φ(x);γ(ε)≤‖x‖<ε}=
-inf{Φ(x);γ(ε)≤‖x‖<ε}<0,

并且假设y:[t0,t1]→Rn是[t0,t1]上的有界变差函数,其中0≤t0

(26)

假设T(ε)

因此

V(t0+T(ε),y(t0+T(ε)))≤
V(t0,y(t0))-Kδ0≤
K‖y(t0)‖-Kδ0

这与不等式

V(t0+T(ε),y(t0+T(ε)))≥
b(‖y(t0+T(ε))‖)≥b(γ(ε))>0

矛盾.因为(23)和(24)式成立,且当t1=t*或t1=t3时,(25)式也满足.所以必定存在一个t*∈[t0,t0+T(ε)],使得‖y(t*)‖<γ(ε).因此,对t>t0+T(ε)时有‖y(t)‖<ε.由于t*∈[t0,t0+T(ε)],因此测度微分方程(1)的解x≡0是变差渐近吸引的.所以由定义1.6可知:测度微分方程(1)的平凡解x≡0是变差渐近稳定的.

[1] SCHMAEDEKE W W. Optimal contral theory for nonlinear vector differential equations containing measures[J]. SIAM Control,1965,3(2):231-280.

[3] RAO M R M, RAO V S H. Stability of impulsively perturbed systems[J]. Bull Austral Math Soc,1977,16(1):99-110.

[4] PANDIT S G. Differential systems with impulsive perturbations[J]. J Pacific Math,1980,86(2):553-560.

[5] DAS P C, SHAMA R R. Existence and stability of measure differential equations[J]. Czech Math J,1972,22(97):145-158.

[6] FEDERSON M, MESQITA J G, SLAVK A. Measure functional differential equations and functional dynamic equations on time scales[J]. J Diff Eqns,2012,252(6):3816-3847.

[8] 徐远通. 泛函微分方程与测度微分方程[M]. 广州:中山大学出版社,1988:179-306.

[9] MENG G, ZHANG M. Dependence of solutions and eigenvalues of measure differential equations on measures[J]. J Diff Eqns,2013,254(5):2196-2232.

[10] FEDERSON M, SCHWABIK S. Stability for retarded functional differential equations[J]. Ukrainian Math J,2008,60(1):121-140.

[11] FARIA T, GADOTTI M C, OLIVEIRA J J. Stability results for impulsive functional differential equations with infinite delay[J]. Nonlinear Anal:TMA,2012,75(18):6570-6587.

[12] SCHMAEDEKE W W. Generalized Ordinary Differential Equations[M]. Singapore:World Scientific,1992.

[13] KELLEY W G, PETERSON A C. The Theory of Differential Equations[M]. 2nd ed. New York:Springer-Verlag,2010.

[14] SCHWABIK S, TVRDY M, VEJVODA O. Differential and Integral Equations:Boundary Value Problems Adjoints[M]. Berlin:Springer-Verlag,1979.

2010 MSC：30D35; 39A10; 39A12

(编辑 周 俊)

Variational Stability for Measure Differential Equations

LI Baolin, ZHANG Zhenzhen

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we define notions of variational stability and variational-asymptotically stability for measure differential equations and establish their theories by using the theory of stability for generalized ordinary differential equations.

measure differential equations; variational stability; variational-asymptotic stability; generalized ODE

2016-10-17

国家自然科学基金(11061031)

李宝麟(1963—),男,教授,主要从事微分方程应用的研究,E-mail:787535241@qq.com

O175.12

A

1001-8395(2017)03-0328-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.010