半线性椭圆方程Neumann问题的无穷多解

何 勇, 徐 博

(重庆科技学院 数理学院, 重庆 401331)

半线性椭圆方程Neumann问题的无穷多解

何 勇, 徐 博

(重庆科技学院 数理学院, 重庆 401331)

假设Neumann边值问题中非线性项是次线性的,利用Ekland变分原理,得到2列无穷多解.

Neumann问题; Ekland变分原理; 次线性; 振荡; 极小极大方法

1 引言和主要结果

考虑下述Neumann边值问题:

(1)

令非线性项f(x,t)是次线性的,即存在g∈Lr(Ω;R+),h∈Lq(Ω;R+)和α∈[0,1]使得

|f(x,t)|≤g(x)|t|α+h(x).

(2)

或者

定理 1 假设f(x,t)满足(2)式,进一步假设

(3)

且

(4)

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的极小极大型临界点,且当n→∞时，φ(un)→+∞;

推论 1 假设f(x,t)满足(2)式,进一步假设

(5)

且

(6)

则有:

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的极小极大型临界点,且当n→∞时,φ(un)→+∞;

注 1 文献[12]在解决2点边值问题时,考虑到了条件振荡,且假设非线性项是有界的.本文的定理1给出了关于Neumann边值问题的新的可解性条件.另一方面，存在泛函F(t,x)满足定理1的条件但不满足先前其它文献中的假设.例如:令α=1/2和

其中j∈L1(Ω;R).

2 定理的证明

令H1(Ω)为有如下等价范数的Soblev空间

‖u‖L2≤C‖u‖, ‖u‖Lp≤C‖u‖,

其中u∈H1(Ω).

定义H1(Ω)上的泛函φ如下:

其中u∈H1(Ω).在次线性条件(2)下,泛函φ连续可微且在H1(Ω)上弱下半连续,而且有

其中u,v∈H1(Ω).众所周知,当且仅当u是φ的临界点时，u∈H1(Ω)是问题(1)的解.

φ(u)→+∞.

证明 由条件(2)和Hölder不等式有

令ε=1/4C2,有

其中C2、C3和C4是正常数.由条件(4)和上述引理得证.

定理1的证明 令

并定义

因此,由cn≥M和引理2,对于较大的n,

对于这样的n,存在Sn上的序列(γk)使得当k→∞时

由文献[14]的定理4.3知:存在H1(Ω)中的序列vk,使得当k→∞时有

φ(vk)→cn,

dist(vk,γk([0，1]))→0,

φ′(vk)→0.

现在,证明vk在H1(Ω)是有界的.对于足够大的k有

且有wk∈γk([0，1])使得

‖vk-wk‖≤1.

此外

由此不等式和引理3有

因此得到定理1的(I)结论.

对于一个固定的n,定义H1(Ω)的子集Pn如下:

对于u∈Pn有

其中C8、C9和C10为正常数.从而得到φ在Pn中是有界的.

定义

令(uk)是Pn上的极小化序列,即当k→∞时,

φ(uk)→un.

由上述不等式知:(uk)在H1(Ω)上有界,故uk中至少存在一个子列是有界的，仍记为uk.假设

因为φ是弱下半连续的,所以

由引理2可得

定理1证毕.

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2010 MSC:35R10

(编辑 周 俊)

Infinitely Many Solutions of Neumann Problem for Semilinear Elliptic Equations

HE Yong, XU Bo

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofScienceandTechonology,Chongqing401331)

By applying Ekland’s variational principal, we get two sequences of solutions for the Neumann boundary value problem when the nonlinearity is sublinear.

Neumann problem; Ekeland’s variational principle; sublinear; oscillating; minimax methods

2016-05-13

重庆市教委科学技术研究项目(KJ1713339)

何 勇(1982—)，男，讲师，主要从事概率统计方向的研究,E-mail:heyongmath@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)03-0316-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.007