半群WD(n,r)的非群元秩和相关秩

罗永贵

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550001)

半群WD(n,r)的非群元秩和相关秩

罗永贵

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550001)

设自然数n≥3,RCDOn是有限链[n]上的正则保反序且压缩奇异变换半群.对任意的r(1≤r≤n-1),记WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r}为半群RCDOn的双边理想.通过对其非群元和格林关系的分析,分别获得了半群WD(n,r)的极小非群元生成集、非群元秩和非幂等元秩.进一步确定了当1≤l≤r时,半群WD(n,r)关于其理想WD(n,l)的相关秩.

保反序; 正则压缩; 奇异变换半群; 非群元秩和非幂等元秩; 相关秩

设S是半群,G是S的子群,A是S的一个非空子集,α,ε∈S.若G是S的真子群,对S的任意子群T,有G⊆T可推出G=T,则称G是S的极大子群.若存在S的一个极大子群G使得α∈G,则称α是S的一个群元素,否则称α是S的一个非群元素,S中所有群元素之集记为G(S).若ε2=εε=ε,则称ε是S的一个幂等元,否则称ε是S的一个非幂等元,A中所有幂等元之集记为E(A).易见,半群S中的幂等元一定是群元素但群元素不一定是幂等元,非群元素一定是非幂等元但非幂等元不一定非群元素.

通常一个有限半群S的秩定义为

rank(S)=min{|A|:A⊆S,〈A〉=S}.

如果S是由幂等元之集E(S)生成的,那么S的幂等元秩定义为

idrank(S)=min{|A|:A⊆E(S),〈A〉=S};

如果S是由非幂等元之集SE(S)生成的,那么S的非幂等元秩定义为

Nidrank(S)=min{|A|:A⊆(SE(S)),〈A〉=S};

如果S是由群元素之集G(S)生成的,那么S的群元秩定义为

Grank(S)=min{|A|:A⊆G(S),〈A〉=S};

如果S是由非群元素之集SG(S)生成的,那么S的非群元秩定义为

NGrank(S)=min{|A|:A⊆(SG(S)),〈A〉=S}.

半群S关于其子半群V的相关秩定义为

r(S,V)=min{|A|:A⊆S,A∩V=Ø,

〈A∪V〉=S}.

易见,半群S的幂等元秩一定是群元秩但群元秩不一定是幂等元秩,非群元秩一定是非幂等元秩但非幂等元秩不一定是非群元秩,rank(S)≤idrank(S),r(S,S)=0.

对于有限半群的秩、幂等元秩、非幂等元秩、群元秩、非群元秩及其相关秩的研究目前已有许多结果(如文献[1-10]).

设[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并赋予自然数的大小序.Tn与Sn分别表示[n]上的全变换半群和对称群,Singn=TnSn是[n]上的奇异变换半群.设α∈Singn,若对任意的x,y∈[n],x≤y推出xα≤yα,则称α是保序的.记On为[n]上的保序奇异变换半群.若对任意的x,y∈[n],x≤y推出xα≥yα,则称α是反序的.记Dn为[n]上的所有反序奇异变换构成的集合,令

DOn=On∪Dn.

显然,DOn是Singn的子半群,称为保反序有限奇异变换半群.设α∈DOn,若对任意的x,y∈[n],有

|xα-yα|≤|x-y|,

则称α是DOn的压缩元.令

CDOn={α∈DOn:(∀x,y∈[n]),

|xα-yα|≤|x-y|},

则称CDOn为[n]上的保反序且压缩奇异变换半群.设α∈CDOn,若存在β∈CDOn使得α=αβα,则称α是CDOn的正则元.令

RCDOn={α∈CDOn:∃β∈CDOnα=αβα},

易证RCDOn是半群CDOn的子半群.此时,称RCDOn为[n]上的正则保反序且压缩奇异变换半群.记

WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r},

1≤r≤n-1,

易见WD(n,r)是RCDOn的子半群,且对任意的α∈WD(n,r),β,γ∈RCDOn,均有

|Im(βαγ)|≤r,

即

βαγ∈WD(n,r),

因而WD(n,r)是RCDOn的双边理想.文献[1]获得了保反序有限奇异变换半群DOn的理想

LD(n,r)={α∈DOn:|Im(α)|≤r}

的秩及LD(n,r)关于其理想LD(n,l)的相关秩.文献[2]证明了保反序且压缩有限奇异变换半群CDOn的星理想

W(n,r)=WD(n,r)∩On

的秩和非群元秩及W(n,r)关于其理想W(n,l)的相关秩.本文考虑正则保反序且压缩奇异变换半群RCDOn的双边理想WD(n,r)的秩、非群元秩、非幂等元秩和相关秩,获得了如下结果.

定理 1 设r∈[1,n-1],则Jr是WD(n,r)的生成集,即WD(n,r)=〈Jr〉.

定理 2 设r∈[2,n-1],则

NGrank(WD(n,r))=Nidrank(WD(n,r))=

rank(WD(n,r))=n-r+1.

定理 3 设1≤l≤r≤n-1,则

r(WD(n,r),WD(n,l))=

1 预备知识

为叙述方便,引用Green-等价关系[11].不难验证,在半群WD(n,r)中L、R、J有如下刻划:对任意的α,β∈WD(n,r)有:

(α,β)∈L⟺Im(α)=Im(β),

(α,β)∈R⟺Ker(α)=Ker(β),

(α,β)∈J⟺|Im(α)|=|Im(β)|.

易见

L⊆J, R⊆J.

记

Jk={α∈WD(n,r):|Im(α)|=k},k∈[1,r].

显然J1,J2,…,Jr-1,Jr恰好是WD(n,r)的r个J-类,并且

WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r}=

不难验证RCDOn具有如下包含关系的双边理想链

WD(n,1)⊂WD(n,2)⊂WD(n,3)⊂…⊂

WD(n,n-2)⊂WD(n,n-1)=RCDOn.

对任意的m∈[n],若

minA≤m≤maxA

都有m∈A,则称A是[n]的凸子集.设x,y∈[n],x≤y,令

[x,y]={m∈[n]:x≤m≤y},

由保反序性和正则压缩性容易验证WD(n,r)中的元素α有如下表示:

对任意的a∈[1,n],则

易见

若k∈[2,r],r∈[2,n-1]且a,b∈[1,n-k+1],则:

或

Jk.

易见

且

文中要求n≥3.本文未定义的术语及符号参见文献[12-13].

2 定理的证明

为完成定理的证明需要如下引理与推论.

引理 1 J1⊆J2·J2.

证明 对任意的a∈[n]都有

以下分3种情形证明J1⊆J2·J2.

引理 2 设k∈[2,r-1]且r∈[2,n-1],则Jk⊆Jk+1·Jk+1·Jk+1·Jk+1.

情形 1 当b≥2且a=1时,

则δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

则σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 2 当b≥2且a>1时,

则δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

则σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 3 当b≤n-k且a+k-1=n时,

则δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

则σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 4 当b≤n-k且a+k-1

则δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

则σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

定理1的证明 由引理1和引理2可知,对任意的α∈WD(n,r)都可以表达成WD(n,r)的顶端J-类Jr中秩为r的若干元素的乘积或者α∈Jr.即,Jr是WD(n,r)的生成集,WD(n,r)=〈Jr〉.

引理 3 设r∈[2,n-1],则在Jr中存在基数为n-r+1的非群元素集合M,使得Jr⊆〈M〉.

证明 首先,构造Jr中基数为n-r+1的非群元素集合M.容易验证:

令M={α1,α2,α3,…,αi-1,αi,αi+1,…,αn-r-1,αn-r,αn-r+1},显然有

M⊂(Jr∩(W(n,r)G(W(n,r)))),

且这n-r+1个元素位于Jr中不同的L-类和不同的R-类.

其次,对任意的α∈Jr,验证α∈〈M〉,即

Jr⊆〈M〉.

以下分2种情形验证.

α=αiαi+1…αj-2αj-1,

当i=j>1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αn-rαn-r+1α1α2…αi-2αi-1,

当i=j=1时有

α=α1α2α3…αn-rαn-r+1α1α2α3…

αn-rαn-r+1,

当i>j>1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αn-rαn-r+1α1α2…αj-2αj-1,

当i>j=1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αi-1αiαi+1…αn-rαn-r+1.

α=αiαi+1…αj-2αj-1αjαj+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…

αi-1αiαi+1…αj-2αj-1,

当i=j>1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αi-2αi-1,

当i=j=1时有

α=α1α2α3…αn-rαn-r+1,

当i>j>1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-2αj-1,

当i>j=1时有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1.

由引理3可知,对任意的α∈Jr(2≤r≤n-1)可以表达为M中若干元素的乘积或α∈M,即

Jr⊆〈M〉.

再由定理1,知M是WD(n,r)的生成集,即

WD(n,r)=〈M〉,

其中M的定义见引理3的证明过程.注意到|M|=n-r+1.于是,可得:

推论 1 设r∈[2,n-1],则:

NGrank(WD(n,r))≤n-r+1,

且

rank(WD(n,r))≤n-r+1.

引理 4 设α,β∈WD(n,r),若(α,β)∈J且(α,αβ)∈J,则(αβ,β)∈L且(α,αβ)∈R.

证明 设α,β∈WD(n,r),若(α,β)∈J且(α,αβ)∈J,由Green-等价关系可知

|Im(α)|=|Im(β)|=|Im(αβ)|.

注意到Im(αβ)⊆Im(β),Ker(α)⊆Ker(αβ)与[n]的有限性知

Im(αβ)=Im(β), Ker(α)=Ker(αβ),

再由Green-等价关系可得

(αβ,β)∈L,

且

(α,αβ)∈R.

定理2的证明 由引理4可知WD(n,r)的任意一个生成集都必须覆盖Jr中每个L-类和R-类.注意到,当2≤r≤n-1时,Jr中共有n-r+1个L-类和n-r+1个R-类.进一步有

rank(WD(n,r))≥n-r+1,

且

NGrank(WD(n,r))≥n-r+1.

因此,结合推论1及其非群元秩一定是非幂等元秩,必有:M是WD(n,r)的非群元构成的极小生成集,且

NGrank(WD(n,r))=Nidrank(WD(n,r))=

rank(WD(n,r))=n-r+1.

定理3的证明 当l=r时,显然有

r(WD(n,r),WD(n,l))=0.

当1≤l

WD(n,r)=〈M〉,M∩WD(n,l)=Ø,

|M|=n-r+1.

再由相关秩的定义,可知

r(WD(n,r),WD(n,l))=n-r+1.

综合上述,证得

r(WD(n,r),WD(n,l))=

注 1 由引理1的证明可知

WD(n,1)=J1=E(J1).

于是,WD(n,1)不存在非群元秩.另一方面,注意到J1中有n个L-类和1个R-类,进而有

rank(WD(n,1))=idrank(WD(n,1))=

Grank(WD(n,1))=n.

[1] 罗永贵. 半群DOn中理想的秩和相关秩[J]. 吉林大学学报(理学版),2013,51(1):69-73.

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[11] GREEN J A. On the structure of semigroups[J]. Ann Math,1951,54(1):163-172.

[12] HOWIE J M. Fundamentals of Semigroup Theory[M]. Oxford:Oxford University Press,1995.

[13] GANYUSHKIN O, MAZORCHUK V. Classical Finite Transformation Semigroups[M]. London:Springer-Verlag,2009.

2010 MSC:20M20

(编辑 余 毅)

Non-group Rank and Relative Rank of the SemigroupWD(n,r)

LUO Yonggui

(CollegeofMathematicsScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang550001,Guizhou)

LetRCDOnbe the semigroup of all regular order-reversing and compressing singular transformations on a finite-chain [n] for eachn≥3, andWD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r} be the two-sided ideal of the semigroupRCDOnfor an arbitrary integerrsuch that 1≤r≤n-1. By analyzing the non-group elements and Green’s relations, we obtain the minimal non-group elements generating set, non-group rank and non-idempotent rank of the semigroupWD(n,r). Furthermore, the relative rank of the semigroupWD(n,r) with respect to itself idealWD(n,l) is determined for 1≤l≤r.

order-reversing; regular compression; singular transformation semigroup; non-group rank and non-idempotent rank; relative rank

2016-10-10

贵州省科学技术基金-贵州师范大学联合科技基金(黔科合LH字(2014)7056号)

罗永贵(1985—),男,讲师,主要从事半群代数理论的研究,E-mail:luoyonggui851010@hotmail.com

O

A

1001-8395(2017)03-0308-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.005