从一道题说起

广东省韶关市仁化县教育局教研室 凌卫文

从一道题说起

广东省韶关市仁化县教育局教研室 凌卫文

在五年级第二单元数学质量监测上出现了这样一题：

在长方体的展开图中，分别用“上”﹑“下”﹑“前”﹑“后”﹑“左”﹑“右”标明6个面。

老师们出现了三种解答意见，第一种：直观感知相邻三个面的大小关系，结合展开图解答为图1；第二种：根据生活拍照经验，认为这个长方体的“上面”看似面积比“前面”小，实际面积有可能比“前面”大，并提供了两张从不同位置拍摄同一长方体对象的照片作为例证（图4），他们认为正确答案应为图2；第三种：判断依据与第一种相同，不同的是他们认为这个展开图是沿着某些棱剪开后由内向外展开所得，答案应该为图3。正确的解答究竟是什么？要回答这个问题，需要弄明白以下两个问题。

图1

图2

图3

图4

一、数学教材上的长方体直观图是用什么方式得到的

通常，人们会采用斜二侧画法画长方体，就是从右上角往下看到的长方体的直观图的画法，每个夹角应是135°，90°及45°，看不见的部分用虚线表示。画图时，平行于x轴的线段（即长方体的长）仍平行于x′轴，长度不变；平行于y轴的线段（即长方体的宽）仍平行于有y′轴，但长度减半；z轴的线段（即长方体的高）的长度不变。为了便于小学生理解，数学教材中并没有严格执行“斜二侧画法”，在画长方体的宽的时候，仍然基本采用等值表达（如下图），也就是说，直观感知图形的各种度量关系与实际基本相符。

北师大版五年级下册数学教材P16图

人教版五年级数学下册教材P36图

拍照所得到的图形与直观图不在一个范畴，前者属于观察范畴，后者是绘图范畴，对图形的表示﹑刻画有着本质的差别。当观察者在高低不同的观察位置观察同一对象时，对象在其视觉中对应的范围大小也会不同。图4中右图的观察位置（或者说持机高度）显然比左图要高，因此长方体包装纸的上面看到的范围增大了许多，观察者便形成了“看似小的未必小”的认知经验。长方体直观图的画法比较特殊，它既能使平面内的空间图形富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系。原几何体中面积大的面，反映在直观图上面积也是大的；原几何体中线段短的，反映在直观图中也是短的（小学阶段更是如此）。线线﹑线面﹑面面之间的关系是确定的，不存在上述观察范畴的现象。持第二种意见的教师把“直观图”与“照片”等同起来，从观察的角度思考﹑解决作图范畴的问题，这是一种错误的认知。

二、长方体展开时有无方向限制

长方体展开图沿横﹑竖方向展开时，一个方向必定由4个长方形组成，而另一个方向必须是3个长方形。题中长方体的展开图显然是竖方向展开图。展开时由内向外展（里面的面朝上），还是由外向内展（外面的面朝上），是没有限制的。剪的方法一样，但展开方式不同，得到的展开图也不相同。如沿着图5有标记的棱剪开题中的长方体，竖方向由内向外展开，则得图6（即图3）；若由外向内展开，则得图7。比较两图，我们可以清楚地看到展开图的形状发生了变化，但展开图中面面之间的位置关系没有变化。如果沿着图8中有标记的棱剪开这个长方体，并由外向内展开，则得到的是图9（即图1）。展开图的形状与图6完全一样，但展开图前后面的位置却发生了变化（不同的剪法和展开方式也有可能导致其他两组相对的面的位置发生变化）。因此，图1﹑图3的解答都是正确的。

【反思与启发】

1.教师应努力提升自身的数学学科素养

审视三种意见的理由，持第二种意见的教师明显是学科专业素养的缺失。调研和测试表明，受学历教育数学课程内容局限性的影响，小学数学教师专业知识的缺失主要集中在教材新增内容上，如“统计与概率”﹑“投影与视图”﹑“图形变换”﹑“密铺”﹑“莫比乌斯带”﹑“立体图形直观图的绘图方法”等。大多数小学数学教师在自己的学习经历中对这些内容了解很少，甚至从来没有涉足过，再加上学生对这些知识存在着许多错误的认识，这就会导致课堂教学中学生提出错误认识时，教师难以做出合理的解释和对学生进行合理的组织与引导。因此，教师必须加强对这些知识的继续学习，不断扩展和更新自己的知识结构。

2.借助操作活动培养学生的空间观念

本题主要考查学生的空间想象能力，而培养学生空间想象能力的一个非常有效的方式是：学习和探究几何体及其展开图之间的相互转化。因此，教师要重视本单元《展开与折叠》教材的学习，加强实验操作，给学生提供充裕的动手操作的时间，带领学生经历“想象——操作验证——形成经验”的过程。如先让学生想象长（正）方体展开或折叠而成的样子，再通过实际操作验证想象结果，形成思维的记忆，发现展开图与长（正）方体的联系，建立几何体上的面与展开图上的面的对应关系，不断积累“做的经验”﹑“想象的经验”﹑“归纳总结活动结论的经验”，逐步培养学生的空间观念，提高几何思维水平。

3.试题命制要讲究科学性

命制试题时，要符合学生的认知规律，不能用有争议的题目。五年级的学生，空间观念尚在逐步建立阶段。这道题的答案不是唯一的，对于刚学习立体图形的学生来说开放度较大，学生要做出比较全面的思考，比较困难。建议在展开图中给定一个面（如图10），学生就能根据这个面在脑中快速展开立体图形，从而得到正确的答案。

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