圆的斜二测画法的直观图是何种椭圆？

李锦昱

引例 已知平面上的正△ABC的边长为2，则在斜二测画法下的直观图△A′B′C的面积为______.

在某刊物上看到一篇关于斜二测画法的文章，里面的一道例题构思巧妙，并且和上面的引例可以类比，只是感觉叙述和结论都有些不妥，先抄录原例题如下：

例 在平面直角坐标系xOy中用斜二测画法作出圆O：x²+y²=1的直观图是椭圆O′，试写出画法并求出所得椭圆的方程.

仔细研究上面的解答，会产生如下疑问：

①水平放置的圆在斜二测画法下的直观图是标准形式的椭圆吗？

②圆在斜二测画法下的直观图的方程该如何求？

先来看疑问①：上面的画法，来自于文[1]例2(用斜二测画法画水平放置的圆的直观图），不同之处仅仅是将圆的半径具体到1.从所画图形中可以看到，椭圆的短轴的顶点显然不是由圆上的直径端点C,D变化得到的，但由斜二测画法的规则可以知道，椭圆的最高(低）点必定是由圆的最高(低）点变化过来的！换句话说，椭圆的短轴一定是由圆的直径CD变化得到的，也就是说，在斜二测画法下，原来图形中相互垂直的两条直径AB,CD变成了直观图中椭圆的长轴与短轴(仍保持垂直），这显然是矛盾的！这一点，从所画出的直观图中D′,F′,H′的位置关系上也能明显看出不合理之处.

从上面的分析看，例题中直接给出“用斜二测画法作出圆O：x²+y²=1的直观图是椭圆O′作为已知条件是不太妥当的！

需要指出的是，文[2]已经将文[1]例2删去，改成“生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆.在实际画水平放置的圆的直观图时，我们常用如图1.2-11所示的椭圆模板.”而且，在椭圆模板上方和下方各给出一个注解：“立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆.”“画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取.用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感.”这两个注解较好地弥补了原来教材处理中存在的问题.这样，文[2]例3画法第(2）步中“选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面”就巧妙订正了文[1]例4画法第(2）步中“仿照例2画法，画出底面”这一明显的不足.

文[3]指出，“在立体几何中，通常用正等测画法画圆的直观图，圆的直观图是椭圆.由于画圆的直观图比较复杂，在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板.”并给出一个注解：“正等测画法的依据仍是平行投影的性质.不过，这时投射线和人的视线平行，并且投射线与投射面垂直.”“会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥的直观图.”教材的这种编写方式，既强调了旋转体与普通多面体直观图画法的不同，又介绍了正等测画法的知识，给学生进一步探究留下了很大的空间.

还需要指出的是，文[4]在讲解了斜二测画法的规则后，紧跟着给出“圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，水平放置的圆的直观图应该画成椭圆(图1-1-31）”，尽管教材已经对图1-1-31的椭圆进行了适当的旋转处理，感觉若能讲得更清楚些才更好！

相比较而言，文[5]在处理水平放置的圆的直观图时，先画出了圆内接正n边形的直观图，当n非常大时，平滑连接各顶点，可以近似得到圆的直观图.教材这样编写，一方面巩固了斜二测画法，另一方面也让学生体会到数学中常用的无限逼近(有限与无限）思想，不失为一种不错的处理方法.唯一不足之处是，这种近似处理的直观图与正等测画法的直观图在视觉上存在较大差异(前者画出的图形绕中心有小角度的旋转），且圆内接正n边形的直观图的一些顶点不在圆的直观图上(教材图示如此)，这需要在今后修订时加以改进.

综合上面分析，可知圆在斜二测画法下的直观图是椭圆，但不是我们习惯的标准方程的形式，且直观图的方程学生不容易求出(感觉似乎已经超出了学生学习范围）.涉及旋转体的直观图，尤其涉及到底面圆的直观图是椭圆，一定要讲清楚应利用正等测画法，以免误导广大师生，混淆了两种画法的区别.

参考文献

[1] 刘绍学主编.普通高中课程标准实验教科书数学②必修A版，人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.2004年5月第1版第13~15页.

[2] 刘绍学主编. 普通高中课程标准实验教科书数学②必修A版，人民教育出版社，课程教材研究所. 中学数学课程教材研究开发中心编著，2005年5月第2版第19~20页.

[3] 高存明主编.普通高中课程标准实验教科书数学②必修B版.人民教育出版社，课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心编著，2007年4月第2版第18~19页.

[4] 单墫主编. 普通高中课程标准实验教科书数学②必修.江苏教育出版社，2007年6月第3版第15页.

[5] 严士健、王尚志主编.普通高中课程标准实验教科书数学②必修.北京师范大学出版社，2007年5月第4版第8~9页.

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