或用面积或相似，道是无圆却有圆——对一道数学压轴题的思考

安徽省利辛中学 张亚明 从 劲

或用面积或相似，道是无圆却有圆
——对一道数学压轴题的思考

安徽省利辛中学 张亚明 从 劲

前几天，我县组织了一次九年级全县联考，从整张试卷来看，试题平稳，稳中有变。可能学生是第一次接触中考模拟测试，因此试卷得分率不高，尤其是最后一题得分率很低，全县平均得分为6.27分（满分14分），得分率为52.79%。基于此，笔者不揣简陋，对最后一道压轴题进行了一些思考，陈其陋见，以供交流。

一、试题呈现：

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫作△ABC的费马点。

图（1）

（2）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC=60°，求证：△ABP∽△BCP;

（3）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点。如图（2）。

图（2）

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点。

二、试题简解：

（1）是。

（2）∵点P为锐角三角形ABC的费马点，

∴∠APB=∠BPC=120°，

又∵∠ABP+∠PBC=60°，

∠PCB+∠PBC=180°-120°=60°，

∴∠ABP=∠PCB。

在△ABP与△BCP中，

∵∠APB=∠BPC，∠ABP=∠PCB，

∴△ABP∽△BCP（两角对应相等，两三角形相似）。

评析：压轴题一般要求“起点低、坡度缓”，但同时也应当具备区分性与选拔性，从而让不同层次的学生都能得到不同的收获，此题前两问难度不大，学生容易上手，不难解决。

（3） ①在△AEC与△ABD中，

由题意得AE=AB, ∠EAC=∠BAD, AC=AD,

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC=∠ABD=α, ∠ACE=∠ADB=β,

即在△PCD中，∠PCD=60°+β,∠PDC=60°-β，

∴∠CPD=180°-（60°+β）-（60°-β）=60°。

②∵∠DPC=60°，∴∠BPC=120°，

欲证P点为△ABC的费马点，只需证∠EPA或∠DPA等于60°即可。

解法一（面积相等）：

如图（3），由点A分别向EC、BD作垂线，垂足分别为F、G。

图（3）

∵△AEC≌△ABD，

∴AF=AG（全等三角形对应边上的高相等） ，

∴PA为∠EPD的平分线

∴∠EPA=∠DPA=60°。

评析：欲证∠EPA=∠DPA=60°，只需证PA为∠EPD的角平分线，由此很自然地想到了角平分线的判定，即作出点A到角两边的距离，如何去说明AE=AG呢？利用的则是全等三角形对应边上的高相等。此解法自然天成，由结论到已知，逐层推理，“顺藤摸瓜”，始终有那么一根线，让学生有“路”可走，有“法”可依，不失为一种较为实用、有效、自然的方法。

解法二（两证相似）：

如图（4），∵∠CPD=∠CAD=60°，∠CNP=∠DNA，

∴△NAD∽△NPC，

又∵∠PNA=∠CND，

∴△NPA∽△NDC，

∴∠APN=∠DCA=60°。

图（4）

评析：好东西都是有余味的，好题目亦是如此。笔者在本题的讲解过程中就发现本题的背后藏有别样的精彩，彰显了命题者的独具匠心。在讲题过程中，有的学生会想到A、P、C、D四点是否共圆的问题（图（5）），这让笔者颇为惊讶，惊叹于该生良好的数学思维能力。笔者和学生一起通过几何画板的演示，发现四点确实共圆，那么他们之间存在着一个怎么样的关系呢？这种关系对于我们解决本题又有着怎样的帮助呢？这是咱们在教学中需要注意的问题。

图（5）

三、教学思考

1.在解题教学中，引导学生分析始终是解题教学中的关键一环，平时在解题教学中我们应当多问自己一些类似这样的问题：“由已知条件你能得到哪些内容？”“你还能得到哪些内容？”“哪些条件我们还没有用到？”“要得到这个结论，需要什么样的条件？”“这一个图形中蕴含着哪一种咱们熟悉的数学模型？”而这些问题往往就是解决这些问题所必需的。

2.数学核心素养提到了数学建模，具体落实在解题教学中，就是让学生学会从复杂图形中抽象出具体的数学模型的能力，这一点在今后的教学中具有一定的指导意义。以本题为例，如图（6），学生若能在相交弦这样一个基本的模型之中进行发散、拓展，就能够一眼看到那隐藏在试题背后若隐若现的圆，则很容易能在短时间内发现△NAD∽△NPC与△NPA∽△NDC，这本身就是从复杂的图形中抽象出“几何模型”，就是在构建模型并在解题中加以应用。

图（6）

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