2.2 完全垄断厂商利润函数
定义1假设第i(i=1,…,N)个厂商完全垄断电力市场,称此时发电商商i(i=1,2)的利润与其电价pi之间的数量关系为发电商i(i=1,2)的利润函数,记为Πi(pi)|ki,si,ei,以下在不引起歧义的情况下简写为Πi(pi)。假定发电商i(i=1,2)的支付函数为其获得的预期利润。
(3)
最大垄断利润的一阶条件为:
(4)
根据(3),设零利润价格为p#i(i=1,2),即:
Πi(pi)=0
(5)
因此根据(6)可知,发电商i的零利润价格为:
(6)
根据(3),为保证发电商在完全垄断时的利润为正,需要假定:
(7)
因此,根据(7),(6)式有意义。记:
i=1,2
(8)
2.3 最优反应
以下考虑对称双寡头模型,即假定
k1=k2=k,s1=s2=s,e1=e2=e
由于纳什均衡是参与人最优反应函数的交集[12]。本节先构建发电商的最优反应函数。
给定发电商2的纯策略即价格p2,发电商1的最优反应是发电商1的最优价格。最优反应函数一般是集值函数,即可能有多个最优价格,它们构成一个最优反应集(也可以是空集)。因此最优反应函数是一种映射或者集值函数。
下面将发电商2的策略(p2)分别置于不同的三个区间来求解发电商1的最优反应策略集。这三个区间分别为:
定理1
如果p2∈I1,发电商1的最优反应策略集为:
3)其他情形下,发电商1的最优反应策略是p1>p2。
证明见附录A。
定理2
如果p2∈I2,则发电商1的最优反应策略是p1=p2,当且仅当π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)。
证明见附录B。
定理3
2.4 纳什均衡
根据不同情形的最优反应函数交集,纳什均衡只可能是前面的两种情形,并且要求下面的条件成立:
2)π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2),p2∈I2
并且,如果要求均衡利润大于零,则在上述两种情形里面都进一步要求有
所有的纳什均衡都满足p1=p2。
证明见附录C。
由于所有的纳什均衡都满足p1=p2,即不可能存在单一厂商完全垄断市场的均衡。
记发电商完全垄断利润函数非负的价格区间为
D=[p#1s|2h,p#1b|2h]
在p2∈I1存在非负利润的均衡条件是:
I1∩D非空,即下面的条件成立:
根据(4)和(8),该条件为:
p2∈I2存在正利润的均衡条件是:
因为a-p2>0
(9)
是在p2∈I2存在正利润的充分必要条件。
根据(4)和(8),考察下面不等式成立的
可能性:
(10)
(10)是可能成立的。
如果h充分大(给定其他参数不变),(10)就成立。在这些场合,在p2∈I2存在正利润的均衡。这说明,存在使得(9)成立的条件。这样在p2∈I2就存在正利润的均衡。
继而,根据纳什均衡,对称双寡头发电商Bertrand模型纯策略均衡利润为非负和正数的条件可由定理4给出。
定理4 对称双寡头发电商Bertrand博弈仅当k=e=qic=0,i=1,2以外的情形,才可能存在正利润的, 如果存在正的均衡利润,带来正均衡利润的均衡必定是p1=p2∈I2的情形。且在p2∈I2存在正利润的充分必要条件为式(11)。
(11)
证明见附录D。
3 均衡状态的勒拿指数上限
考虑可能的均衡状态,均衡价格p1=p2=pN
qi∈[qs,qb],i=1,2
(12)
其中,式(12)表示发电市场中的安全不等式约束,包括机组的处理上下限、线路传输容量极限等约束条件[20-21],其中qs,qb为常数。
假设均衡价格满足下式:
pi∈[a-2hqb,a-2hqs]
(13)
根据(4)
此时I2的上限随着差价合约电量的上升而下降。因为I2的上限也正是所有纳什均衡价格的上限,因此存在抑制均衡价格的效应。
勒拿指数为
(12)
由于差价合约电量qic(i=1,2)的增加会导致均衡价格的上限下移,因此抑制均衡价格,从而也有抑制勒拿指数的效应。
由于可能存在多重纳什均衡,在这里分析勒拿指数的抑制效应只能够从这种意义上进行,因为难以判断由于差价合约电量qic(i=1,2)的增加如何影响均衡的移动。
4 算例
上节指出在对称双寡头发电商的电力市场中,在拓展Bertrand博弈纳什均衡中,每一个发电商的差价合约电量越大,其勒拿指数上限会下移,因而差价合约电量的增加有抑制市场力量的作用。为了更好地说明绝对量差价合约的市场力抑制作用,本节给出一个算例来验证这个结论。双寡头发电商的数据如表1所示。
表1 双寡头发电商的各个参数数据
根据(4)可知,可得到图1和图2。图1表示了均衡价格上限的移动,图2表示了勒拿指数的移动。其中,均衡价格单位为元/KWh,合约电量单位为KWh。由图1和图2可以看出,均衡价格上限与绝对量差价合约电量呈负相关关系,勒拿指数上限随着合约电量增加而下降。因此,上节的结论在这里得到了更好的说明,即在对称双寡头电力市场中,绝对量差价合约电量的增加会抑制发电商的均衡价格,进而抑制市场力。
图1 均衡价格上限与绝对量合约电量的关系图
图2 勒拿指数上限与绝对量合约电量的关系图
5 结语
本文通过将经典的Bertrand拓展到非常数 边际成本的二次幂函数情形,发现存在正均衡利润的可能性,并导出了出现正均衡利润的一个充分必要条件。然后运用该拓展Bertrand分析了相对电量差价合约对于发电商市场力量的抑制效应,发现相对电量差价合约存在对于发电商市场力的抑制效应,因为均衡价格存在区间的上限在相对电量差价合约电量增加时下降了,同时也导致勒拿指数分布区间下移。本文的研究限于对称双寡头博弈的情形,结论在非对称和多发电商的情形可以进行类似的推广,只不过在数学上更加复杂而已。
附录A定理1的证明:为得到p2∈I1时发电商1的最优反应策略集,需分情况讨论
时的完全垄断发电商的利润函数。
2)当p#1s|2h0,因此此时发电商1的最优反应策略是p1=p2。
3)当p2=p#1s|2h或者p2=p#1b|2h发电商1的最优反应策略是p1≥p2
其他情形发电商1的最优反应策略是p1>p2,证毕。
当p1>p2,发电商1的利润为零,也存在占优其的其他价格策略,所以不是最优策略。只有当p1=p2,π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)达到发电商1的最大利润,所以此时发电商1的最优反应策略是p1=p2,证毕。
附录C纳什均衡的证明:下面将发电商2的策略(p2)分别置于不同的三个区间来求解发电商1的最优反应策略集。这三个区间分别为:
其中Π1(p2)|2h表示需求曲线为p=a-2h(q1+q2)时的完全垄断发电商的利润函数。
其他情形发电商1的最优反应策略是p1>p2。
当p1>p2,发电商1的利润为零,也存在占优其的其他价格策略,所以不是最优策略。只有当p1=p2,π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)达到发电商1的最大利润,所以此时发电商1的最优反应策略是p1=p2。
纳什均衡是所有参与人的最优反应函数的交集。
此时,根据不同情形的最优反应函数交集如下:
1)p2∈I1,注意到此时发电商1的最优反应价格都满足p1≥p2,在对称条件下,显然一定有p1≤p2,所以有p1=p2,因此有前提条件:
p#1s|2h≤p2≤p#1b|2h
仅在该条件满足时才存在均衡。
2)p2∈I2,注意到此时如果有纳什均衡,则一定有
p1=p2
并且此时有
π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2)
附录D定理4的证明:
由于所有的纳什均衡都满足p1=p2,即不可能存在单一厂商完全垄断市场的均衡。
记发电商完全垄断利润函数非负的价格区间为
在p2∈I1存在非负利润的均衡条件是:
I1∩D非空,即下面的条件成立:
根据(4)和(8),该条件为:
p2∈I2存在正利润的均衡条件是:
因为a-p2>0
(13)
是在p2∈I2存在正利润的充分必要条件。
根据(4)和(8),考察下面不等式成立的可能性:
(14)
(14)是可能成立的。
如果h充分大(给定其他参数不变),(14)就成立。在这些场合,在p2∈I2存在正利润的均衡。这说明,存在使得(13)成立的条件。这样在p2∈I2就存在正利润的均衡。
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ABertrandModelbasedonContractsforDifferenceforInhibitingMarketPower
PUYong-jian,SUNXian-hua
(School of Economics and Business Administration, Chongqing University, Chongqing 400044, China)
In this paper, the market power inhibiting effects of contracts for differences are studied. Due to oligopolistic characters owned by the electricity market, it is of great importance to focus on methods that could help restricting the market power of generators. The contract for differences is considered an effective way to control market power according to former researches, but the model we propose has the following characters that make our research special and creative. First of all, it is based on Bertrand model, which is properly applied in the electricity market, without adding any exogenous factors suggesting the relationship between the bidding price and the electricity quantity. It provides conditions that guarantee positive profit of generators. Secondly, Lerner index is introduced to the model for assessing market power. The main parts of this paper include the Nash equilibrium of generators in an identical duopoly electricity market (which is gained by analyzing the best responses of each generator), the superior limit of both equilibrium price and Lerner index, the conditions to guarantee positive profit and illustration of identical duopoly electricity market by data simulation. Finally, the conclusion that the absolute electric quantity contract for difference has inhibiting effect on market power in an identical duopoly electricity market is drawn through the movement of the superior limit of Lerner index. This research provides a tool for other researches that consider using Bertrand model for analyzing contractual problems in electricity market, which is not often used in former researches due to the zero profit of classical Bertrand model, though it actually matches the electricity market.
contract for difference;Lerner index;electricity market;Bertrand game;market power
1003-207(2017)05-0109-07
10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.013
2015-07-13;
2015-12-22
重庆市“两江学者”计划专项经费资助项目; 重庆大学人文社科重点基地创新研究项目(106112015CDJSK02JD04)
蒲勇健(1961-), 男(汉族), 重庆渝中人,重庆大学经济与工商管理学院, 教授, 博士生导师, 研究方向:能源经济学、博弈论及数理经济学,E-mail:puyjan@sina.com.
F224.9
A