高中数学概念教学的思维视角

周芳芳

[摘 要] 从思维视角下研究高中数学概念教学，可以把握概念教学的本质. 因为数学概念本身就是抽象的结果，是数学思维的产物. 从思维视角下关注概念教学，应当从概念引入、概念构建、概念比较与概念应用四个环节来进行. 教师首先要建立思维研究的视角，然后在必要的情形下对学生进行引导. 强调思维视角并不忽视学生的数学体验，有效的思维往往是建立在有效的体验基础之上的.

[关键词] 高中数学；概念教学；思维

高中数学教学中，概念是以文字的形式出现在学生的面前的，而学生对数学概念的加工却是基于思维的. 因此，数学概念实际上是思维的产物，而在思维加工的过程中，其加工对象直接影响着概念的得出过程. 从这个角度讲，让学生加工什么样的对象，又决定了数学概念的形成过程具有什么样的意义. 通常情况下，数学概念的教学属于基础的层面，而并不属于直接面向数学评价尤其是数学考试的层面的内容，因此对于数学概念的构建的设计，往往都是基于教材而进行的. 这样的好处是学生的思维加工往往比较简单，数学概念就更加容易形成. 其不足就在于往往不能拓展数学概论的内涵，从而不能让数学概念的学习成为学生思维拓展与训练的更好场所. 因此，将概论教学纳入思维的视角之下，有助于学生数学思维更好地形成. 本文试对思维视角下的高中数学概念教学作一深入探讨，以求一些共鸣.

概念引入，有效打开学生的思维空间

概念引入的環节往往容易为教师所忽视，因为花费过多的时间并不会让学生更快地获得一个数学概念，这从传统的课堂容量与教学效率的角度来看，是不划算的. 但实际上，概念引入的过程如同老百姓种田时整理田地的过程，其虽然不直接促进种子的发芽，却为种子的发芽奠定了很好的基础. 同样的道理，概念的引入过程，就是这样的一个为概念构建提供基础，为学生的思维打开空间的过程.

在“椭圆”概念的教学中，学生的思维一般会经历这样的两个过程：一是学生根据生活的经验知道椭圆的基本形状，因此在描述椭圆的时候，往往是从“非圆”的角度进行的，但学生知道圆可以从“到定点的距离等于定值”的角度来描述，却不知道椭圆该如何描述；二是学生有可能会根据圆的定义去描述椭圆，但却无法具体、准确地确定椭圆的定义，因此需要教师提供新的素材，以让学生的思维去加工. 通常情况下，教师提供的素材，就是让学生直接或间接地去体验椭圆的形成过程，如让学生在两根固定的钉子上系上一根较长的绳子，然后用笔拉直这根绳子，以得到一个椭圆的图形. 有了这样的体验过程，学生对椭圆的描述往往就可以趋向准确定义.

尽管这样的教学过程比较常见，但却不意味着其中的价值已经被完全发现了，因为笔者注意到很少有对这样的教学过程进行思维角度分析的情况. 事实上，学生在这样的学习过程中，思维过程是值得研究的. 具体分析就可以发现，学生在此过程中经历的是体验之后形成概念的过程，这个过程相对于一般的教学过程而言，其有学生自己的体验，而这样的体验实际上也是思维的结果. 因为在体验两根固定的钉子拉直一根线的过程中，固定的钉子就可以迅速地抽象成“定点”，而拉直的线就可以抽象成“固定的距离”，这样的抽象过程，正是数学概念形成的重要途径. 试想一下，如果没有这样的过程，那学生的思维只可能是在教师的牵引之下，进行纯粹的、抽象的思维加工的过程，这对于从面的角度提高椭圆概念教学的有效性而言，是没有益处的.

因此，概念的形成过程要高度重视，这种重视不仅仅是教学素材上的重视，也应当是学生思维视角下的研究性的重视.

概念构建，关键在于把握数学本质

事实上，在概念形成的过程中，也是有值得研究的地方的. 就拿椭圆概念的构建过程来说，学生是不是意识到这种构建方式的数学意义，是一个重要的视角，因为这也关系到学生的思维. 准确地说，就是关系到学生能否将生活过程转换为数学过程，是否能够用数学语言来有效地描述数学体验甚至是生活体验.

每一个数学概念都是用数学语言来描述的，而每一个数学语言形成的过程，就是一个从形象到抽象的过程. 这种过程对于学生的数学思维来说是至关重要的，而在像椭圆这样的概念教学中，是可以让学生认识到这一层含义的. 椭圆的定义中有集合的思想，这是椭圆概念构建的前概念；也有数学抽象的思想，这也是椭圆概念构建的前概念. 在从前概念向现概念的转换过程中，学生的思维应当是从具象走向抽象的过程，如对学生自己的体验的抽象，就是将具体的操作过程演变为表象的过程. 可以肯定地说，当学生后来再看到椭圆的定义的时候，大脑里想的肯定不是那个曾经的体验过程，而是构建出来的极为抽象的到两个定点等于定值的点、线表象.

需要强调的是，在这个教学过程中，教师有必要跟学生强调数学语言描述下的数学概念的本质含义. 也就是说，要让学生明确地认识到，在数学学习的过程中必须经历一个从生活体验向数学体验进而向数学表达转换的过程，只有经历了这样的过程，才可以获得真正的对数学学习的理解，也才可能构建出能够让自己真正理解的数学概念与规律. 应当说高中学生是具有这样的思维基础的，也是能够认识到这种学习过程的重要性的. 事实证明，只要学生形成了这样的认识，其数学学习的结果就不会差. 反之，如果一直在生活与数学之间无法厘清，那其数学学习一定会比较迷茫，自然也就不会有什么很好的效果. 说白了，这就是对数学本质认识是否到位的问题，自然也就是一个思维问题.

概念比较，贵在运用求同求异的思维

在上面第一点的阐述中还有一个问题值得研究，那就是学生所经历的构建椭圆概念的两个过程，实际上也就是通常椭圆概念的形成过程. 从知识构建的角度来看，这已经完成了教学任务，但从学生的思维角度来看，实际上还给人一种意犹未尽的感觉. 因为比较圆与椭圆的定义，实际上可以发现两者的定义方式是一样的，只不过圆是相对于一个定点而言，而椭圆是相对于两个定点而言的. 这样的过程中既有相同的地方，也有不同的地方.

相同的地方是圆与椭圆定义方式的相似性，不同的地方是构建出来的图形的形状是不同的. 这种同中有异、异中有同的情形，实际上是高中数学教学中非常好的一种情形，可以培养学生的比较思维.

笔者在教学中尝试引导学生进行比较，而学生也总能相对顺利地发现圆与椭圆概念及其定义的异同. 这种比较有什么结果呢？笔者最大的认识就是发现其可以拓展学生的思维. 因为有一次在比较的过程中收获了一个极好的“意外”，这个意外就是学生在比较圆与椭圆的过程中提出了一个问题：在生活中看到的鸡蛋是不是也有一个定义？是不是也可以用椭圆的定義的方式给出一个定义？

这个问题在常规的思维之下可能只会在课堂上一笑了之，可是这一次在学生提出这个问题之后，笔者引导学生思考：你觉得鸡蛋的外形与椭圆有什么不同？学生自然也就很迅速地提出：椭圆是对称的，两端大小是相同的，而鸡蛋则是一头大一头小. 于是笔者紧紧抓住学生的这一认识，让学生通过这一特征去猜想鸡蛋外形所可能具有的定义方式，当然也跟学生强调可以从曲线方程的角度去猜想鸡蛋的方程.

这绝对是一个培养学生思维的过程，因为在比较的过程中，学生以能够紧紧扣着自己构建出来的鸡蛋平面图的表象，从非对称的角度去思考其可能的定义或方程. 而当学生根据椭圆方程去猜想鸡蛋的方程是不是可以在l1+l2=C的系数上作一些改动时，这已经是一种非常了不起的思维了，因为鸡蛋的方程确实也就是如此的. 反思这样的思考过程，可以发现其就是比较思维的求同求异的结果.

概念运用，强调数学情境有效刺激

概念的运用也是概念教学的一个重点，通常情况下概念的运用也只是一些简单的概念辨析或者是直接运用，其对思维的作用是有限的. 如果能够在一种情境的创设之下去促进学生的概念运用，那效果往往会好很多. 这一点其实同行并不是很陌生，笔者只想强调的一点就是：情境对概念的作用，应当体现在学生的迁移能力上. 即给出学生一种相对陌生的情境，让学生去尝试概念的运用，这往往能够培养学生的知识迁移能力，也是考查学生对概念是否真正理解的最好方法.

在这个过程中，有效的情境往往体现在其对学生已有数学知识的刺激上，即好的情境是可以刺激出学生的已有概念认知的. 如笔者在椭圆教学中给出al1+bl2=C（a不等于b且不为0）的方程并要求学生去猜想其形状时，学生的思维就能够被有效激活，但又寻找不到这样的原型，因此只能根据已有的知识去猜想、去推理，这实际上就很好地培养了学生的思维迁移能力.