妙用转化思想，巧解平面向量模长最值问题

陈波

摘 要：平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。查阅近几年来的高考试卷，发现向量与最值有关的问题每年都有考查。主要结合具体实例谈谈这类问题的常用解题策略与方法。

关键词：平面向量；转化思想；最值

平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。纵观最近几年的高考数学试卷，其中出现不少有关平面向量模长最值问题。由于这类问题一般以选择题或填空题的形式出现，大部分试题不以“图形”为载体，导致题目很抽象，学生往往很难入手。解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化。本文主要结合具体实例谈谈这类问题的常用解题策略与方法。

一、利用向量基本知识转化为函数最值问题

例1.（2013浙江理17题）设e1，e2为单位向量，非零向量■=xe1+ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为■，则■的最大值为 .

解：■=■=■

当x=0时，■=0

当x≠0时，

■=■=■

■=■

∵■∈R，∴■≤2

解题思路：借助向量的模長公式，使■转化成关于■的一个二次函数最值问题。

二、利用坐标进行转化，结合图形求向量最值

例2.如图，点M在扇形AOB的弧AB上且弧AM为弧AB的四分之一。动点C、D分别在OA、OB上，OC=BD。若|■|=1，∠AOB=120°，则|■|+|■|的最小值为______.

解：建如图所示坐标系

■

因为C、D分别在OA、OB上，

所以设■=λ■，则■=（1-λ）■

∴A（1，0），B（-■，■），C（λ，0），D（■，■），M=（■，■）

∴|■|=■

|■|=■=■

∴|■|+|■|=■+■

此时的问题可以转化成点（λ，0）到点（■，■）和（1，-1）间的距离之和，即|■|+|■|=■+■，

∴|■|+|■|≥■

∴|■|+|■|≥■∴|■|+|■|的最小值为■.

解题思路：本题通过建立平面坐标系得到关于向量模长的有关表达式，因为涉及两点距离公式，转化成动点到两定点距离最值问题，回归到通识通法上去解决问题。

三、转化成有关三角函数的式子，利用三角函数的有界性求最值

例3.（2010浙江卷）已知平面向量■，■（■≠0，■≠■）满足|■|=1，且■与■-■的夹角为120°，则|■|的取值范围是 。

解：令θ=（■，■-■），由正弦定理可知：■=■

∴|■|=■sinθ，又∵0<θ<120°，∴0

即0<|■|≤■

解题思路：本题主要考查向量模长及向量减法的几何意义，考查数形结合的数学思想，关键是利用正弦定理转化为三角函数，利用正弦函数的有界性来求最值。

四、利用基本不等式求向量模长的最值

例4.若向量■，■满足4■2+■■+■2=1，则|2■+■|的最大值为 。

解：4■2+■■+■2=1？圯（2■+■）2=1+3■■

∵■■=■·2■·■≤■（2■+■）2

∴（2■+■）2≤1+■（2■+■）2

∴（2■+■）2≤■？圯|2■+■|≤■（当且仅当2■=■时等号

成立）

平面向量模长最值的有关问题还有很多种形式，不需要一一掌握。只需要抓住向量模长的最值问题的命题意图：考查学生建模能力和求最值能力，若能从这两个方面多下工夫，一定能收获颇多。类似的方法和结论也可迁移到空间向量中。

参考文献：

[1]朱贤良，付朝华.平面向量巧搭台，“取值范围”唱好戏[J].数学教学研究，2014（6）.

[2]陈燕.多视角探寻平面向量最值问题[J].数学通讯，2014（4）.