高中数学习题教学的思考

薛雪华

习题教学是高中数学教学的重要课型.习题教学，不应仅关注于数学知识本身，还应该渗透数学思想方法.习题教学，要注重学生解题能力与创新能力的提高.如何提高学生解决数学问题的能力？

一、引导学生养成审视习题条件的习惯

良好的开始等于成功的一半.那么，良好的开始从何而来？良好的开始往往与学生的习惯高度相关.在习题教学中，教师应该引导学生养成审视习题条件的习惯.习题由题干和设问两个部分组成.有些学生之所以感觉数学难，是因为其在解决数学习题时，不能审视题干中给出的“条件”.很多时候，教师在习题教学中将出现这种情况的原因归咎为学生的数学基础知识不扎实.其实，学生的审题习惯和阅读理解能力很重要.

例如，给定正整数n（n≥3），集合Un={1，2，3，…，n}.如果存在集合A、B、C同时满足如下的三个条件：条件1：Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=φ；条件2：集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其他数）；条件3：集合A、B、C中各元素之和分别为SA、SB、SC，有SA=SB=SC.则称集合Un为可分集合.求：（1）已知Un为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A、B、C；（2）证明：若n是3的倍数，则Un为可分集合；（3）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值.对于这道题，教师应该引导学生从如下几个视角进行审题，审视题干中所给的条件.视角1：题目中给出了三个条件，其中的已知与未知的根本不同是什么？这里的逻辑关系是什么？三个条件，应该先满足哪一个或哪两个？这样认为的根据是什么？视角2：对于集合问题的处理，要弄清分析集合问题的几个维度，如元素关系，数量关系等.视角3：对于一个陌生问题的处理，我们可以从特殊到一般开始思考，选择一些特殊的集合来加深对新定义的认识和理解.通过上述思考，题干中所给的条件就清晰了.条件1和条件2属于定义性的条件，条件3反映了集合之间的数理关系.可以先使所要判断的集合满足条件1和2，接着再验证条件3是否满足.这样分析，学生的问题解答才能流畅.

二、通过变式演练来提高能力

学生的学习不可能一蹴而就，尤其是理科学科的學习，需要反复与变化，发散学生思维的同时内化认知，深化学生对数学概念和方法的理解.

例如，为了引导学生理解“分段函数”概念，教师可以设置如下习题，通过细微的变化设置任务，让学生感受和理解概念.变式任务1：已知函数y=x，y=1x，y=x2，请你以这三个函数为“原材料”构造分段函数.变式任务2：已知函数y=x，y=1x，y=-1x，y=x2，请你以这四个函数为“原材料”构造出单调递增的分段函数.变式任务3：已知函数y=x，y=-x，y=1x，y=-1x，y=x2，y=-x2，请你以这六个函数为“原材料”构造出具有奇偶性的分段函数.

设计意图：从变式任务1到任务3，原材料不断增加，继而不断地丰富分段函数的类型.在完成任务的过程中，学生有独立思考，也有与他人的合作交流，最终归纳出分段函数的各种性质、特点.

变式演练可以围绕一个数学概念展开，也可以在学生已经有了一种解题的方法和思维时，进一步变式演练，将学生的思维引向更全面、更严谨.

例如，在习题教学中，笔者和学生一起分析并解决了“2016年浙江理19”题（题略）后，接着进一步变式，通过对原命题的合理转化，提高学生对数学对象本质属性的掌握.变式1：以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F（-c，0）为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，求该椭圆离心率的取值范围.变式2：设F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点，若椭圆上一点P满足PF2=F1F2，以原点O为圆心，b为半径作圆与直线PF1之间存在公共点，求椭圆离心率的取值范围.

设计意图：通过这两个变式，学生可以进一步掌握与理解“不同位置下椭圆弦长的变化规律”，对于“求离心率问题的一般方法”有深刻理解.

三、师生互动纠错因

习题教学，不仅有例题和习题的呈现，还有学生问题的解答过程.为了提高学生解决问题的正确率，教师必须搞清楚是什么原因导致了学生的解题错误.学生出错的原因有很多.在习题教学中，教师与学生积极互动，能有效消除出错的病因.

例如，若x，y，z均为正实数，求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

错解：设u=xy+2yzx2+y2+z2=xy+2zy（xy）2+1+（zy）2，xy=a，zy=b，则a>0，b>0，u=a+2ba2+1+b2≤a+2b2ab+1.当且仅当a=b时取等号，所以u≤a+2b2ab+1=3a2a2+1=32a+1a≤322a·1a=322=324，当且仅当2a=1a，即a=22时取等号.综上，当a=b=22时取等号，此时x=y=22z，得xy+2yzx2+y2+z2的最大值为324.

学生为什么会出现这样的错误？笔者与学生交流后发现，有相当多做错的学生是想着“将3个变量尽可能减少为2个变量”.这样的错误，其实还是学生在解决问题的方法上出现了问题.在习题教学中，如果直接灌输正确的方法，学生的印象难以深刻，下次遇到还是会出错.在教学过程中，笔者放手让学生相互讨论、交流，让他们充分意识到问题所在.发现出错的原因：如果按照上面的方法，这样的操作有无数种，每一种都能保证等号成立.这样解答出来的结果就有无数种，显然是错的.究其原因，虽然两次使用基本不等式时的等号都能取到，但第一次使用基本不等式时的等号仅是保证该不等式中的等号成立，却并非使用基本不等式的“最佳搭配”方式，因此无法求出u的最大值.生成新的问题：最佳的搭配方式如何呢？这实际上是认识错误后，解题思路的再续，可以仍然回到错解.错解先考虑u=a+2ba2+1+b2中的a、b，没有考虑1，解题过程中分了两次运用基本不等式，应该将a、b、1三者同时变形，仅运用一次基本不等式完成问题的求解.

四、深挖教材中的习题资源

随着高考数学权重的增加，数学习题教学容易跳入题海，给学生“刷题”.教材是课程专家组集体智慧的结晶，提供给教师用之不竭的教学资源，而且教材是数学高考命题重要的素材资源.要想提高学生解决数学问题的能力，教师就要吃透教材，挖掘教材，发挥教材中例、习题的示范性作用，并在此基础上进行必要的拓展与延伸，挖掘题目中蕴涵的教学功能，并加以运用.

总之，在教学中研究习题，能够培养学生的学习兴趣，提高学生的解题能力.