中等难度函数题的解题切入点

[摘 要] 本文重点介绍了数形结合、分类讨论、等价转化、消元和换元等数学方法在解决函数问题时发挥的巨大作用，同时阐述了处理中等难度函数问题时如何找准思维突破口，从而达到破题的目的.

[关键词] 定义域；奇偶性；换元；数形结合

函数是高中数学的主干内容，与之相关的知识在高中数学中枝繁叶茂，几乎每一个模块都会涉及，没有函数的基础，在高中数学里必将举步维艰. 函数还是数学思想方法的良好载体，诸如数形结合、分类讨论、等价转化、消元和换元等数学方法在函数中都得到了很好的体现.由此造成函数问题综合性强，思维难度高，师生都深感棘手. 本文拟从以下几个方面探究中等难度函数问题的思维突破口，理清解题思路，总结其中规律，从而形成解决函数问题的一些常用解题切入点.

[?] 优先考察定义域

函数的定义域是函数的三要素之一，面对函数问题，优先考虑定义域是基本原则.有了定义域就有了研究的范围，有了较小的范围，就不必再在R上去大海捞针！

例1：已知定义在[-1，1]上的偶函数f（x）在[-1，0]上单调递增，若f（2x2）>f（x+1），则实数x的取值范围是_______.

解析：如果考虑运用偶函数f（x）在[-1，0]上单调递增，可以将条件f（2x2）>f（x+1），转化为f（-2x2）>f（-x+1），从而得到-1≤-x+1<-2x2≤0，即0≤2x2

如果定义域优先，可以解不等式组2x2≤1，

-1≤x+1≤1（这个工作早晚都是要做的），解得-≤x≤0，这样（*）式右侧的绝对值就自动去掉了，从而解出2x2

-，0

. 这里的定义域优先使得不需讨论即可去掉绝对值，从而减少了讨论过程.

从上例可知，函数的定义域不但是研究函数其他性质的基础，且有时对解决问题的方法会产生重要影响. 面对函数问题，第一要考虑其定义域，这一原则切不可忘.

[?] 主动试探奇偶性

有了函数的定义域后，如何研究函数的其他性质呢？在高中数学中，函数的单调性和奇偶性是教材重点给出的两个重要性质，许多问题都围绕这两者展开. 结合这两个性质的特点可知，面对一个陌生的函数，当我们已经有了函数的定义域且定义域关于原点对称（否则无奇偶性），我们应优先考察函数的奇偶性，再考察其单调性.

从形上观察，奇函数的图像关于原点成中心对称，偶函数的图像关于y轴成轴对称；从式中探求，当一个函数具有奇偶性时，知道其定义域内x处的函数值，即可确定-x处的函数值. 因此当我们发现了一个函数的奇偶性，关于该函数的一切问题都可转化为y轴一侧的问题，使研究的范围进一步缩小减半.

如上面的例1，已经明确函数是偶函数了，这就给我们研究问题提供了明显的思路：一是形的方面关于y轴的对称性，二是式的方面满足f（x）=f（-x）=f（x）=f（-x），从而形成上面的解法.

当题设条件没有明示函数的奇偶性时，我们也要朝着美好的方向去想，即该函数若具有奇偶性，那不就可以省一半事了吗？此时需要我们主动考察函数的奇偶性，将隐性转化为显性，从而使问题解决能够事半功倍.

例2：函数f（x）=log2（x≠0）的图像在第________象限.

解析：先求定义域可得：x∈（-1，0）∪（0，1），明显地，x∈（0，1）时，t的值大于1，从而f（x）为正，故y轴右侧的函数图像在第一象限，若能判断出函数f（x）为奇函数，则函数的图像在一、三象限，而f（x）为奇函数是显然的.

若令t=，画出它的图像，再根据对数的单调性等特点试探画出f（x）示意草图，则费时费力；再者，也有学生化t==-1，再根据x的取值范围求出t的取值范围，进而求出x不同范围时t的取值范围，这样将更加费时费力. 这就体现了主动研究函数的奇偶性带来的优越性.

例3：设函数f（x）=log

x，x>0，

log2（-x），x<0， 若f（m）>f（-m），则实数m的取值范围是________.

解析：此函数的定义域已经明确，那么想一下f（x）能有奇偶性吗？易判断其为奇函数，从而f（m）>f（-m）可以转化为f（m）>0，至此可以避免一切讨论，若能结合函数图像，更是一目了然.

由以上几例可知，获得函数的奇偶性，对作图和函数其余性质的研究都会带来方便.尽管单调性通常是我们解决函数问题最需要的性质，但在考察函数的单调性之前，先主动试探一下函数的奇偶性，或可使问题的解决事半功倍.

[?] 回归教材巧换元

“一次二次反比例，三角函数幂指对.”这两句话说的是中学数学教材（包括初中）要求学生掌握的常用基本初等函数，学生在遇到与此类函数相关的问题时，可直接利用教材所给的图像和性质解题. 高中数学涉及的函数尽管复杂多样，其构成形式无外乎两类：一类是由基本初等函数通过内外复合构成的新函数，一类是由基本初等函數通过四则混合运算构成新函数. 遇到这些复杂函数时，应整体观察函数解析式构成，对于复合式的函数，都可令内函数为新变元，回归教材基本初等函数；对于混合式的函数，导数是常用方法，但有时也可从解析式中发现新变元，换元化简后再求导会更简单.

例4：函数y=的值域为______.

解析：函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），易知其为奇函数，所以求它值域，只需先考虑x∈（0，+∞）的情形.

当x∈（0，+∞）时，令t=2x-1∈（0，+∞），得2x=t+1，代入得：

y==1+. 因为t∈（0，+∞），所以y∈（1，+∞），

由奇函数性质知原函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）.

本题解法以2x-1为整体换元，最终将原函数的值域转化为反比例函数的值域. 若令t=2x换元再代入，因为换元不彻底，最后所得函数便不如上法简洁.

例5：已知f（x）=，且f（1）=1，f（-2）=4.

（1） 求a，b的值；

（2）已知定点A（1，0），点P（x，y）是函数y=f（x）（x<-1）的图像上任意一点，求AP的最小值，并求此时点P的坐标.

解析：（1）a=2，b=1.

（2）由（1）知f（x）=，所以Px

，，建立目标函数AP2=（x-1）2+

，

其中x<-1.观察该函数解析式，直接通分较复杂，不如令t=x+1∈（-∞，0），将分母化简单后再处理.

于是AP2=（t-2）2+

=（t-2）2+

2-

=t2+-4

t+

+8，

观察式子特征，联系t2+和t+的关系，可知上式可以t+为整体再换元.

令u=t+∈（-∞，-2]，继续化AP2=u2-4u+4.

此时问题已经回归为一元二次函数的值域问题，不难解出当u=-2时，APmin=2+2，此时P点坐标为（-1-，2+）.

以上解法中用了二次换元，其目的都是为了让目标函数解析式足够简单，最终回归为基本初等函数. 当我们面临的函数解析式比较复杂时，若能细心观察解析式，优选出某一整体进行换元，即使换元后不能化为基本初等函数，也为接下来用导数研究其性质准备了相对简洁的形式. 否则，若能换元而不换元，直接求导将会费时费力，更有学生在求导后再去换元，极易发生错误.

[?] 及时变形定核心

有时题设所给函数的解析式比较复杂，直接研究其性质会比较困难或容易出错，尝试换元也不能化简，这时我们可以将函数的解析式加以变形，将函数的自变量集中在一起构造核心函数，达到去繁存简化难为易的目的.

例6：已知函数f（x）=，当f（x）=有两个不同的解时，则实数k的取值范围是________.

解析：函数的定义域为R， f（x）=1+，从而可轻易发现f（x）为偶函数，从而它的图像关于y轴对称. 当k≤1时，显见f（x）≤1，不合题意. 当k>1时，令g（x）=2x+1+，由g′（x）=

2x-

ln2=0得x=0，且在（-∞，0）上，g′（x）<0，g（x）递减；在（0，+∞）上，g′（x）>0，g（x）递增. 从而在（-∞，0）上，f（x）递增；在（0，+∞）上，f（x）递减. 考虑到g（x）≥g（0）=3，可知在（-∞，0）上，f（x）的值从小到大的变化范围是

1，1+

；在[0，+∞）上，f（x）的值从小到大的变化范围是

1，1+

. 故只要>?k>2. 综上，k的取值范围是（2，+∞）.

本题已知方程解的具体数目，一般要数形结合作图，而作图必须先研究函数的性质. 由于f（x）的解析式复杂，直接研究其奇偶性和单调性都很困难. 考虑到解析式是分式，在高中数学中，除了通分和分母有理化，换元法和部分分式法都是处理分式常用的变形手段. 以上解法先将分式分开，再将分子除下，发现核心函数g（x）=2x+1+，其奇偶性显然，单调性易求，原函数问题也因此得解.

注：本题也可去分母换元后转化为二次方程问题求解，或分离参数后求解.

例7：求函数f（x）=800-+，θ∈

0，

的最小值.

解析：f（x）=800-+=800+600

.

设g（θ）=，g′（θ）=，令g′（θ）=0得θ=，

当θ∈

0，

，g′（θ）<0，g（θ）单调递减；当θ∈

，

，g′（θ）>0，g（θ）单调递增.

所以g（θ）min=g

=，从而f（x）min=1400.

本题函数来源于一道模拟考试的应用题. 应用性问题因为来自生活实际，数据一般比较复杂，有些应用题的目标函数解析式更含有常数型字母，导致学生即使能顺利建模，也会因计算出错导致失分. 本题解法是流行的解法，即将函数自变量尽量集中，从原解析式中抽离核心函数，以后求导过程与周边数据无关，大大减少了计算中的出错率.

[?] 作图重视点和线

从以上论述可知，函数图像在函数问题的解决中有着举足轻重的作用. 即便在解答题的代数推理中，函数图像也往往是辅助思考的“幕后英雄”. 高中数学素有“有图像，有一切”的说法，当代数推理遇到困难时，尝试作图是必须具备的数学素养.

我们作出的函数图像通常是一条曲线，可看作无数多个点的集合.然而曲线只能反映直观的变化趋势，无数多个点也不可能逐一研究. 作图中必须重视曲线相关的一些关键直线如对称轴、切线、分段函数的分隔线、渐近线等，正是这些线给函数图像的复杂变化定下了“规矩”；对于图像上的点，要重视一些关键的点如零点、极点、定点、分段函数的联结点等，这些点往往是函数整体性质研究的关键“穴位”.

例8：若x+a+2x-a>3（a≠0）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析： 设f（x）=x+a+2x-a，虽然式中绝对值的两个零点-a和大小不确定，但我们可以整体想象一下f（x）的圖像，它被两条分隔线x=-a和x=分隔为三段. 无论这两条分隔线谁左谁右，易知最右边的一段函数图像是一条单调递增的射线，其起点A在右边的分隔线上；最左边的一段函数图像是一条单调递减的射线，其起点B在左边的分隔线上.因为原函数图像是连续的，在两条分隔线中间的图像显然是线段AB. 为使f（x）>3恒成立，只需f（x）的图像恒在直线y=3的上方，结合图像特征可知，只需两个联结点A和B都在直线y=3的上方即可. 于是原问题等价于f（-a）>3且f

>3，易解得a∈（-∞，2）∪（2，+∞）.

本题的常规解法需讨论-a和的大小，再分段研究f（x）的最小值，过程复杂冗长. 上述解法紧扣分段函数的分隔線和联结点，切中问题要害，遂使解法简洁明了.

例9：设a为常数，f（x）=（2x2-a2x+a）lnx的最小值为零，则a=________.

解析：设g（x）=lnx，φ（x）=2x2-a2x+a，则g（x）=lnx的零点为1，故1也是f（x）的零点，从而题设条件中的f（x）的最小值为零就可转化为f（x）≥0恒成立. 由于在（0，1）上g（x）<0，（1，+∞）上g（x）>0，从而在（0，1）上φ（x）≤0；（1，+∞）上φ（x）≥0，所以二次函数φ（x）=2x2-a2x+a的零点之一为1，且另一个零点必须小于或等于0. 由φ（1）=0，得a=2或a=-1，检验可知：a= -1符合条件.

对本例中涉及的两个函数g（x）=lnx和φ（x）=2x2-a2x+a而言，零点两侧两个函数的值要保持同号. 图1就是符合条件的函数的图像；图2是对应于a=2的被舍去的不符合题意的函数的图像.

[x][O][y][1]

本题若直接求最值或变量分离都是烦不堪言的，作图也呈现多种变化. 而上述解法特别关注零点及其两侧的函数值的情况，让原问题在复杂多变的图形中有了清晰的解决思路.

例10：已知函数f（x）=2x-1，x≤1，

，x>1， 当y=f（x）-m有两个零点时，实数m的取值范围是________.

解析：这个问题等价于函数y=f（x）与函数y=m图像有两个交点，如图3，y=-1是函数在x≤1部分图像的渐近线，y=0是函数在x>1部分图像的渐近线，由此可知0

对于有渐近线的函数，如指数函数、对数函数、反比例函数等，作图时一定要重视渐近线.渐近线规定了函数图像变化的边界，若忽视渐近线，极易对函数的定义域或值域做出错误判断.如上题，忽视渐近线将得到错误答案m<1.

综合以上论述，中等难度的函数问题尽管方法多样综合性强，但只要我们明察解析式特征，按一定规律找准解题切入点，便可理清解题思路，得到最终解法. 本文列举一些常见问题，尝试探究其中思维规律，其中必有不当之处，今后还将继续思考.