思维在探究中呈现素养在活动中发展

徐国锋

[摘 要] 在核心素养立意的课程体系即将实行的过程中，高考内容的改革也正在向着基础性与综合性的方向加快改革. 浙江省作为深化课程改革的实验区，这方面已经走在了全国的前列，在学考、高考中充分展示了通过考查学生分析、解决问题的能力从而体现学生核心素养的试题. 同时高三数学复习又离不开数学解题教学，由此笔者在发展学生核心素养的立意下设计了一堂双参数二次型函数的最值复习课. 通过学生亲身经历学习过程，设置问题引领学生探究习得，师生交流展示思维等学习方式提升学生的理性思维品质，以期在这样的高三复习解题教学模式下发展学生的核心素养.

[关键词] 核心素养；课堂实录；复习教学

随着教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》的发布，“核心素养”一词迅速成为中国教育界的“热门词汇”，即将启动的新课程也从“以能力立意的课程体系”转向“以素养立意的课程体系”. 作为一线教师，面对这样的深化课程改革，是否真的要另起炉灶才能落实发展学生的核心素养？正如王尚志教授所说：数学核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，它综合体现出对数学知识的理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟及对数学活动经验的积累，数学核心素养不能离开数学的学习、应用、创新，综合体现在“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的过程中，综合体现在“发现与提出问题、分析与解决问题”的过程中.[1]

由此可见，数学核心素养的培养其实质就是让学生经历基本的数学活动积累经验（数学建模），培养学生的理性思维（内在品质），并通过关键能力（数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力）进行外在表现.这是对传统的数学思想、方法的教学的继承和发展. 作为一线教师，课堂教学是与学生交流学习的主要阵地.我们只有在自己日常的教学中深入思考如何落实新理念的方法，在知识与方法的教学过程中寻找培养学生数学核心素养的有效途径，应该成为我们日常教学思考的出发点和归宿.

[?] 分析立意，准确定位教学

浙江省学考、高考试题中有很多二次型函数的综合试题，对学生来说难度较大. 主要是学生在解决这些数学问题时，不能理解题目的实质，生搬硬套地用纯代数二次函数含参讨论的方法进行解决，导致思维受阻，过程烦琐，消磨学生的学习兴趣.

学生产生上述现象主要是在学习中通过机械的记忆、模仿、练习来完成学习过程，表面上看是解题能力得到了提升，但在以素养立意的学高考中，面对新的情境学生缺乏分析问题、解决问题的思维能力. 基于这样的思考，笔者试从发展数学核心素养的角度设计复习课，通过课堂活动、主动探究、构建模型、合作交流等丰富学生的学习方式，引导学生以新的数学视角审视这些试题，揭示问题的本质，使学生在过程中感悟数学思想方法在问题解决中的应用，增强学生主动习得内化知识的能力，从而提升学生的数学思维，发展学生的核心素养.

[?] 扎实过程，活动中培养素养

1. 解法分析，追求灵活

例1（2014年1月浙江学考数学第34题）：设函数f（x）=x2-ax+b（a，b∈R）.

（1）略；

（2）若存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值.

分析：本题从函数形式看是一个基本的含参二次函数，学生感觉比较熟悉和亲切，但深入发现是双量词多变量问题，学生的难点有两个：①对于“存在”与“恒成立”这两个量词如何转化；②转化后最值如何求解.

笔者在课前将本题作为作业布置给学生，让学生课前思考解答，从上交情况来看，学生的解答主要有这样两种：

解法1：存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，即f（x）min≥2，

f（x）max≤6对x∈[0，b]成立，对称轴x=.

①当<0，即a<0时，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

②当>b，即a>2b时，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2.

③当0≤≤b，即0≤a≤2b时，

f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

，得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2.

点评：用这种解法的学生较多，也可以看出学生对“当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立”转化为求二次函数的最值是清楚的，同时对对称轴不定的二次函数在定区间上的最值求法是明确的. 关键是对存在实数a的转化有一定的困难. 这里就需要教师在课堂教学时对变量a的处理要到位.

笔者通过投影，展示這类学生的解答.

师：这类解答有一个共同的特点，就是对x∈[0，b]的恒成立问题进行了成功的转化，而且讨论步骤清楚，书写规范，非常好！那不能进一步解决问题的障碍在哪里呢？

生：我对存在实数a在这里不能像上面恒成立那样进行转化.

师：那我们一起来看第一种情况：当<0，即a<0时，f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

我想你对a<0及b≥2如此简洁的条件肯定不会再想转化了，那么对f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6可以从哪些角度来理解呢？

生：不等式！

师：很好，如果从不等式的角度审视，那么是以a还是以b作为主元呢？

生：当然以a作为主元啊，一次不等式解起来肯定比二次不等式方便啊！

师：这样的选择思维含量很高啊！那我们再来看a≥b-+1，如何知道这样的a是否存在？

生：一次不等式肯定有解的啊……

生：还有前提条件a<0，也就是不等式组b≥2，

a<0，

a≥

b-+1有解.

师：很好，也就是在两边“夹击”的情况下必须让a留有生存的空间啊！

由于y=b-+1在b≥2上单调递增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合.

然后请学生把本题解答完毕，笔者巡视，个别指导.

课堂教学是慢的艺术，教师必须舍得花时间让学生在做中悟，这样才能真正提高学生外显的能力和内涵的素养！

笔者巡视展示优秀的解答，同时给出答案：

①当<0，即a<0时，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6，

即b≥2，

a<0，

a≥

b-+1.

由于y=b-+1在b≥2上单调递增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合；

②当>b，即a>2b时，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2，

即b≤6，

a>2b，

a

③当0≤≤b，即0≤a≤2b时，f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

.

即可得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2，即b≤6，

a≥

b-+1，

0≤a≤

2，得b≤6，

b-+1≤a≤

2成立，所以b-+1≤2.

经过这样的转化，变成了求关于b的不等式

b-+12≤4（b-2），即b2++1-12+2b-≤4b-8，即b2+-2b--3≤0，即

b+2-2

b+

-15≤0.

由f

=-+b≥2得b≥2，于是2≤b+≤5，即b2-5b+6≤0，所以2≤b≤3. 当b=3时，b-+1≤a≤2，即a=2. 所以b的最大值为3，此时a=2.

对③的计算过程可找解答得较好的学生进行投影展示，教师对去根式的方法，换元成二次不等式进行求解的思路要分析到位，要鼓励学生敢于运算，這是培养学生数学运算素养的一个很好的契机.

师：上面我们从解不等式的角度转化了存在实数a的问题，使题目得以解决. 还有其他解法吗？

生：解法1其实是在恒成立转化的条件下，再解关于a的不等式，从函数形式来看，有点像参变量分离法，那么我们是不是可以先把a分离出来，再处理恒成立问题呢？

生：我昨天就是这样做的，但是没有完全解决这个问题.

师：那我们一起来看看问题出在哪里.（投影该同学的做法）

解法2：由x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，得2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立，即

x+max≤a≤

x+min.

师：我们一起来看，他前面转化的过程有什么需要完善的地方吗？

生：由于x∈[0，b]，因此当x=0时，不能直接分离，而且当x=0时，我们可以得到2≤b≤6的范围.

生：我昨天就是得不到这个范围，导致后面函数的单调性讨论得太复杂，有了这个条件，问题马上就能解决了.

师：现在你能把解题过程再完善一下吗？

学生在屏幕上直接展示：

存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，

①当x=0时，f（0）=b，所以2≤b≤6.

②当x∈（0，b]时，2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立.

由①中2≤b≤6，所以y=x+在x∈（0，b]上递增，ymax=b-+1. 当b=2时，y=x∈（0，b]；当b∈（2，6]时，y=x+且∈（0，b]，ymin=2. 综上，b-+1≤a≤2，后面同解法1，此处不再赘述.

点评：让学生经历分析问题、解决问题的过程，产生思维的碰撞，比直接听取答案讲解要高效的多. 同时，经过同学之间的相互交流、合作学习，相互之间取长补短，不断完善自己的思维品质，提升自己的能力和素养.

2. 动静分离，揭示本质

师：参变量分离法的实质是一种“动”与“静”的分离，比如x2-ax+3≥2对x∈[1，2]恒成立，经过参变量分离可得a≤x+对x∈[1，2]恒成立.

这里y=x+，x∈[1，2]是一个“静”态的函数，y=a是一条平行于x轴的“动”态的直线，只是这条直线过于特殊. （教师几何画板演示，让学生体会这种“动”与“静”的分离与结合）

像本题一样，题目中有两个参数时，是否也一定要分离成y=a这条特殊的直线呢？正是因为这样的分离x+≤a≤x+，导致了三个函数图像都是“动”态的，不能从图像上直观地看出结果，给解题造成了麻烦.

师：我们观察2≤x2-ax+b≤6，从“动”“静”分离的角度，你有什么想法吗？

生：（观察思考，恍然大悟）是不是也能看成二次函数与一次函数的结合？

师：请你跟大家分享一下你的想法！

生：由于这里有两个参数a，b，那是不是可以把这两个“动态”的因素让一个函数展示，即y=ax-b，另一个是“静态”的二次函数y=x2，分离之后可以得到x2-6≤ax-b≤x2-2对x∈[0，b]恒成立.

师：很好，你的数学眼光非常独到！对于这样的分离，你能从函数图像上解释它的含义吗？请大家画出图像进行思考.

笔者巡视，作个别指导，让学生体会这里的参数a，b的作用，会结合图像分析问题，选择有代表性的学生进行展示.

生：x2-6≤ax-b≤x2-2对x∈[0，b]恒成立，也就是说x∈[0，b]时直线y=ax-b夹在两个抛物线y=x2-6与y=x2-2之间.

师：由于a，b可以变化，直线如何运动？

师生共同讨论，几何画板动态演示，得到结论：从图像的角度看，就是以斜率为a，截距为-b的直线在x∈[0，b]上始终夹在抛物线y=x2-6与y=x2-2之间.

由直线y=ax-b与y轴的交点可知-6≤ -b≤-2，即2≤b≤6.

由图像可知，要求b的最大值即求A点横坐标的最大值.即y=ax-b与y=x2-2相切于点B，求此时y=ax-b与y=x2-6的相交点A的横坐标.

解法3：存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，即2≤x2-ax+b≤6，可得x2-6≤ax-b≤x2-2.

由图2可知，当直线y=ax-b与y=x2-2相切，联立y=x2-2，

y=ax-b得x2-ax+b-2=0，Δ=a2-4（b-2）=0，即a2=4（b-2）.

联立y=x2-6，

y=ax-b得x2-ax+b-6=0，得x=. 所以xA==b. 又a2=4（b-2），所以=，得a2-2a=0. 由图知a>0，所以a=2，此时b=3.

生：这个解答过程很美！

师：数学之美就蕴含在我们的思维之中！

点评：学生解决问题的思维不是凭空产生的，数学思维的发展也是有其基础的.通过课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、归纳的方法，将陌生问题转化为常见的、熟悉的问题是复习解题教学的常用策略.

比如学生对参变量分离法是熟悉的，但大部分学生对其的理解还不够灵活，这里就需要教师进行充分的引导，从学生熟悉的知识进行类比，让学生充分感悟其中的思想方法，从“动”与“静”的眼光审视这个问题.正如学生所说数学是美的，只有真正经历了这个过程，学生的数学眼光才会变得开阔，数学思维才会得到提升，进而使得数学素养得到发展.

3. 建立模型，内化习得

有了“动”“静”分离的观察眼光，我们再来看下面一题：

例2（浙江省2016年4月学业水平考试第18题）：设函数f（x）=

-ax-b（a，b∈R），若對任意的正实数a和实数b，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围是（ ）

A. （-∞，0] B.

-∞，

C. （-∞，1] D. （-∞，2]

齐：可以看成y=与y=ax+b的函数组合.

师：很好！那对题目中的量词如何进行转化？

生：存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，即f（x0）max≥m.

师：那对任意的正实数a和实数b又该如何转化呢？

生：我们求得的f（x0）max肯定是含有参数a，b的，比如f（x0）max=M也就是M≥m对任意的正实数a和实数b恒成立，也就是Mmin≥m.

师：很好！由于f（x0）max含变量a，b，不妨设f（x0）max=M（a，b）.

生：这个符号有些抽象，但这样理解还是可以的.

师：从数形结合的角度，f（x0）max=M（a，b）如何求解？

学生画图解题，笔者巡视指导，发现学生有一定的困难.

师：直线y=ax+b有两个动态因素，如果你觉得直接考虑有困难，是否可以先假定一个，让另一个变量发挥作用呢？

生：由于a>0已知，可以先画一条斜率为正的直线，再改变截距进行平移.

师：很好，那你能说说f（x）=

-ax-b在图像上表示的含义吗？

生：函数转变为f（x）=

-（ax+b），它表示的是取同一个自变量x时的函数值之差，在图像上表示的就是线段AC或BD的长度.

师：那也就是说M（a，b）=max{AC，BD}，那相对这条直线而言，什么情况下M（a，b）有最小值呢？（根据学生的图，用几何画板进行动态演示）

生：应该是AC=BD时可以取到最小值，要不然就是AC变大或BD变大.

师：观察能力非常强！其实这里还隐含了我们学过的两个不等式：max{f（x1），f（x2）}≥，min{f（x1），f（x2）}≤. 其实质是两个函数值中的最大值大于或等于他们的平均数；两个函数值中的最小值小于或等于他们的平均数. （有了模型再这样解释这两个不等式学生就更容易理解了）

师：对于确定的斜率a，M（a，b）min的求法已经解决，接下了我们可以调节斜率a了.

生：由于斜率a≥0，显然当a=0时，M（a，b）min=AC=BD=. 也就是m≤.

师：经历这个过程，再看看你对f（x）max=M（a，b）的理解有改变吗？同时我们也感觉到，只要能建立起数学模型，用数形结合的办法解决函数问题就是高效的.

师：我们再从数的角度来看看这道题目，由于a≥0，所以函数y=-ax-b单调递减，所以f（x0）max=M（a，b）=max{f（1），f（2）}=max{2-a-b，1-2a-b}≥.

再结合绝对值不等式可得≥=. 由于a≥0，所以f（x0）max=M（a，b）≥.

点评：对于新接触的数学知识、数学思想、数学方法要能转化为能力，外显在解决数学问题的过程中，必须要有内化的过程，使学生建立起数学模型. 只有经历了这样的学习过程，学生的数学思维才能得到锻炼，能力才能提升. 教师要善于抓住课堂生成的教学资源，通过学生的分析和解决鼓励学生进行积极探究，促进数学思维的提升. 本例通过学生建立的数学模型解决问题后教师再介绍代数方法的解答，使学生的数学思维更加严密，核心素养得到发展.

4. 应用模型，课后探究

师：通过上面两个题目的探究，我们对“动”“静”分离达成了共识，建立了数学模型，课后请大家进一步去解决下面这个问题：设函数f（x）=

-ax-b，a，b∈R. 若對任意实数a，b，总存在实数x0∈[0，4]使得不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围. （2015年1月浙江省学业水平考试第34题）

点评：学生的认知水平是层层递进、螺旋上升的，本题是在例2的基础上进一步的提升，相信通过前两个问题的解决后学生对这题是有探究的过程的，经过大家的思考和探究，后续交流、分享必定会十分精彩.

5. 课堂小结，感悟提升

师：今天我们通过几道学考题目复习了多变量函数最值问题的求法. 在解决的过程中，我们通过对参数在函数性质中的作用，树立了“动”“静”分离的意识，建立了一个利用数形结合解决问题的模型. 在这一过程中我们的数学眼光更加开阔了，探究兴趣更加浓厚了，数学思维得到了提升. 同时在解决问题的过程中将涉及的陌生的问题转化为熟悉的问题，形式化的代数问题转化为数形结合的直观问题，复杂的问题转化为简单的问题，这些解题方法和策略将会给我们的数学学习带来更多的启示.

点评：课堂小结最后起到提纲挈领的作用，让学生感受教师设计这节课的意图，从而回顾本节课经历的活动过程，使分析问题、解决问题的意识得到更进一步的提升.

[?] 课后反思，引领教学

《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确指出要深化高考考试内容改革的方向，“依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”.[2]作为对教学评价的高考试题，基础性和综合性应该是命题的方向. 浙江省作为深化课程改革的实验区在这方面已经走在了全国的前列，通过对上述几例双参数函数最值问题的探究，可以看出要求学生运用数学思维分析问题，灵活应用数学思想方法解决问题. 因此，高三复习解题教学通过学生亲身经历数学活动的过程，获得感性的认识和体验，提升理性的思维，从中获得数学意识、数学能力和数学素养.

作为一线教师，最主要的任务是在日常教学中帮助学生把具体的知识理解到位并能用于解决问题中，面对平凡的课堂教学在数学知识教学的过程中寻找发展学生数学核心素养的途径，应该成为每位教师的追求. 笔者以为，要做到发展学生数学核心素养的课堂，必须做好以下几个方面：

1. 深入探究，自我提升

打铁还需自身硬，在深化课程改革背景下的教学，教师必须进行深入学习课改理念来指导我们的教学. 同时要不断地深入研究教学内容，学习高考试题形成较高的研课、研题能力，揭示问题的本质. 只有不断地提升自身的专业素养，才能在课堂教学的设计中发现并培养学生数学核心素养的生长点；才能在课堂教学过程中有针对性地评价学生的数学思维，充分暴露自己的思维过程；才能让学生领悟到问题的本质，有助于学生掌握数学思想方法，提升理性思维的能力，最终发展学生的数学核心素养.

比如，在高三复习阶段的教辅用书使用过程中，有这样一道题：设函数f（x）=x2+px+q，（p，q∈R）. （1）略；（2）若不等式f（x）>2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）.

参考答案给出的是解复杂的不等式组的方法，甚至建议可以用线性规划的方式解得实数对（p，q）. 这显然是没有理解对这道题目. 本题应该是例1的一种特殊情况，笔者相信命题者应该是针对浙江省会考试题的一种改编. 将原题转化为f（x）≤2在区间[1，5]上恒成立，即-2-x2≤px+q≤2-x2. 如图4，直线夹在两个定抛物线之间，此时直线AB正好与下方抛物线相切，也就是y=px+q的方程即为直线AB的方程，问题得以解决.

如果教师自身没有进行深入的探究，对这种问题没有从本质上去加以分析探究，只按照教辅答案进行讲解，可想而知，要落实深化课改的理念只能是纸上谈兵.

2. 学生为本，自主习得

学生为主体、教师为主导的课堂教学理念应该坚持在日常教学中不折不扣地落实. 学生的学习过程其他任何人都无法代替，必须要由学生亲身经历并感悟获得. 教学过程不应只限于接受、记忆、模仿和反复练习，应该在教师的引导下进行自主探究、亲身实践、合作交流、思维呈现等丰富学生的数学学习方式. 同时在课堂上要及时展示学生的学习作品，相互激励并培养学生独立思考、自主学习、积极探究的数学学习习惯，将所学的知识内化为解决问题的思想和方法，提升思维发展素养.

3. 提升能力，发展素养

数学核心素养表现为外在的关键能力和内含的思维品质，同时学生的思维品质通过对学生分析问题、解决问题的考查得以体现. 因此，课堂教学必须要通过学生经历数学活动的过程，从中形成数学思想和能力.

数学思想方法的形成和能力的提升需要一个过程，这就需要教师在课堂教学时将用数学思想方法分析、解决问题的意识贯穿于教学之中，站在学科的高度关注知识的交汇，引导学生用数学的眼光观察、分析问题，用数学的思想方法解决问题. 将数学思维能力的培育渗透到平时的课堂教学之中，以数学知识为载体，培养学生的思维能力，最终发展学生的数学核心素养，为学生的终身发展奠定基础.

面对高考仍然作为教学评价的重要依据的深化课程改革，高三数学复习解题教学是必不可少的. 作为一线教师，让我们转变观念，重新审视复习解题教学的意义，在以发展数学核心素养的理念下设计教学，使学生在复习教学中以知识复习为载体，经历思考过程，积累活动经验，构建数学模型，形成思想方法，发展核心素养，完善思维品质，这样必将在新高考中收获成功.

参考文献：

[1] 王尚志. 如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J]. 中国教师，2016（5）上半月刊：33-38.

[2] 任子朝、陈昂. 加快高考内容改革增强基础性和综合性[J]. 数学通报，2016（6）：1-3.