三维Biot固结理论的一种张量形式有限元算法

张译心 左博文

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)



三维Biot固结理论的一种张量形式有限元算法

张译心 左博文

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)

基于Biot的假定，从连续介质力学的弹性方程开始，利用张量推导三维Biot本构方程，再根据Darcy定律推导出了控制方程，并对三维Biot问题控制方程进行空间离散和时间离散，给出空间有限元格式以及时间差分格式，便于后续计算机求解。

三维Biot，Darcy定律，有限元，数值计算

0 引言

Biot固结理论是岩土工程力学领域中的重要课题，是研究饱和土体的目前公认的流固耦合机理的理论基础。流固耦合分析是进行土工，特别是土与结构相互作用问题、开挖与填筑的施工过程的模拟等问题深入研究的主要途径与发展方向[1]。张量理论是解决建筑学和岩土力学的一个有力的数学工具。

自1941年，Biot[2]首次提出基于严格固结机理推导的能准确反映孔隙压力消散与土骨架变形之间耦合作用的真三维固结理论以后，许多学者对这些方程进行了研究，并利用该理论解决了大量的岩土工程问题。国内相关文献所介绍的Biot固结理论一般都属于Biot(1941)提出的形式，但是以张量形式推导的很少，更重要的是近年鲜有专门研究其有限元方程形式的文献。本文从连续介质力学的弹性方程开始，利用张量推导三维Biot本构方程和控制方程，为之后的计算机计算求解提供理论参考。

1 Biot本构模型

1.1 Biot本构模型基本假设

Biot本构模型基本假设为：

1)满足各向同性；2)σ—ε在固结完成时可逆；3)σ—ε满足线性关系；4)ε很小；5)水不可压缩；6)水中可以有气泡；7)满足Darcy定律。

1.2 平衡方程和几何方程

取一个微小的单元体，平均应力可以用σ应力张量表示，根据弹性力学，平衡方程可以表示为：

σij,j=0

(1)

我们可以把总应力分为两个部分，一部分由于固体弹性体产生，另一部分由于空隙水压力产生。

几何方程与弹性力学中完全一样，满足：

(2)

1.3 与水压力有关的项

平衡方程和几何方程完全与弹性力学相同。但是由于空隙中含有水，因此需要引入新的变量。要引入两个和空隙水压力有关的应力：σw为空隙水压力增加量；θ为单位体积土体中增加的水的体积。

现在假设所有的变形都能通过应力来确定，因此和变形有关的量为与应力有关的量的函数，即：

[ε,θ]=f(σ,σw)

(3)

1.4 固体部分本构

假设多孔介质的本构关系满足Hooke定律：

εij=Dijklσkl

(4)

其中，D为弹性系数，满足式(5)。

(5)

1.5 孔隙水压力相关项

因为各向同性的假设意味着对称，因此空隙水压力增加不改变剪切变形。再根据线弹性假设，扩展Hooke定律，得:

(6)

其中,θw,H分别为空隙水压力增量，与空隙水压力相关的物理常数。

除应力外，单位体积水的增量θ对于应力为线性关系。由各向同性假设，所有与切变有关的项均为0，得:

(7)

其中，θ,H1均为常数。

在推导过程中，有H=H1，其证明如下。假设土体存在势能U满足:

(8)

取一种特殊状态，假设σij=δijσ1，因此热能可以表示为:

(9)

其中,e,θ的含义定义如下：

(10)

联立式(10)可解出σ1,σw，再代入式(9)，可以将势能U用e,θ表示。

能量U分别对e和θ求偏导数以及二阶混合偏导数，根据与求导次序无关可得H=H1。因此式(7)可以简化为:

(11)

式(6)和式(11)为Biot本构方程的完全表达式，对函数求逆，则可以把应力用应变表示为:

(12)

其中，Cijkl为弹性刚度系数;α和Q均为常数，且有：

2 Biot本构控制方程

2.1 由受力平衡关系引起的控制方程

将Biot本构方程式(12)的第一项代入平衡方程式(1)，再利用几何方程式(2)，可以得到关于位移未知量u和空隙水应力增量σw之间的控制方程，如下：

(13)

2.2 由Darcy定律动力学引起的控制方程

假设水在多孔介质中的流动满足Darcy定律：

vi=-kσw,i

(14)

其中,vi为水在i方向的速度；k为渗透系数。

Biot本构模型的基本假设中，水是不可压缩的流体，因此连续性方程为：

(15)

将动力学方程式(14)代入连续方程式(15)中；再结合Biot本构方程式(12)的第二项和几何方程式(2)，则可以得到由Darcy定律产生的控制方程如下：

(16)

因此，式(15)和式(16)为Biot固结问题的控制方程，一共有4个方程，4个未知数ui,σw。

3 控制方程的有限元空间离散

3.1 控制方程的有限元全域积分弱形式

假设Ω为所要离散的空间，∂Ω为边界，则对于试探函数(权函数)w，要求满足控制方程的积分弱形式：

(17)

其中,wi,i=1,2,3;ww为权函数，上指标i不进行求和约定，只代表方程的序号。

3.2 控制方程的伽辽金法有限元空间离散

使用伽辽金法将整个积分区域Ω离散为∪Ωe。在任意单元Ωe内，未知变量ui,i=1,2,3,σw和权函数wi,i=1,2,3；ww通过插值函数NI离散，即：

(18)

其中,I为整体节点编号，(ui)I,(wi)I,(ww)I均为I节点处的值。

将方程(18)代入离散后的积分弱形式方程(17)，得方程如下：

(19)

其中,第一个方程指标i=1,2，3;J=1，2，3，…，N独立变化，可以产生3N个独立方程；第二个方程指标K可以独立变化，可以产生N个方程。总共产生4N个独立的，关于节点未知量的方程；每个节点也只有4个未知量，共4N个未知量，所以方程为4N阶线性方程组，可进行相应的数值计算。

3.3 向后隐式差分法时间离散

对方程式(17)中的第二个方程进行时间差分离散，有：

(20)

其中，Δt为时间间隔；上标n为第n时间步，除了含有时间差分的项有n-1步之外，其余的项全部为第n步。

4 结语

根据Biot的假定，从连续介质力学的弹性方程开始，逐步推导出了Biot本构方程。再根据Darcy定律推导出了控制方程。另外，本文对三维Biot问题控制方程进行空间离散和时间离散，给出空间有限元格式以及时间差分格式，便于后续计算机求解。但是不足之处在于本文没有给出Biot问题的边界条件，有待今后的进一步研究。

[1] 王成华,金小惠.比奥固结理论有限元方程形式及其应用分析[J].四川建筑,2002(2):69-70.

[2]BiotMA.GeneralTheoryofThree-DimensionalConsolidation[J].JournalofAppliedPhysics,1941,12(2):155-164.

On tensor form finite element arithmetic of three-dimension Biot consolidation theory

Zhang Yixin Zuo Bowen

(CollegeofCivilEngineering,NortheastForestryUniversity,Harbin150040,China)

Based on the assumption of Biot, the paper adopts the tensor form to deduce the three-dimension Biot constitutive equations from the elastic equation of continuum mechanics, deduces the governing equation according to Darcy law, and undertakes the time and spatial dispersion for the governing equation of three-dimension Biot, so as to provide the spatial finite element format and time integration, facilitate subsequent computer solution.

three-dimension Biot, Darcy law, finite element, numeric calculation

1009-6825(2017)09-0083-02

2017-01-14

张译心(1994- ),女，在读本科生； 左博文(1995- )，男，在读本科生

TU431

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