思想指明方向 技术助推前行——《正方体展开图》磨课历程

何月丰

【思考历程】

学生在学习了长方体和长方体的表面积之后，经常会碰到判断一个图形能不能围成正方体的题目。

最初教学这样的题，是“就题论题”式的，即碰到一次讲解一次。

可是，这样将教学目标最终归于“解题”的教学，学生对于正方体展开图的理解，虽然经历了直观操作，但最终还是靠记忆11种图式，与“图形与几何”内容教学的核心素养指向——空间观念的培养——相去甚远。

空间观念的形成与空间想象能力的培养有着密切的联系。在几何画板素材搜索中发现了关于正方体展开图的内容，这让我顿时豁然开朗。几何画板在进行正方体各个面展开与折叠时的动态演示，既具有直观性，又能引起学生一定的想象，可谓两全其美。

【教学实践】

一、引入展开图

1.初识展开图。

几何画板课件（以下简称课件”）呈现一个正方体，然后将其动画展开（如下图），直接揭示课题：这就是今天我们要学习的正方体展开图。

2.辨析展开图。

（1）将其中一个正方形变色（如下图），告诉学生把这个正方形作为原正方体的“后面”，请学生观察、想象另外几个正方形是原正方体的哪个面。

（2）在学生观察和想象之后，请学生上来点一点、说一说。

（3）课件演示折叠，验证学生观察、想象的结论。演示时提醒学生重点关注自己不确定的正方形。

二、研究“一四一型”展开图

1.三种展开图研究。

师：刚才我们已经认识了一幅正方体的展开图。老师这里还有一幅图（如下图），请你判断一下，这幅图是不是正方体的展开图。

学生先独立观察、想象、判断，在初步形成结论后，出示方位词（如下图），确定后面，然后请学生把其他方位词拖到相应的正方形上去，最后动态演示验证学生的判断。

简单判断另外两幅图：确定一个正方形为后面，想象另外几个正方形会是正方体的哪个面？

2.得出“一四一型”。

师：这是我们刚才研究的4幅正方体展开图，老师现在把它们放在一起。请你仔细观察一下，这4幅展开图除了都有6个面、每个面都是正方形之外，还有没有什么相同之处？

结合学生回答，给出名称：一四一型（三层，最上面一层1个正方形，中间一层4个正方形，最下面一层1个正方形）。

3.寻找不同的“一四一型”展开图。

师：我们现在已经发现了4种“一四一型”。老师有个疑问，难道“一四一型”的正方体展开图就只有大屏幕上的4种吗？还会不会有不一样的“一四一型”展开图呢？

师：都认为有。想一想，你觉得还有几种？

生1：我觉得还有3、4种吧。

生2：我觉得一共有16种，因为上面4个位置，下面4个位置，4×4是16种。

师：不仅说了数量，还说了道理，你的方法值得大家学习。那么，现在请大家仔细观察大屏幕已经有的4种，想一想还可能有怎样的“一四一型”？

情况一：与已知4种展开图中的一种对称（如下图，与已知2号对称）。

师：这是新的“一四一型”吗？生：是的。

情况二：是已知4种展开图中的一种通过旋转形成的。（如下图，是已知2号旋转180°得来）。同样在学生摆出之后，引导学生观察，再通过与课件中已知形状对比、想象，直观操作旋转，明确这样的图形看成是同一种。

情况三：摆出新的“一四一型”展开图。同样经历与已知4种观察对比再形成结论。（略）

4.研究“一四一型”六种展开图的联系。

通过学生不断尝试，发现“一四一型”展开图现在只能摆出6种不同的形状。

师：真的只有6种吗？我们能不能来证明一下呢？

在学生思考之后，老师与学生合作，通过有序摆一摆来验证：中间4个正方形不动，先把上面的1个正方形摆在第一个位置，然后依次移动下面的一个正方形，形成4种图式，每一种图式都与课件上的6种图式进行对比，记下编号。如此完成16种图式操作，发现去掉重复的，只有6种。

师：通过刚才有序移动，我们发现“一四一型”的正方体展开图只有6种。不知道你们有没有想过，为什么“一四一型”展开图，只要中间4个正方形不动，上面和下面的正方形不管摆在哪个位置，都能围成正方体？

生：“一四一型”中间是4个正方形，正好围成一圈，这样上面和下面的2个正方形就像两个盖子，不管放在哪里都能盖上去。

在学生操作解释的基础上，老师再与一个学生合作，理解“盖子”的道理，进而直观理解“一四一型”展开图都能围成正方体的道理。

三、研究“一三二型”展开图

1.质疑：正方体展开图难道就只有这“一四一型”吗？还有没有其他的阵型呢？

2.学生在方格纸上画其他阵型的展开图，并思考能否围成。

3.选取1幅“一三二型”进行展示。

（1）请学生把自己画出来的展开图摆在黑板上。

（2）一起思考这是不是新的阵型？能不能围成正方体？

（3）在学生想象、表达的基础上，通过课件直观动态演示验证（如下图）。

（4）得出名称：一三二型。

4.质疑：“一四一型”展开图有6种，那“一三二型”展开图到底有几种呢？

（1）移动上面的1个正方形，形成3种图式。

（2）思考：下面的两个正方形能不能移动？

通过学生观察、想象，知道出现“田”字型是不能围成正方体的（如下图）。

（3）明确“一三二型”有3种图式。

四、感知“三三型”和“二二二型”（机动）

1.展示学生所画的其他图形，通过与“一四一型”和“一三二型”对比判断是不是新的图式（有些只是90°旋转）。如果是新的图式，则通过想象判断能不能围成正方体。

2.结合展示找到“三三型”、“二二二型”，并通过几何画板的演示验证。