利用动作思维有意义地建构除法竖式——对《有余数除法竖式》教学的思考

周春芝

苏教版教材在二年级下册安排了有余数除法的内容，同时教学除法的竖式计算。这部分知识是在学生已经掌握了表内乘、除法的口算，以及用竖式计算两位数加法和减法的基础上教学的。教学时要引导学生联系操作过程来理解除法竖式中每部分的实际意义，并从中体会除法竖式结构的合理性，同时强化“余数要比除数小”的认知和理解。

在教学时我调整了教学顺序，同时紧密联系操作过程，让学生参与除法竖式的建构过程，取得了较好的教学效果。

现展示如下。

师：你能用圆片或小棒代替苹果分一分吗？

（学生操作学具）

学生汇报：每5个放一盘，就是5个一份，分成2份，还剩2个。

填写算式：12÷5＝ 2（盘）……2（个）

师：你能看着这道算式，说一说刚才是怎样分苹果的？结果是什么？

生：12个苹果，每5个放一盘，放了2盘，还剩2个。

师：没有分完，那分掉了多少个苹果？说一说你是怎么知道的。

生：10个。每盘放5个，放了2盘，想口诀“二五一十”。

师：能不能完整说一说分苹果的过程？

生：12个苹果，每盘放5个，放了2盘，分掉了10个苹果，还剩2个。

师：当有很多个苹果，你还愿意摆一摆、分一分吗？

生：不愿意，这样太麻烦了。

师：有一种方法能快速地知道平均分的结果，那就是用竖式来计算。

师：刚才通过分一分，知道还有剩余，没有正好分完。可以想成“12里面最多有（ ）个5”。因为12里面最多有2个5，所以商就是2。

师：你觉得商写在什么位置比较好？可以写在除数的左边，或者被除数的右边吗？

生：不行，如果写在除数的左边，别人以为除数是25；如果写在被除数的右边，别人以为被除数是122。

师：那写在哪里比较合适呢？请同学间商量一下。

生：我们可以学加法和减法的样子，在被除数下面先画一条横线，然后再写上商2。

师：同意吗？

生：（众）同意。

师：想一想，怎样求剩下的苹果？

生：用原来的苹果减去分掉的苹果。

师：竖式中能看出原来的苹果吗？如果能，是多少个？

生：能，有12个。

师：哦！原来被除数就表示原来苹果的个数。

师：那分掉的苹果是多少？竖式中有没有表示出来？

生：是10个，没有表示出来。

师：说一说分掉10个苹果是怎样计算出来的？

生：放了2盘，每盘5个，一共分掉了10个。

师：我们都知道要求剩下的苹果，应该用原来的苹果减去分掉的苹果。那这分掉的10个苹果写在竖式中的什么位置比较合适呢？请同学间再次讨论一下。

生：我们觉得10写在被除数12下面比较好。这样就可以用12减10等于2，这个2就是剩下的苹果，减法竖式计算中，就是被减数在上面，减数在下面。

生：可是被除数下面已经有商2了，再在下面写上10，不知道的人看了会误解的。

师：那如何解决这个矛盾呢？

生：我们只要把商2，写到被除数的上面，别人就不会误解了。

师：（故意把商2写在除号和被除数之间）是这样吗？

生：不是，是横线的上面。

师：你的意思是除号的上面吗？怎样对齐呢？

生：2对 12中的“2”。

师：理由是什么？

生：个位对个位。

师：下面算什么？

生：12减10，再画一条横线，右边写上减号，下面写2。

师：以后等熟练计算后，右边的减号可以省略不写。直接写成这样的格式，但是心中要明白最后是算减法。

师：请同学们看着这个竖式，说一说，可以看出分苹果的哪些信息？

生：原来有12个苹果，每5个放一盘，放了2盘，分掉了10个苹果，还剩2个。

师：竖式中10是怎样得到的？

生：二五一十。

师：意思就用商“2”乘除数“5”得到的，是吗？

生：是的。

师：看着竖式再说一说，刚才我们是先算什么，再算什么，最后算什么？

生：先想“12里面有（ ）个5”，再写商2，然后算 2乘5等于10，最后算12减10等于2。

……

【反思】

教材编写者先安排表内除法竖式，再教学有余数的除法竖式，其目的是遵循由易到难，分散难点，逐层突破的原则。编者认为表内除法的商与除法相乘的积刚好等于被除数，所求口诀中的积就是被除数，而有余数除法中商与除数的乘积小于被除数，其难度要大于前者，不利于知识难点的突破。根据笔者以往教学反馈情况来看，由于大部分学生不理解算理和除法竖式的特殊形式，错误地认为被除数是多少，下面的乘积也是多少，上下两个数应该相同，并把这种错误的认知推广至有余数除法的竖式计算中，甚至有部分学生认为求商和除数的乘积这步计算是多余的，因为当正好分完时被除数、除数和商已经把平均分苹果的结果准确、完整地表达出来了。如果先教学有余数的除法竖式，再放手让学生自主尝试解决表内除法的竖式计算，通过对比使学生清醒认识到如果没有分完，那么商和除数的乘积就小于被除数，只有正好分完的时候乘积才和被除数相同。而且正因为乘积小于被除数，最后相减后才有余数，而正好分完被除数和乘积相同，相减后得数为0，则说明没有余数。先教学有余数的竖式，有利于学生在注意力最集中的时候突破难点知识。

同时，要想让学生在有意义理解的基础上建构竖式计算的算理和算法，除了要引导学生把操作过程和计算步骤建立有机的联系外，至少还要让学生部分参与竖式结构的生成过程。让学生在讨论、碰撞、交流、协商中自主感悟、体验这种特殊结构的合理性和简洁性。上述案例中有余数除法竖式生成的过程不是一帆风顺的，而是学生在不断矛盾冲突中调整、完善、重构以至趋于合理和认同的过程。在这一过程中学生不是旁观者，而是主动参与者和商讨者，学生的主观能动性得到充分的发挥。由于竖式结构是全体成员共同协商和制定的智慧结晶，当然能被学生接受和悦纳，所以在下面的学习过程再也没有出现上述依葫芦画瓢的现象。

只有明晰了算理，明确了计算方法，才有助于学生计算能力的形成和提高。除法竖式计算规则，看似一种人为规定，然而这种规定背后隐藏某种必然的缘由，而教师需要做的就是引导学生挖掘并展现出其合理因素。本节课中除法竖式计算过程映射的生活原型就是学生分苹果的操作过程，只有学生理解这个竖式结构中每一部分数量的实际意义以及它们之间的联系，才能弄懂算理、掌握算法。案例中教师引导学生不停地在竖式计算和操作过程之间来回穿梭，当学生讲清楚竖式中被除数、除数、商、乘积和余数实际意义的时候，算理和计算方法已经不言自明了。这时计算过程就是对操作过程的符号化提炼，学生对数和数量关系的理解不是停留于外在的模糊认知，而是内在意义的深刻理解，此举有利于学生数感的建立和培养。