在构建数学模型中深化对知识本质的理解

林雪霖

（长乐市洞江小学，福建长乐350200）

在构建数学模型中深化对知识本质的理解

林雪霖

（长乐市洞江小学，福建长乐350200）

在小学阶段，数学模型的表现形式为一系列的概念系统，算法系统，关系、定律、公理系统等。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。从数学教育层面分析，数学模型关注的不仅仅是结果，更多的是过程。在建模的过程，通过丰富的表象，从特定的生活原型提炼出数学问题，引导学生经历观察、操作、对比、分析等过程，用数学的语言表达数学模型，再拓展模型综合应用，以解决生活实际问题。不仅能使学生在知识、技能方面得到培养，更有思想、方法经验的积累，集中体现了数学学科的育人价值。

数学模型；丰富表象；经历过程；拓展应用

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象、概括地表征所研究对象的主要特征及其关系所形成的一种数学结构。“建模”的过程就是引导学生经历这个“火热”的数学思考过程，从而理解教材所呈现出来的“冰冷”的结果，感悟数学知识的本质。然而，模型思想的培养并不能一蹴而就，需要教师们在教学活动中，引导学生挖掘隐藏在客观事物背后的数学规律，在解决问题的过程中，不断调整、反思、积累属于学生自己的“数学化”“再创造”，学会问题解决与实践创新。下面，笔者针对如何在构建数学模型中深化对知识本质的理解，结合一些具体教学案例，谈谈自己的思考。

一、丰富表象，在模型体验中感悟本质

数学知识的本质，不是依赖单纯的课堂讲解让学生去掌握。模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。在教学活动中，教师要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，抓住知识的本质，多侧面、多维度给学生创设合适的教学情境，提供丰富的表象启发学生思考，让学生在参与模型体验的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养。

比如数的概念，日常生活中使用最多的计数方法——十进制计数法就是表示数的一个基本模型，它也是整数四则单项运算的基础。为了加深对“十”这个计数单位的体会，教师们可以设置一个比眼力的小游戏，要求：只给2秒钟的时间观察，看谁能快速说出小方块的个数。先出现第一行方块（见图1），2秒钟的时间很快，学生根本来不及数就隐去了。这时再出现第二行方块（见图1），引导学生体会到这样摆一眼就能看出方块的个数，体验10的作用，突出对10有需求。这样让学生在第一次认识10的时候就留下深刻印象。通过这样的活动能培养学生的数感，夯实对“十进制计数法”模型的体验。

图1 1个十

以《100以内数的认识》为例，教学目标除了认识数的意义（数学意义，现实意义）；还有读写：感知十进制、位置值。教师们在教学中要重视引导学生经历从现实情景抽象出数的过程，让学生从量或形的视角，去观察、把握周围的现实事物，深入感知“位值”“数级”。如为了体会“33”这个数中两个“3”所代表的数值是不同的，可以设计一个循序渐进的过程，建构数概念的模型。先从实物数量过渡到符号表示——画圈，紧紧抓住“怎样用符号（画圈）表示班级学生的人数”这个具有生成性和结构性的现实问题，引导学生逐步建构数学图像语言，即有结构地画出33个圈。在画图活动中，教师让每一位学生动手实践，在操作中体验、感悟。当然这种具体、半形象的教学情境，只停留在操作表面。接着，在画47个圈这一环节，教师不再让学生实际动手画，而是要求学生在头脑中想象“47个圈该怎么画、54根小棒该怎么摆？”当学生在头脑中形成各种具体表象后，再过渡到借助教学模型，如计数器、方格图，这些模型、半抽象情境教学，潜移默化中丰富学生的数感，从多个方面抓住数学知识的本质，感受位值模型的好处。不仅到第二学段认识较大的数能水到渠成，而且这种层次性认识客观世界的独特方式，是每个社会公民无论从事何种职业都不可或缺的基本素养。

二、经历过程，在建模中把握本质

现实生活中有这样的例子，有人问一个小学生：“米是从哪里来的？”小学生回答：“米是从米缸中来的。”在教学中也有类似的例子。反思教师们的教学，经常出现重结果、轻过程的现象。教师用自己的理智代替学生的朦胧，不注重学生探索完善这个框架的过程，建立模型的前半部分常常是匆匆而过直奔主题。造成的恶果是，学生对概念的来源不清楚，对知识体系的本质不清晰，只知其然，不知所以然，对知识的掌握更多是靠记忆，只会复制例题，不会创新应用。而模型思想的构建过程是一个极其重要的抽象过程，这也是极富数学营养的过程，它有利于创新意识和实践能力的培养，恰好弥补了这个不足。因此，教师们在建模的过程要重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养。大致可分为提取现实问题——分析数学信息——建立模型——求解模型——验证模型——应用模型六个步骤。

以数学广角中的“烙饼问题”为例，教师创设情境：来客人，一张锅每次最多烙2张饼，每张饼需要烙两面，每面需要3分钟，烙好27张饼最少需要多少分钟？显然这是一个复杂问题，大多数学生会感到很困扰，无从下手，而解决问题模型不应该是教师讲给学生的，而应该是让学生自己悟出来的。教师就要把自己的思维有意识地退回与学生相同的水平上，感受困惑，和学生一起经历探究模型的过程。最后形成简化意识：这个问题的难点是什么？烙的饼太多了，能不能把这个问题转化为一个简单的问题呢？烙一张最少需要多少时间？烙2张？使学生明确要解决的问题：一共要烙3张饼，怎样烙花费的实践最少？先独立思考再小组讨论交流不同方案。在探索更优方案时，可以这样启发引导：在烙第3张饼时，本来一次可以烙两张饼的锅现在只烙一张，是不是浪费时间了呢？想一想有没有更好的方案？也可以让学生用硬币、课本、或写着“正”“反”两字的橡皮擦、圆片来代表饼，动手试一试，并把实践结果记录下来。在优化的过程体会到省时的关键在于充分利用了锅的空间。在教师的组织参与下，学生从具体的计算（数学思维最显著的方式）出发，在计算的过程中，使学生感悟运算的本质（算理），这也是积累最正确的思考问题经验的主要途径之一。最后通过反思交流，得出最少时间的数学模型：偶数张饼——2张时间：6分×（张数÷2），奇数张饼——3张时间：9分+6×［（张数-3）÷2］。像这样通过把复杂的问题简单化、条理化（计算、分析、推理），达到直观化的目的，引导学生充分经历从数学原型到数学模型的创造过程。

三、拓展模型，在应用中强化本质

人类通过数学模型搭起了数学与现实世界间的桥梁，使数学走进了生活，产生了巨大的效益。在建模过程中，要引导学生自觉主动地从数学的角度探索这一知识在实际中的应用价值，拓展模型外延，会思考问题、解决问题，找出已有知识与待解决问题的本质相同、相似之处，给予学生充足的时间、空间来展开联想，培养学生“预知结果”和“探究成因”的能力。

以“鸡兔同笼”问题模型为例，他的教学价值取向是什么呢？回顾这个教学过程，学生刚开始是在一个朦胧的思维状态下凭直觉（画图、列表）解决问题，并在这个过程中感悟运算方法的道理。随着几个一类简单问题的解决，当原有的方法及用起来十分不便时，他们这种直觉的方法有了逻辑，不得不创造新的方法，既先都看作鸡画出来，结果和给定的条件比较，少了几条腿，再把少的腿添回去，获得新的经验即假设法，使鸡变成兔抽象出新方法，思维也逐渐地清晰和深刻。通过具体的问题抽象提炼构建起相应的数学模型，再组织学生应用模型解决生活实际问题，提高数学应用意识。例如解决生活中的问题：（1）小明和妈妈恰好花100元买了10本书，单价有8元一本和13元一本的两种，各买了几本？（2）六年级参加植树，男生和女生有36人，其中男生人数是女生的3倍，男女生各有多少人？（3）六年级参加植树，男生和女生有36人，其中男生人数的是女生人数的2倍，男女各有几人？解决这些问题可以尝试假设法，就是通过对原数学问题数据适当的改变（鸡看作兔，或反之），然后根据题中的数量关系进行计算，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决，其本质属于小学阶段常用的一种思想方法——转化。像这样不断丰富和拓展模型的外延，是学生学习数学最有效的动力，能增强学生的发散思维能力。

［1］刘勋达.小学数学模型思想及培养策略研究［D］.武汉：华中师范大学，2013.

［2］魏雪峰，崔光佐.小学数学问题解决认知模型研究［J］.电化教育研究.2012（11）.

（责任编辑：陈志华）

福建省教育科学“十二五”规划2015年度课题“学本课堂理念下探究性学习的策略研究”（项目编号：FJJK15-351）。